非單調信息下的隨機微分效用

任歡

（安陽工學院 數理系，河南 安陽 455000）

非單調信息下的隨機微分效用

任歡

（安陽工學院 數理系，河南 安陽 455000）

本文通過倒向重隨機微分方程引入了一類非單調信息下的隨機微分效用，討論其解的唯一性及連續性，關于終值的單調性以及關于消費的單調性.

倒向重隨機微分方程；隨機微分效用；效用函數；解的存在唯一性；比較定理

1992年，D u f f i e和E p s t e i n[1]定義了消費過程C的效用過程為一半鞅（V t)0≤t≤T，滿足I t o贊型隨機微分方程Vs)ds|Ft]，或寫成倒向隨機微分方程（簡稱B S D E）的形式:，其中F由布朗運動生成，是一個經典的信息流.1994年，P a r d o u x和P e n g[2]提出一類新型的B S D E——倒向重隨機微分方程（簡稱B D S D E s）:

這里關于{Bt}的積分是倒向I t o贊積分，關于{Wt}的積分是標準正向I t o贊積分，這兩種積分是I t o贊-S k o r o h o d積分的特殊類型（見文獻[3]），其中{Ft:0≤t≤T}既非單調增也非單調減，因而不構成一個信息流.本文受到以上文獻的啟發，引入了非單調信息下的隨機微分效用.

1 預備知識

對任意的向量x∈Rk和A∈Rd×k，記其歐幾里德范數分別為|x|和||A||:=T r A A*姨 ，其中A*表示A的轉置.

給定概率空間(Ω,F,P)，T≥0為一固定時間常數.{Wt;0≤t≤T}和{Bt;0≤t≤T}是定義于(Ω,F,P)上的兩個相互獨立的標準布朗運動，分別取值于Rd和Rt.令N表示F中P-零集構成的集合.對于每一個t∈[0,T]，定義F t:=Fwt∨FBt,T，對任意的隨機過程{ηt}，Fηs,t=σ{ηr-ηs;s≤r≤t}∨N，Fη

t=Fη

0,t.顯然{Ft;0≤t≤T}既非單調增也非單調減，因而不構成一個信息流.

對于任意的自然數n∈N，記M2{0,T;Rn)={φ:φt為n維聯合可測(d P茚d t)的隨機過程，且對于幾乎每個t∈[0,T]，φt為Ft-可測}.

令f:Ω×[0,T]×Rk×Rk×d→Rk,g:Ω×[0,T]×Rk×Rk×d→Rk×l均聯合可測，假設：

（H 1）f(·,y,z)∈M2(0,T;Rk)，f(·,y,z)∈M2(0,T;Rk×l)；

（H 2）對任意的(ω，t)∈Ω×[0,T]，(y1,z1),(y2,z2)∈Rk×Rk×d,堝K>0,0<α<1，有，對于幾乎每個t∈[0,T]，φt為Ft-可測}，S2([0,T];Rn)={φ:φt為n維連續隨機過程，且引理1.1[2]令α∈S2([0,T];Rk),β∈M2(0,T;Rk)，γ∈M2(0,T;Rk×l), δ∈M2(0,T;Rk×d)滿足：

則

引理1.2[2]給定ξ∈L2(Ω,FT,P;Rk)(，假定f,g滿足條件（H 1）（H 2），則存在唯一一對過程(Y,Z)∈S2([0,T];Rk×M2(0,T; Rk×d)為方程（1.1）的解.

引理1.3[4]（比較定理）假設f1,f2和g滿足（H 1）（H 2），若k=1時，有ξ1≥ξ2，a.s.，f1(t,y,z)≥f2(t,y,z)，a.s.,坌(t,y,z)∈[0,T] ×R×Rd，則坌t∈[0,T]，Y1t≥Y2t，a.s.，其中(Y1,Z1)和(Y2,Z2)分別為下列B D S D E s方程的解：

2 定義

下面給出本文采用的符號.

