復變函數積分中值定理

楊靜宇

（赤峰學院 數學學院，內蒙古 赤峰 024000）

復變函數積分中值定理

楊靜宇

（赤峰學院 數學學院，內蒙古 赤峰 024000）

文獻[2]討論了積分路徑為直線段的復積分中值定理，本文則在此基礎上運用復積分的相關知識討論了積分路徑為光滑曲線的復積分的積分中值定理.

復積分；解析函數；積分中值定理；直線段；光滑曲線段

1 引言

積分中值定理是微積分中的重要定理，在數學分析中有著廣泛的應用.數學分析中的許多命題及不等式的證明都是藉借這兩個定理.

定理1[1]如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則在[a,b]上至少存在一點ξ，使得:

但也有反例表明定理1中的積分中值定理不能直接推廣到復積分中.

例1 連續函數f(x)在[a,b]內任意一點都不為零，則有.取f(z)=eiz，故f(z)在[0,2π]上任意一點都不為零，且連續，但有，但

例2對任何θ∈[0,2π]，總有

文獻[2]在此基礎上給出了積分路徑為直線段的復積分的中值定理.

定理2[2]設復數a,b(a≠b),函數f(z)沿[a,b]連續,則存在ξ,η∈[a,b]使

本文則在文獻[2]的基礎上討論了積分路徑為光滑曲線的復變函數的積分的中值定理.

2 主要結論

引理1 設c:z=z(t)(a≤t≤b)為區域D內的光滑曲線,f(z)是區域D內單葉函數,ω=f(z)將曲線c映射成曲線Γ,則Γ是光滑曲線.

據權威數據分析，鐵路建設每投資1億元，可帶動GDP1.79億元，其中40%直接通過材料費、人工費、人員消費等方式留在當地。

證明 因c:z=z(t)(a≤t≤b)為區域D內的光滑曲線，由光滑曲線的定義有

（1）c為若爾當曲線，即t1≠t2時z(t1)≠z(t2)；（2）z'(t)≠0且連續于[a,b]

在ω=f(z)的變換下，c的象曲線Γ的參數方程為

要證Γ為光滑曲線，只須驗證ω=ω(t)滿足上述兩個條件即可.

（1）當t1≠t2時，由c為若爾當曲線，有z(t1)≠z (t2),又f(z)為單葉函數，所以當z1≠z2時，f(z1)≠f(z2)，從而，當t1≠t2時，有ω(t1)≠ω(t2).

（2）z'(t)≠0且連續于[a,b]又因為f(z)是D內單葉函數，所以f'(z)≠0，且由解析函數的無窮可微性知f"(z)在D內存在，因此f'(z)在D內連續，又由復合函數求導法則得ω'(t)=f'(z)z'(t)≠0，且連續于[a,b]從而Γ為光滑曲線.

定理3 設c:z=z(t)是區域D內以α為起點β為終點的直線段，φ（z）是區域D內單葉函數，且ω=φ（z）將c映成曲線Γ，如果函數f(ω)沿曲線Γ連續，那么一定存在著z1,z2∈c，使得

由于c:z=z(t)是以α為起點β為終點的直線段,從而直線段c的參數方程為

則

由ω=φ(z)有,

由于

Ref(覬(α+(β-α)t)覬'(α+(β-α)t)和Imf(覬(α+(β-α)t))覬' (α+(β-α)t)都滿足數學分析中積分中值定理的條件，所以一定存在著t1,t2∈(0,1)使得

因此有

即

令z1=α+(β-α)t1，z2=α+(β-α)t2

則

結論成立，證畢.

3 總結

當ω=覬(z)=z時本文所證定理3就是定理2的情況，也就是本文所證定理3是文獻[2]中定理的推廣.因此本文成功得將復變函數在直線段上的積分中值定理擴展到復變函數在光滑曲線上的積分中值定理.

〔1〕華東師范大學數學系.數學分析[M].高等教育出版社，1991：154-295.

〔2〕曾韌英.關于復變函數的中值定理[J].重慶師范學院學報（自然科學版），1998，15（15）：46-47.

〔3〕鐘玉泉.復變函數論[M].高等教育出版社，1988：55-98.

O174.5

A

1673-260X（2010）05-0003-02