解析幾何中的定值問題

●蔣瑞龍 (杭州外國語學校 浙江杭州 310023)

解析幾何中的定值問題是數(shù)學高考和競賽中的熱點問題.在“以能力立意”的指導思想下，定值問題綜合性強，能夠廣泛地聯(lián)系不同的數(shù)學知識和基本方法.這類題目立意新穎，能較好地考查學生對知識掌握的熟練性和靈活性.本文舉例探討定值問題的常見類型與求解策略，以供參考.

1 線段長度比為定值的問題

證明設 F(-c，0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為y=k(x+c).與橢圓方程聯(lián)立后，消去y整理得

由韋達定理可得

從而弦PQ的中點為

直線MR的方程為

與拋物線方程聯(lián)立后，消去x整理得

由韋達定理可得

由拋物線定義得到的焦半徑公式，可知

2 直線斜率或角度為定值的問題

代入橢圓方程得

它有2個根1與xE，由韋達定理可得

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-k代k，可得

于是直線EF的斜率為

評析 本題若改為作與OA平行的直線交橢圓于點E，F(xiàn)，則有結(jié)論：AE，AF的斜率互為相反數(shù).

解點 P(x0，y0)(x0y0≠0)在圓 x2+y2=2上，圓在點P(x0，y0)處的切線方程為

設點 A，B 的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則

所以∠AOB的大小為定值90°.

3 動直線過定點問題

例5 已知點A(x0，y0)為拋物線y2=2px(p＞0)上的一定點，過點A作拋物線的2條弦AB，AC，證明：當AB⊥AC時，直線BC恒過一定點.

直線BC的方程為

由點 A(x0，y0)在拋物線上，即=2px0，得

若 AB⊥AC，則

這就說明了直線BC恒過定點P(x0+2p，-y0).

逆命題即：“……直線BC過定點P(x0+2p，-y0)，則AB⊥AC”也是成立的，證明時只需把上面的過程稍作調(diào)整即可.

(2)本命題在橢圓和雙曲線中有類似的結(jié)論.

例6 過拋物線x2=2py(p＞0)的準線l上一點M，作拋物線的2條切線，切點分別為A，B.證明：直線AB恒過焦點.

4 探求型問題

例7 已知拋物線C：y2=2px(p＞0)，在拋物線C外任取一點P(a，b)，求證：在拋物線上必存在一點Q，使得過點P作的拋物線的任意一條弦MN，都有kOM·kQN為常數(shù).

令kQM·kQN=r為常數(shù)，則設直線MN的方程為由 y1，y2是方程(6)的2個根，得

評析 本題變換角度從反面進行思考，在拋物線上過點Q任作2條弦，然后假定kQM·kQN=r為常數(shù)，找到直線過定點，從而使問題獲解.這種反其道而行之的方法，是探索型問題中最為常用的方法之一.