讓探究學習與課堂教學零距離

●張 俊 (興化市第一中學 江蘇興化 225700)

新課標倡導數學課程應通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程.在課堂上開展數學探究活動，從而培養學生的探索意識、創新能力，已成為一個亟待解決的熱門問題.筆者認為，精心挑選一個有發展潛質的問題，把教學過程設計成一個探索發現的過程，充分展示數學的內在魅力，在教師的引導下以學生為主體展開探究活動是落實這一新課標理念的一種有效方法.本文以一道幾何題為例介紹筆者在這一課題研究中的一次嘗試和體會.

1 探索歷程回放

題目如圖1，已知DO平分∠ADC，BO平分∠ABC，且∠A=27°，∠O=33°，求∠C 的大小.

此題是單元測試卷中的一道試題，看似平淡無奇，實則內涵豐富，學生給出的解答方法也是絢爛多姿、異彩紛呈.在讓學生展示了他們各自優美的解法后，筆者引導學生回顧解題過程，去除非本質因素，提煉出一般化結果.

探究1 在圖1中，易知

兩式相加并利用∠CDO=∠ODA，∠ABO=∠OBC，可得

由此可得命題1.

命題1 如圖1，若∠D，∠B的角平分線交于點O，則∠A+∠C=2∠O.

圖1

圖2

會做一道題，僅僅是給別人作了一次奴隸，怎樣從奴隸到將軍呢?就是以一道題為源頭，經過創造性思考獲得與此相關的一系列問題，并能向縱深發展，得到更深層次的東西.基于以上認識，獲得命題1后，進一步引導學生作了如下探究.

探究2 如圖2，作∠D，∠B的角平分線得到圖1，進而探得命題1.那么在圖2中作∠D，∠B外角平分線，又將獲得什么呢?

學生或動手、或沉思、或討論，很快就有人得到了結果.為了便于更進一步的誘“題”深入，筆者提示學生將此問題化歸為命題1來解決.

如圖3，設點P是∠D，∠B外角平分線的交點.由鄰補角的角平分線互相垂直，得

利用四邊形內角和為360°及命題1得

由此可得命題2.

命題2 如圖3，若∠D，∠B的外角平分線交于點P，則

探究3 在圖2中作∠D，∠B的外角平分線，又將獲得什么呢?

類似命題2的方法，不難得到命題3.

圖3

圖4

命題3 如圖4，若∠D，∠B的外角平分線交于點Q，則

化歸思想不但是數學家最強大的武器，也是每一個中學生應該領悟并掌握的一種重要的數學思想方法.從上述問題的探究過程中，學生親身體驗到了這一思想方法的巨大火力，不用千言萬語，化歸思想自然會成為學生今后解決問題的一種有效的工具.

探究4 如果在圖2中作∠D，∠B的三等分線，那么又將出現怎樣一番景象呢?

如圖5，點 O1，O2是∠D，∠B三等分線的交點，易知

以上兩式相加并利用

化簡可得

由此可得命題4.

命題4 如圖5，若∠D，∠B的三等分線交于點 O1，O2，則∠A+∠C=∠O1+∠O2.

圖5

事實上，可進一步獲得命題5.

命題5 如圖 6，若 ∠CDO1=∠O2DA，∠O1BC=∠ABO2，則∠A+∠C=∠O1+∠O2.

探究5 在圖2中作∠D，∠B外角的三等分線，設其中2個交點為P1，P2(如圖7)，易知

從而由四邊形內角和為360°，得∠O1與∠P2互補.同理可得∠O2與∠P1互補，故

由此可得命題6.

命題6 如圖7，若∠D，∠B外角的三等分線交于點 P1，P2，則∠A+∠C=360°-(P1+P2).

圖7

圖8

類似命題6的探究過程可得命題7.

命題7 如圖8，若∠D的三等分線與∠B外角的三等分線交于點Q1，Q2，則

由一個命題得出了一個新命題，一個新命題解決了，又一個新命題誕生了…….學生體驗著探索的樂趣，享受著發現的成功.這種探索式的課堂教學設計，遠比孤立地解現有題目更能營造探索、思考、交流與發現的創新空間，煥發他們主動學習和創新的欲望.

經過以上的教學過程，筆者覺得此時放手讓學生獨自探索的時機已經成熟，于是建議學生或分組合作、或自我探索，已期獲得更多的成果.

學生思維的火花一旦點燃，想象力和創造力真是無窮無限.很快，學生就紛紛拿出了自己的成果.經筆者整理補充，摘錄如下.

2 學生部分成果展示

命題8 如圖9，AD，BC相交于點M，∠A，∠C的角平分線交于點O2，∠B，∠D的角平分線交于點 O1，則∠O1+∠O2=∠DMB.

圖9

圖10

命題9 如圖10，AD，BC相交于點 M，∠A，∠C的外角平分線交于點P1，∠B，∠D的外角平分線交于點P2，則

命題10 如圖11，AD，BC相交于點 M，∠A，∠C的角平分線交于點Q1，∠B，∠D的角平分線交于點 Q2，則

命題11 如圖12，AD，BC相交于點 M，∠A，∠C的三等分線交于點O3，O4，∠B，∠D的三等分線交于點 O1，O2，則

圖11

圖12

命題12 如圖13，AD，BC相交于點 M，∠A，∠C的角平分線交于點O3，∠B，∠D的三等分線交于點 O1，O2，則

命題13 如圖14，∠B，∠D的三等分線交于點 O1，O2，∠B，∠D 的外角平分線交于點 P，則

∠O1+∠O2=360°-2∠P.

圖13

圖14

波利亞說過：“一個專心的、認真備課的教師，能夠拿一個有意義、但又不復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入到一個完整的理論領域.”通過本案例可以發現，在教學中，教師如果能科學、合理地運用這種“有意義，但又不復雜”的問題展開教學，充分發揮其潛在的教育功能，那么對減輕學生負擔，開發智力，提升思維品質，逐步培養探究氣質和研究能力都是大有裨益的.