抽屜原理在初中數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用

●胡新穎 (東陽市外國語學(xué)校 浙江東陽 322100)

1 抽屜原理的含義

抽屜原理又稱鴿巢原理，它的數(shù)學(xué)表述為：

原理1 把n+1個元素分成n類，不管怎么分，則一定有一類中有2個或2個以上的元素.

原理3 把無窮多個元素放入有限個集合里，則一定有一個集合里含有無窮多個元素.

抽屜原理也被稱為迪里赫萊原理(因為最先是由德國數(shù)學(xué)家迪里赫萊明確提出來的)，它是組合數(shù)學(xué)的一個基本原理.

2 抽屜原理的應(yīng)用

應(yīng)用抽屜原理解題，一般可分為以下幾個步驟：

第1步：分析題意.分清什么是“東西”，什么是“抽屜”.

第2步：構(gòu)造抽屜.根據(jù)題目條件與結(jié)論，抓住基本的數(shù)量關(guān)系，確定抽屜的個數(shù)，并設(shè)計出解決問題所需的抽屜.這是解題的關(guān)鍵一步!

第3步：運用抽屜原理解決問題.

例1 (1)體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來倉庫拿球，規(guī)定每個人至少拿1個球，至多拿2個球，問至少有幾名同學(xué)所拿的球的種類是一致的?

(2)某校有55個同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，已知將參賽人任意分成4組，則必有一組的女生多于2人;又知參賽者中任何10人中必有男生，則參賽的男生人數(shù)為多少人?

(2)因為任意分成4組，必有一組的女生多于2人，所以女生至少有4×2+1=9(人);又因為任意10個人中必有男生，所以女生人數(shù)至多有9人.故女生有9人，男生有55-9=46(人).

例2 從1～100的自然數(shù)中，任意取出51個數(shù)，證明：其中一定有2個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍.

分析本題似乎茫無頭緒，從何入手?其關(guān)鍵何在?其實就在“2個數(shù)”，其中一個是另一個的整數(shù)倍.巧妙地構(gòu)造“抽屜”，使得每個抽屜里任取2個數(shù)，都有一個是另一個的整數(shù)倍.這里需要用到自然數(shù)分類的基本知識：任何一個正整數(shù)都可以表示成一個奇數(shù)與2的方冪的積，即若m∈N+，k∈N+，n∈N，則 m=(2k-1)·2n，并且這種表示方式是唯一的，如1=1 ×2°，2=1 ×21，3=3 ×2°，…

因為任何一個正整數(shù)都能表示成一個奇數(shù)乘2的方冪，并且這種表示方法是唯一的，所以可把1～100的正整數(shù)分成如下50個抽屜(因為1～100中共有50個奇數(shù))：

這樣，1～100的正整數(shù)就無重復(fù)、無遺漏地放進這50個抽屜內(nèi)了.從這100個數(shù)中任取51個數(shù)，也即從這50個抽屜內(nèi)任取51個數(shù).根據(jù)抽屜原則，其中必定至少有2個數(shù)屬于同一個抽屜，即屬于(1)～(25)號中的某一個抽屜.顯然，在這25個抽屜中的任何同一個抽屜內(nèi)的2個數(shù)中，一個是另一個的整數(shù)倍.

說明 從上面的證明中可以看出，本題能夠推廣到一般情形：從1到2n的自然數(shù)中，任意取出n+1個數(shù)，則其中必有2個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍.因為1到2n中共含1，3，…，2n-1這n個奇數(shù)，所以可以制造n個抽屜，而n+1＞n，由抽屜原則知，結(jié)論必然成立.

圖1 圖2

分析5個點的分布是任意的.如果要證明“在邊長為1的等邊三角形內(nèi)(包括邊界)有5個點，則這5個點中一定有距離不大于的2個點”，那么順次連結(jié)三角形3條邊的中點，即三角形的3條中位線，可以分原等邊三角形為4個全等的邊長為的小等邊三角形，則5個點中必有2個點位于同一個小等邊三角形中(包括邊界)，其距離便不大于.

