議高中數(shù)學競賽中的立體幾何問題

● (紹興市中等專業(yè)學校 浙江紹興 312000)

議高中數(shù)學競賽中的立體幾何問題

●張佩麗(紹興市中等專業(yè)學校 浙江紹興 312000)

立體幾何問題在高中數(shù)學競賽中多以選擇、填空題的形式出現(xiàn).本文將立體幾何在競賽中出現(xiàn)的問題作一簡單歸納，旨在拋磚引玉.

1 體積與體積比問題

例1如圖1，在四面體ABCD中，P，Q分別為棱BC與CD上的點，且BP=2PC，CQ=2QD．R為棱AD的中點，則點A，B到平面PQR的距離的比值為________．

(2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題)

分析點A,B到平面PQR的距離分別為三棱錐APQR與BPQR的以三角形PQR為底的高,因此其比值等于這2個三棱錐的體積比．因為

又

得

所以點A，B到平面PQR的距離的比為1∶4．

圖1

圖2

說明本題還可通過求出平面PQR與AB的交點來求此比值.如圖2,在面BCD內(nèi)，延長PQ，BD交于點M，則M為面PQR與棱BD的交點．由Menelaus定理，知

而

于是

在面ABD內(nèi)，作射線MR交AB于點N，則N為面PQR與AB的交點．由Menelaus定理,知

而

于是

因此點A,B到平面PQR的距離的比為1∶4．

2 翻折問題

圖3

圖4

圖5

(1)請在圖中設計一種虛線，沿虛線翻折可成原來的三棱錐(指三棱錐的3個面);

(2)求這個三棱錐外接球的體積.

分析要解決此剪拼問題必須弄清4個面都直角三角形的三棱錐形狀，仔細觀察發(fā)現(xiàn)其中有3個直角三角形必須有1條直角邊長相等.

(1)如圖4,取AD的中點H，連結(jié)HC,HB，則HC,HB為設計的虛線.

(2)如圖5,將三棱錐補成長方體.可視長方體的對角線為HB，其長就是外接球的直徑

因此

說明第(2)小題還可利用取BH的中點O，證明OB=OH=OA=OC的方法求外接圓的體積.

3 最值問題

圖6

分析分別沿BB1,A1C1和A1B1將E，F(xiàn)所在平面展開到同一平面內(nèi)，分別計算得

或

或

圖7

4 軌跡問題

( )

A．拋物線 B．雙曲線 C．直線 D．圓

分析作PF⊥AD于點F，作EF⊥AD于點E，連結(jié)EF，則PE是點P到直線A1D1的距離.由題意得，PE2-PM2=1.又PE2=PF2+1，從而PM=PF.在平面ABCD內(nèi)，由拋物線定義知，所求點P的軌跡是拋物線.故選A.

說明本例用解析法求出點的軌跡方程，把立體幾何中的軌跡問題轉(zhuǎn)化成平面解析幾何中的軌跡問題加以求解.

5 綜合問題

例5正四棱錐P-ABC中相鄰2個側(cè)面所成二面角的大小為θ，則θ的取值范圍是

( )

說明本題體現(xiàn)了有限與無限的轉(zhuǎn)化.隨著高中數(shù)學課程改革的逐步深入，對有限與無限思想的考查力度會不斷加大.這是高考命題的一個新趨勢.

例6已知正四面體ABCD的棱長為1cm,一只小蟲從一個頂點沿棱爬到其余3個頂點是等可能的.

(1)這只小蟲從點A出發(fā)，走了7cm，回到點A，中間經(jīng)過點A一次，有多少種不同的路線？

分析(1)這只蟲子第2次回到點A，第1次回到點A可能是第2次，第3次，第4次，第5次,共4種情況.

(2)這只小蟲爬行7cm有37種不同的爬法，其中回到點A的情況有以下幾種：

①中間沒回到點A；②中間回到點A一次；③中間回到點A兩次.

解(1)這只蟲子第2次回到點A，若第1次回到點A是第2次，則有32×23種.同理可得,第1次回到點A是第3次，第4次，第5次，均有32×23種，故共有32×23×4=288種不同的路線.

(2)這只小蟲爬行7cm有37種不同的爬法，其中回到點A的情況有以下幾種：

①中間沒回到點A；②中間回到點A一次；③中間回到點A兩次.

若中間沒回到點A，有3×25種不同的爬法；若中間回到點A一次，有32×23×4種不同的爬法；若中間回到點A兩次，只有第2次，第4次，或第2次，第5次，或第3次，第5次回到點A這3種可能，有33×2×3種.故回到點A的情況共有

3×25+32×23×4+33+2×3=546,

因此

得

n=182.

說明第(2)小題也可用遞推思想，記Pn(n∈N*)為這只小蟲從點A出發(fā)，走了ncm回到點A的概率,則

從而