簡述高中生對排列組合的理解

●邵梅生 (平陽中學(xué) 浙江溫州 325400) ●楊光偉 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004)

計數(shù)原理是高中數(shù)學(xué)選修課中的內(nèi)容，在中學(xué)數(shù)學(xué)中知識相對獨立、思維獨特，一直占有重要的地位.基于2個計數(shù)原理的排列組合是解決計數(shù)問題的重要方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合時很容易犯重復(fù)性錯誤，本文從數(shù)學(xué)理解的視角研究學(xué)生在組合推理中的困難表現(xiàn)，從教學(xué)層面分析造成理解障礙的原因.

1 理論基礎(chǔ)

“數(shù)學(xué)理解”已經(jīng)成為“問題解決”之后數(shù)學(xué)教育界所重視的一個中心話題.數(shù)學(xué)教育研究者與一線數(shù)學(xué)教師分別從不同的層次與視角研究和思考數(shù)學(xué)理解問題.表征模式的研究是把數(shù)學(xué)理解看作數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在心理表征，從符號表征及其形成過程的角度論述理解［1］.

不同的理解對象會有不同的表征.黃燕玲、喻平根據(jù)知識的3種形態(tài)將“數(shù)學(xué)理解”劃分為陳述性知識理解、程序性知識理解和過程性知識理解這3種類型.陳述性知識是關(guān)于事實的知識，是有關(guān)“是什么”的知識;程序性知識是個人具有的有關(guān)“怎么辦”的知識;過程性知識是伴隨數(shù)學(xué)活動過程的體驗性知識.他們認(rèn)為：對一個陳述性數(shù)學(xué)知識的理解，是從知識的基本單元表征到形成命題網(wǎng)絡(luò)，再到獲得圖式的過程.對程序性知識的理解，是指他建立了雙向產(chǎn)生式和產(chǎn)生式系統(tǒng).其中雙向產(chǎn)生式是指，學(xué)生不僅知道“如果……，那么……”，而且還應(yīng)知道在什么條件下使用這個“如果……，那么……”.對過程性知識理解的內(nèi)核是學(xué)習(xí)者形成完善而深刻的關(guān)系表征和觀念表征.關(guān)系表征是指個體對知識發(fā)展過程中知識存在某些關(guān)系的體悟;觀念表征則是對知識之間發(fā)生關(guān)系的緣由的領(lǐng)悟［2］.

2 研究方法

本研究采用測試與訪談這2種研究方法.

2.1 測試卷的制定

本調(diào)查所采用的學(xué)生測試卷是根據(jù)Batanero等人的題目改編而成的，選擇問題時考慮了以下因素：(1)組合模型：選擇、分配和分割;(2)組合運算：全排列、排列、組合、重復(fù)排列;(3)元素的性質(zhì)：字母、數(shù)字、人和物;(4)已知參數(shù)n和m的值;(5)問題的復(fù)雜程度：有限制、無限制、單一運算、復(fù)合運算.其中組合模型是法國學(xué)者Dubois提出來的，他將簡單的組合結(jié)構(gòu)歸為選擇模型、分配模型和分割模型［3］.調(diào)查的13個測試題的詳細(xì)信息見表1所示.

表1 測試題的詳細(xì)信息

在這13個題目中，除第7，8，12題之外均是無限制的組合問題，可用單一運算完成，而第7，8，12題是有限制的組合問題，要用到復(fù)合運算.

2.2 研究對象

參與問卷測試的對象是溫州市平陽中學(xué)高三年級8個平行班的400名學(xué)生.平陽中學(xué)有著七十多年的辦學(xué)歷史，是省一級重點中學(xué).參與訪談的學(xué)生有8人，這8名學(xué)生來自8個班級，成績均在中上.

2.3 測試與訪談的實施

測試安排在2009年12月，在正式課堂上進行，時間控制在40分左右.在測試時，邀請所在班級的任課教師監(jiān)考，盡量避免抄襲現(xiàn)象的發(fā)生.有8個班級共有400人參加了此次測試，，收回有效問卷398份.

在考試結(jié)束后的當(dāng)天晚上，筆者從每個班級中抽取了8學(xué)生，依次進行交流訪談，這8名學(xué)生都犯了典型錯誤.在訪談時只針對他們做錯的題目，盡量讓學(xué)生詳細(xì)地說出自己的解題思路與根據(jù).教師針對學(xué)生闡述的情況，作進一步的提問與提示，觀察學(xué)生是否能意識到解題中的錯誤.