以上結(jié)論要由定理“三角形內(nèi)(包括邊界)任意2點間的距離不大于其最大邊長”來保證，下面證明這個定理.

證明如圖2，設(shè)BC是△ABC的最大邊，P，M是△ABC內(nèi)(包括邊界)任意2個點，連結(jié)PM.過點P分別作邊AB，BC的平行線，過點M作邊AC的平行線.設(shè)各平行線的交點為P，Q，N，則

∠PQN=∠C，∠QNP=∠A.

因為BC≥AB，所以∠A≥∠C，則∠QNP≥∠PQN.而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN(三角形的外角大于不相鄰的內(nèi)角)，于是 PQ≥PM.顯然 BC≥PQ，故BC≥PM.由此可知，邊長為的等邊三角形內(nèi)(包括邊界)兩點間的距離不大于.

說明 (1)這里是用等分三角形的方法來構(gòu)造“抽屜”的.類似地，還可以利用等分線段、等分正方形的方法來構(gòu)造“抽屜”.例如“任取n+1個正數(shù) ai，滿足 0 ＜ ai≤1(i=1，2，…，n+1)，試證明：這n+1個數(shù)中必存在2個數(shù)，其差的絕對值小于”.又如：“在邊長為1的正方形內(nèi)任意放置5個點，求證：其中必有2個點，這2個點之間的距離不大于

圖3

圖4

說明 把正方形分成4個區(qū)域，可以得出“至少有1個區(qū)域內(nèi)有3個點”的結(jié)論，這就為確定三角形面積的取值范圍打下了基礎(chǔ).本題構(gòu)造“抽屜”的辦法不是唯一的，還可以將正方形等分成邊長為的4個小正方形等(如圖5).但是如將正方形等分成4個全等的小三角形卻是不可行的(想一想為什么)，因此適當(dāng)?shù)貥?gòu)造“抽屜”，正是應(yīng)用抽屜原則解決問題的關(guān)鍵所在.

圖5

例5 9條直線的每一條都把一個正方形分成2個梯形，而且它們的面積之比為2 ∶3.證明：這9條直線中至少有3條通過同一個點.

圖6

分析設(shè)正方形為ABCD，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點.設(shè)直線l把正方形ABCD分成2個梯形ABGH和 CDHG，并且與EF相交于點P(如圖6)，其中梯形ABGH的面積∶梯形CDHG的面積 =2 ∶3，EP是梯形ABGH的中位線，PF是梯形CDHG的中位線.由于梯形的面積=中位線×梯形的高，并且2個梯形的高相等(AB=CD)，于是梯形ABGH的面積 ∶梯形CDHG的面積=EP ∶PF，也就是EP ∶PF=2∶3，這說明，直線l通過EF上一個固定的點P，這個點把EF分成長度為2∶3的2個部分.這樣的點在EF上還有1個，如圖6中的點Q(FQ ∶QE=2 ∶3).

同樣地，如果直線l與AB，CD相交，并且把正方形分成2個梯形面積之比是2∶3，那么這條直線必定通過AD，BC中點連線上的2個類似的點(三等分點).這樣，在正方形內(nèi)就有4個固定的點，凡是把正方形面積分成2個面積為2∶3的梯形的直線，就一定通過這4個點中的某一個.把這4個點看作4個“抽屜”，9條直線看作9個“蘋果”，由定理2可知因此必有一個抽屜內(nèi)至少放有3個蘋果，也就是必有3條直線要通過1個點.

說明 本例中的抽屜比較隱蔽，正方形2雙對邊中點連線上的4個三等分點的發(fā)現(xiàn)是關(guān)鍵，而它的發(fā)現(xiàn)源于對梯形面積公式——S梯形 =中位線×梯形的高的充分感悟.