圓錐曲線與準(zhǔn)線頂點(diǎn)有關(guān)的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)

●彭世金 (常德市第六中學(xué) 湖南常德 415003)

筆者通過(guò)對(duì)圓錐曲線的研究，得到圓錐曲線與準(zhǔn)線頂點(diǎn)有關(guān)的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì).

圖1

由點(diǎn)P在切線PA，PB上，可得

消去x，并化簡(jiǎn)整理得

由根與系數(shù)的關(guān)系得因此

將橢圓在頂點(diǎn)E處的切線方程x=a與切線PA，PB的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)yM，yN分別為

類似地，可證雙曲線與拋物線的如下性質(zhì)：

性質(zhì)2 如圖2，已知雙曲線

圖2

圖3

性質(zhì)3 如圖3，已知拋物線y2=2px(p＞0)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線的準(zhǔn)線l上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的2條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為 A，B，PA，PB 與拋物線在頂點(diǎn)E處的切線分別相交于點(diǎn)M，N.記拋物線的離心率為 e，A，B，M，N 的縱坐標(biāo)分別為 yA，yB，yM，yN，則

從而切點(diǎn)弦AB的方程為

又由根與系數(shù)的關(guān)系得

將拋物線在頂點(diǎn)E處的切線方程x=0與切線PA，PB的方程聯(lián)立，得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)分別為

由式(3)，式(4)得

注意到拋物線的離心率e=1，故