3 測試結(jié)果分析

本文數(shù)據(jù)是把正確答案賦值為1，而把錯誤答案賦值為0，縱向計算出所有學(xué)生在每道題上的正確率，再利用Excel表格統(tǒng)計出學(xué)生的典型錯誤.從被試的正確率統(tǒng)計結(jié)果可得學(xué)生對于全排列、排列與有重復(fù)的選排列掌握較好，這3種運算的正確率均在0.9左右.而其他幾種運算錯誤率較高.不同運算暴露出來的錯誤是否存在共性呢?經(jīng)過統(tǒng)計學(xué)生在各題中犯的錯誤類型發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決每一個問題普遍地犯了重復(fù)性錯誤，因此集中于對重復(fù)性錯誤的統(tǒng)計，如表2所示.

表2 各題中重復(fù)性錯誤的次數(shù)及占錯誤總數(shù)的平均百分比

從表2可知，重復(fù)性錯誤是最嚴(yán)重的錯誤，這與文獻(xiàn)［4］調(diào)查統(tǒng)計的結(jié)論一致.這種有代表性與普遍性的錯誤，也許意味著學(xué)生對排列組合知識理解中存在某種缺陷.筆者特摘錄下學(xué)生的解題過程，以尋找導(dǎo)致了重復(fù)性錯誤的原因，如表3所示.

表3 重復(fù)性錯誤中的典型做法及平均百分比

從表3可知學(xué)生在解決計數(shù)問題時，使用分步計數(shù)原理的頻率較高，對于全排列、排列及有重復(fù)的選排列掌握得較好，原因就在于這3種排列實際上是分步乘法原理運用中的一些計數(shù)模型，它們均能用分步原理來處理，而且不會出現(xiàn)重復(fù).犯重復(fù)性錯誤的原因主要在于不恰當(dāng)?shù)厥褂昧朔植匠朔ㄔ恚渲斜容^突出的是第12題.由于解題方法的不同，學(xué)生給出了多種答案，但錯誤的性質(zhì)卻是一樣的.對于第8題，表面上看是犯了遺漏錯誤，但從剩余的9雙中取2雙采用了分2步取卻造成了重復(fù)，因此從解題思維過程來分析這種錯誤應(yīng)當(dāng)是重復(fù)性錯誤.從上述分析可知，學(xué)生并不理解分步計數(shù)原理的本質(zhì)，在應(yīng)用原理時，只停留在原理的文字語言表征上，把口頭語言中的“先，然后”或“第1步，第2步，…”等同于計數(shù)原理中的分步，這導(dǎo)致了解題中的重復(fù)性錯誤.

4 對訪談內(nèi)容的分析

從訪談知學(xué)生對于有重復(fù)元素的全排列與組合錯誤率較高，主要原因在于學(xué)生在審題時對于元素是否互異關(guān)注不夠.但在教師的提醒下，學(xué)生能很快地意識到這種錯誤，并給予糾正.然而由分步原理導(dǎo)致的重復(fù)性錯誤卻很難意識到，即使在教師的提醒下，學(xué)生對錯誤有了認(rèn)識，當(dāng)問題改變時，還是會不自覺地犯重復(fù)性錯誤.

學(xué)生在解決計數(shù)問題時，很少有檢驗反思的習(xí)慣，訪談中的8個學(xué)生在解題之后都沒有檢驗的意識.對于分步計數(shù)原理的內(nèi)容基本上采用語言敘述，很少給出圖形或符號表征，表現(xiàn)在解決問題時，給出分步后，馬上寫出乘法式子.

5 研究結(jié)論

5.1 學(xué)生對排列組合的理解情況

(1)對組合推理中的陳述性知識的表征方式較單一，表征內(nèi)容不準(zhǔn)確.學(xué)生混淆了排列、組合與排列數(shù)、組合數(shù)的概念，對符號，的表征以動作操作為主，沒有自覺意識到排列組合概念中元素互異性的特征.而對2個計數(shù)原理的內(nèi)容采用語言表征為主，沒有深刻理解分步計數(shù)原理中“步”的意義.

