2 0 1 0年全國高中數學聯賽模擬卷

第一試

一、填空題(每小題8分，共8小題，滿分64分)

4.在△ABC 中，a，b，c是角 A，B，C 的對邊，且滿足 a2+b2=2c2，則角 C的最大值是_______.

5.設2 000=2a1+2a2+… +2an，其中a1，a2，…，an是兩兩不等的非負整數，則a1+a2+… +an= _______.

7.已知△ABC 的3條邊長分別為13，14，15.有4個半徑同為r的圓O，O1，O2，O3放在△ABC 內，并且圓O1與邊AB，AC相切，圓 O2與邊 BA，BC相切，圓 O3與邊 CB，CA相切，圓 O與圓 O1，O2，O3相切，則 r=_______.

8.設ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A處，它每次可以隨意地跳動到相鄰兩點之一，若在5次之內跳到點D，則停止跳動;若在5次之內不能跳到點D，則跳完5次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現的不同跳法共有_______種.

二、解答題(每小題12分，共3小題，滿分36分)

{x|f15(x)=x，x∈［0，1］}中至少含有9 個元素.

參考答案

10.解 設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線 AB 的方程為y=kx+m.因為點A既在橢圓上，又在直線AB上，所以

將式(1)代入式(2)，得

由直線與橢圓相切，可得

同理，由點B既在圓上又在直線AB上，可得

顯然，λ為與a有關的常數.

第二試

一、在△ABC中，D，E，F和X，Y，Z分別為邊 BC，CA，AB上的中點和高的垂足，ZD 與 FX交于點 L，ZE與FY交于點M，DY與XE交于點N，求證：點L，M，N都在△ABC的歐拉線上(即三角形外心和垂心的連線上).

三、試確定所有的正整數組(x，y，z)，使得 x3-y3=z2，其中 y 是質數，y|/z，3|/z.

四、設M是平面上n個點組成的集合，滿足：

(1)M中存在7個點是一個凸七邊形的7個頂點;

(2)對M中任意5個點，若這5個點是一個凸五邊形的5個頂點，則此凸五邊形內部至少含有M中的一個點.

求n的最小值.

參考答案

一、證明 設點O，H分別為△ABC的外心和垂心，下面證明點L在OH上.設△ABC的外接圓半徑為 R，直線ZC，FX 交于點P，連結 OF，HL，OL.由 OF⊥AB，PZ⊥AB，得

由點F為Rt△AXB斜邊AB上的中點，得FX=FB，

而點F，L，P共線，故點O，L，H共線，即點 L在 OH上.同理可證點M，N也在OH上.

二、解 由題設顯然有f(n)≥2.將f(n+1)=［f(n)］2-f(n)+1變形為下面用數學歸納法證明式(8)對n≥2的一切整數都成立.

顯然式(8)成立.假設當n=m時，式(8)成立.則當n=m+1時，有

f(m+2)=f(m+1)［f(m+1)-1］+1.(9)由歸納假設得

因為f(m+1)是正整數，所以

由式(9)，式(10)，得

于是由式(11)，式(12)知，式(8)對 n=m+1成立.因此式(8)對任意正整數n≥2都成立.故所證不等式成立.

三、解 由題意，得

綜上所述，滿足條件的正整數組是唯一的，即(8，7，13).

四、解 先證：n≥11.

設頂點在M中的一個凸七邊形為A1A2A3A4A5A6A7，連結 A1A5.由條件(1)知，在凸五邊形A1A2A3A4A5中至少有M中的一個點，記為P1.連結 P1A1，P1A5，則在凸五邊形 A1P1A5A6A7內至少有M中的一個點，記為 P2(異于P1)，連結P1P2.由抽屜原理知，在直線P1P2的某一側必有3個頂點，這3個頂點與點P1，P2構成的凸五邊形內，至少含有M中的一個點P3.

127域(不妨設為π3)中，這3個點與P1，P2構成一個頂點在M中的凸五邊形，故其內部至少含M中的一個點P4，因此n≥11.

下面構造一個例子說明n=11是可取的.如圖1所示，凸七邊形A1A2A3A4A5A6A7為一整點七邊形，其內部有4個整點，則條件(1)顯然滿足.這個點集M也滿足條件(2).證明如下，用反證法.

圖1

綜上所述，n的最小值為11.