量子化條件與不確定度關系

魏同利，劉家榮

（北方民族大學 基礎部，寧夏 銀川 750021）

量子化條件與不確定度關系

魏同利，劉家榮

（北方民族大學 基礎部，寧夏 銀川 750021）

物理學討論系統某個物理量的本征態時，因為不確定關系的存在，通常會說與其對應的共軛量在這時將沒有意義或完全不確定，但這是不符合物理真實的，量子化條件與不確定度關系的同時存在似乎是矛盾的，但我們認為任何物理系統的某個物理量的不確定度在確定條件下是確定的，量子化條件與海森堡不確定關系的共存提示了我們在有些問題中不僅應該考慮本征問題，同時還應該考慮其不確定性，從而得到更加符合物理真實的圖像.

量子化條件；本征態；不確定度

1 問題

在量子力學發展的初期，為了解決各種具體的問題，提出了各種各樣的量子化條件，如玻爾在他的氫原子理論中提出：環繞原子核作運動的電子的角動量必須為h/2 π的整數倍；粒子在無限深勢阱中運動時其動量與勢阱尺度的乘積必須為h的整數倍等，事實上，薛定諤正是根據動量與空間，能量與時間的量子化條件得到了薛定諤方程.雖然如此，在量子化條件上仍然有著一些問題需要探討,在量子化條件存在的同時，海森堡不確定關系也要成立，比如量子化條件p x=n h，同時又有△p△x≥h/2，這是一個矛盾，因為綜合以上兩式，可以得到一個結論：動量和尺度之間的乘積可以為任何數值，量子化條件將沒有任何意義.

根據量子力學的本征態理論，若系統處于某一力學變量的本征態，則每次測量均可觀察得到對應于此本征態的本征值，由于海森堡不確定關系，由于該物理量完全確定，則其共軛物理量將完全不確定，這是通常所持的論點.但是我們認為這種看法是不全面的，主要的原因是：自然界不允許我們無限度把一個值確定，而其共軛量卻完全不確定.在狄拉克的《量子力學原理》中指出[1]：從物理上看，顯然，對q的所有值是等幾率的態，或者對p的所有值是等幾率的態，實際上都是不能得到的，對第一種情況是因為尺寸的限制，對第二種情況是因為能量的限制.因此p的本征態或是q的本征態，實際上不能完全達到.

由于任何物理學量都有其共軛量，所以上述問題不僅僅存在于正則坐標和正則動量，事實上，所有物理學量的本征態都不可能完全達到，這種情況在物理學研究中廣泛的存在，有時甚至比較重要，但這種由于不確定度關系所導致的本征值偏移卻很少被提及，本文試圖對能量本征值的展寬作初步的探討.

2 討論

任何處于能量本征態的系統，都有能量的漲落，或者說能譜存在一定的展寬，這當然是由于不確定關系導致的.當能級有展寬時，意味著系統的能量有一個微小的不確定度，根據關系：△E g△t≥攸/2，能量的共軛量時間也會有微小的不確定度，但是這種關于能量與時間的不確定關系并不是簡單的△E越大，△t越小，我們認為：在確定的物理條件下，△E和△t是可以確定的，它們為可觀測量.

例如，一束光的能量可以用二次量子化表象表示為：

這束光應該有具有n攸ω的能量，光子處于確定的能量本征態，其能量不確定度△E=0，其時間不確定度△t為無窮大，等效為其相干長度無限大.但是在實際的問題中，每種光的相干長度都不是有限大，而且相干長度是可以測量的（等同于時間不確定度可測），所以能量本征值的不確定度也是一個可觀測量.這種關于能量的不確定度關系，有望在格林函數的運動方程理論中得到應用[2]，以上面的光子問題為例，假設光子數目為n，能量不確定度為△，根據格林函數的運動方程方法：

可以得到〈〈a,a+〉〉=

根據譜定理有

在格林函數理論中，通常認為該系統光子的能級為攸ω，η為一無窮小的實數，態密度在該能級上為無窮大，在其它位置上為0，但是這并不符合物理真實，在任何情況下，其能量都不會是嚴格的攸ω，所以η應該在具體的問題當中選取合適的量，如將（1）式中無窮小虛部替換為以不確定度△為大小的虛部，所得到的態密度為，這是以攸ω為中心的洛侖茲分布，可以真實反應此光子系統的物理真實.

能帶論認為，能帶是由眾多的電子能級組成能量區域，考慮到本文所討論的內容，我們認為能帶區域的能級是連續的，簡單取模型如下：

考慮少數一維金屬電子的行為，假設共一百個能級，均勻分布在-1到1之間，費米能級位于0，哈密頓量可以寫為

能級寬度為：△ε=2/100假設能量不確定度為：η=0.1△ε

格林函數的運動方程為：

有：

態密度函數為

任何能量處的占據數密度可以寫為：

通過數值計算可以作出占據數密度圖：

可以看出，電子占據時會有一定的幾率出現于非能級出現處，電子能量態密度連續分布于能帶中.

3 結論

任何物理系統在具有確定本征態的同時，還具有確定的不確定度，可以用洛侖茲峰的半寬來描述，它有時是可以測量的（根據光的相干長度來確定其不確定度），它在具體的問題中需要具體來考慮它的大小，根據格林函數理論，它可以有效地得到使用.

參考消息：

〔1〕P.A.M，狄拉克.量子力學原理（第四版）.科學出版社.

〔2〕李正中.固體理論（第二版）.高等教育出版社.

O 413.1

A

1673-260X（2010）07-0012-02