記L2F{(Ω,FT,P;Rn)={ξ:ξ為FT-循序可測的n維隨機變量，且E|ξ|2<∞}，M2F(0,T;Rn)={φ:φt為n維聯合可測(d P茚d t)的隨機過程，且，對于幾乎每個t∈[0,T]，φt為Ft-循序可測}([0,T];Rn)={φ:φt為n維連續隨機過程，且E，其中|C|表示某一消費過程C∈C的范數.

假設F:Ω×[0,T]×R×R×Rd→R，G:Ω×[0,T]×R×Rd→Rl是聯合可測的，且滿足：

（H 3）F(·,Cl,V,Z)∈M2F(t,O,T,R)，G（·，V，Z）∈M2F(O,T;Rl)，對于幾乎每個t∈[0,T]，φt為Ft-循序可測}.

消費過程C={Ct}取值于某個可分B a n a c h格中的閉凸子集C.消費過程集合D為C值平方可積循序過程全體，記C在D中的范數為（H 4）對任意的(ω,t)∈Ω×[0,T]，(V1,Z1),(V2,Z2)∈R×Rd，存在常數K>0,0<α<1，有

（H 5）F關于消費C滿足線性增長條件：對任意的C∈R，存在常數K1,K2>0，使得

定義2.1給定ξ∈L2F(Ω,FT,P;R)及消費過程C∈D，假設F和G滿足條件（H 3）-（H 5），若存在(V,Z)∈S2F([0,T];T)× M2F(0,T;Rd),a.s.滿足：

則稱(Vt)為消費過程C的遞歸效用過程；稱V0為消費過程C的遞歸效用.

若映射U:D→R，使得U(C)=V0，則稱U為遞歸效用函數.

3 定理及性質

定理3.1（解得存在唯一性）給定ξ∈L2F(Ω,FT,P;R)及消費過程C∈D，假定F,G滿足條件(H 3)-(H 5)，則方程（1.2）存在唯一的解(V,Z)∈S2F([0,T];R)×M2F(0,T;Rd).

證明 參照引理1.2的證明即可得出結論.

定理3.2（比較定理）假設F,G滿足(H 3)-(H 5)，設(Vt,Zt)是方程（1.2）的解，(V,Z)滿足

證明令f1(t,Vt,Zt)=F(t,Ct,Vt,Zt)，f2(t,Vt,Zt)=F(t,Ct,Vt,Zt)，則

由定理條件知，ξ≥ξ，f1(t,Vt,Zt)≥f2(t,Vt,Zt)，利用引理1.3可得：

性質3.3（連續性）若F是連續函數，則效用函數U:D→R是連續的.

證明 設消費過程列{Cn}在D中收斂到C，即E

記{Cn},C對應的效用過程分別為Vn=VCn,V=VC.對任意t∈[0,T]，有

因為2 E

由G r o n m a l l—B e l l m a n不等式得：坌t∈[0,T].特別當t=0時，有

性質3.4（關于終值的單調性）若ξ1,ξ2∈L2F(Ω,FT,P;R)且

證明 由定理3.2可直接得結論.

性質3.5（關于消費的單調性）若F為消費過程C的遞增函數，則U為C的遞增函數；若F為消費過程C的嚴格遞增函數，則U為C的嚴格遞增函數.

〔1〕DuffieD，Epstein L G.Stochasticdifferentialutility[J].Econometrica，1992，60(2)：353-394.

〔2〕Pardoux E，Peng S.Backward doubly stochastic differential equations and systems of quasilinear parabolic SPDE’s[J].Probab Theory Related Fields，1994，98(2)：209-227.

〔3〕Nualart D，Pardoux E.Stochastic calculus with anticipating intergrands[J].Probab Theory Related Fields，1988，78(4)：535-581.

〔4〕Shi Y，Gu Y，Liu K.Comparison theorem of backward doubly stochastic differential equations and applications[J].Stochastic Analysis and Applications，2005，23(1)：1-14.

〔5〕周少甫，王湘君.非-Lipschitz條件下隨機微分效用[J].華中科技大學學報，1999，27(11)：101-103.

O 175

A

1673-260X（2010）07-0004-02