調和點列對稱性的妙用

●趙臨龍 (安康學院數學系 陜西安康 725000)

文獻［1］給出平均不等式鏈：

的多種幾何模型，筆者就平均不等式鏈的幾何模型的本質作一深入研究，供參考.

1 平均不等式的幾何意義

文獻［2］給出了調和點列的定義：

對于一直線上排列的4個點A，B，C，D構成的

并給出調和點列的作圖方法：

如圖1，當點C在AB的延長線上時，過點C作以AB為直徑的⊙O的切線CP切圓于點P，過點P作直徑AB的垂線交AB于點D.于是點D是點C對于A，B的調和共軛點.

圖1 圖2

如圖2，當點C在AB內時，過點C作AB的垂線交⊙O于點P，過點P作⊙O的切線PD交AB的延長線于點D，于是點D是點C對于A，B的調和共軛點.

調和點列的這種“對稱性”為認識正數a，b的4種平均不等式的本質帶來極大的方便.

2 平均不等式鏈的幾何“新”模型

模型1 如圖3，在圖1的基礎上，設切點弦PQ交⊙O的直徑于點M，過圓心O作OE⊥AB于點E，則點E為AB的中點.由于點A，B在點C的同側，令 CA=a，CB=b(a≥b＞0)，則

(1)在 Rt△FCE 中，由于 CF≥CE，則

(2)在△PEC 中，由 OE⊥AB，OP⊥PC，得點E，O，C，P 共圓，于是

從而 EC≥PC，即

(3)在△CDP中，∠PDC或∠QDC中有一個為非銳角，如圖3.若∠PDC為非銳角，則 CP≥CD，即

綜上所述，證得不等式(1).

圖3

圖4

特例 如圖4，當割線CBDA過圓心O時，點D合于點M，點E合于點O，點F落在⊙O上.于是由 Rt△CFO，Rt△OCP，Rt△CPD 的斜邊不小于其直角邊得

從這里可以看出，模型1具有一般性，它真正反映了問題的本質.

模型2 如圖5，在圖2的基礎上，過圓心O作OE⊥AB交⊙O于點E，連結CE，則

此時點 A，B在點 C的異側，若令 AC=a，BC=b(a≥b＞0)，則

但由調和點列結論得

即構造方法發生了變化.

圖5

圖6

現在，過點 C作 CF⊥PD于點 F，則由Rt△CDF得

于是由 Rt△CEO，Rt△OPC，Rt△PCF 的斜邊不小于其直角邊得

故證得不等式(1).

推廣 如圖6，當割線ACBD離開圓心O，且滿足PC=CQ時，過圓心O作OE⊥AB于點E，并延長OE至點F，使得

其中 AC=a，BC=b(a≥b＞0)，于是

再過點C作CK⊥GD交GD于點K，得

于是由 Rt△CFE，得

在 Rt△OCE 中，CO≥EO，因為

又由 Rt△GKC，GC≥KC，得

綜上所述，證得不等式(1).

該方法為兩正數4種平均不等式鏈提供了一個“新”幾何模型，對于研究4種平均不等式鏈的本質有重要意義.

(此文為陜西普通本科高等學校教學改革研究項目(09BY70);安康學院重點扶持學科(AZXZ0107)部分成果.)

［1］ 康宇.關于不等式鏈的函數與幾何模型［J］.數學通報，2009(11)：39-41.

［2］ 郭銳，趙臨龍.調和點列的妙用［J］.中學教研(數學)，2010(1)：26-27.