(2)對組合推理中的程序性知識未能達(dá)到雙向產(chǎn)生式.學(xué)生雖然有解決計數(shù)問題的程序性知識：先把問題分類或分步，再采用相應(yīng)的計數(shù)原理.但對于什么是合理科學(xué)的分步并不清楚，未能體會到分步是適用于求解有序問題.

(3)對組合推理的過程性知識缺少體驗，未能達(dá)成觀念表征.學(xué)生在組合學(xué)習(xí)中缺少數(shù)學(xué)探究、自主活動的過程，不能體會分步原理是解決有序問題的方法，也不能體驗到蘊含在計數(shù)問題背后的集合對應(yīng)的思想.

5.2 學(xué)生理解排列組合的障礙成因

計數(shù)能力是與生俱來的，對于一個沒有學(xué)過組合概念的學(xué)生來說，也可以解決簡單的計數(shù)問題.而系統(tǒng)地學(xué)了組合知識后，學(xué)生雖然增強了計數(shù)的技能，卻出現(xiàn)了很難克服的錯誤.

(1)教師對組合知識理解的不全面導(dǎo)致了教的不足.許多教師并不清楚組合問題的各種運算模型，這就導(dǎo)致了在教學(xué)時未能對元素的互異性進行強調(diào).學(xué)生解題時也較少關(guān)注元素是否互異的信息.其次，教師沒有認(rèn)識到組合知識與其他知識之間的聯(lián)系，沒有意識到計數(shù)問題背后的集合對應(yīng)思想，在解決計數(shù)問題時，較少從集合對應(yīng)的觀點來解釋一種計數(shù)方法的可行性.這使得學(xué)生在組合推理時失去了數(shù)學(xué)思想的指引，不能深刻地反思到重復(fù)性錯誤的成因所在，從而導(dǎo)致了錯誤的頑固性.

在計數(shù)問題的解決過程中，教師提供給學(xué)生更多的是一種程序化地操作模式：先把事情分類或分步，再選擇加法或乘法得出計數(shù)結(jié)果.同時由于教師在教學(xué)中給學(xué)生提供大量的操作機會，學(xué)生一旦對方法熟練后，就不再考慮它們或再檢驗它們.從學(xué)生的訪談中可以明顯地看出學(xué)生解題時出現(xiàn)了功能的固定性.

(2)教師在概念教學(xué)時，未能提供多樣化的表征機會與充分的變式.教師過高估計了學(xué)生的理解能力，導(dǎo)致了在原理教學(xué)時進行了過快的抽象.計數(shù)原理是個抽象的概念，不像函數(shù)或向量知識一樣具備“形”的特征，這使得學(xué)生只能采用單一的語言表征.而教材采用的文字語言表征中的“步”不能明確體現(xiàn)出有序性，這就容易造成概念的泛化［6］.

在學(xué)生獲得原理后的練習(xí)中，教師未能及時提供充分的變式，促進學(xué)生思考分步的意義.教師在一開始教學(xué)時，提供的問題情境都是剛好適合分步計數(shù)原理來解決的.這就無法暴露出學(xué)生理解中的“潛在錯誤”.如果學(xué)生在練習(xí)中得不到反例的辨析與反思，缺陷的理解得到強化，那么在后續(xù)學(xué)習(xí)中暴露出錯誤后，糾正就變得很困難，因為要破除一個舊觀念遠(yuǎn)遠(yuǎn)比接受一個新觀念要困難得多［7］.

［1］ 蔡慶有，劉忠東.對數(shù)學(xué)理解兩種研究模式的探討［J］.井岡山學(xué)院學(xué)報，2007(8)：23-25.

［2］ 何小亞.數(shù)學(xué)學(xué)與教的心理學(xué)［M］.廣州：華南理工大學(xué)出版社，2003.

［3］ 楊光偉.對排列組合教學(xué)的一點建議［J］.數(shù)學(xué)通訊，2004(15)：12-14.

［4］ 胡海霞.影響高中生組合推理的因素［D］.華東師范大學(xué)，2006.

［5］ 郭朋貴，陳敦瑩.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理解障礙及其對策分析［J］.高等函授學(xué)報：自然科學(xué)版，2005(6)：39-41.

［6］ 曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2006：209.

［7］ D.A.格勞斯.數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊［M］.陳昌平，王繼延，陳美廉，等譯.上海：上海教育出版社，1999.