簡述極小值點與三角形內心相關的點函數

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(華南師范大學數學科學學院 廣東廣州 510631)

簡述極小值點與三角形內心相關的點函數

●黎海燕吳康

(華南師范大學數學科學學院 廣東廣州 510631)

幾何極值是競賽數學的熱點問題之一，很多專家、教師都研究過大量的幾何極值問題，總結了很多求解方法.其實，除了各式各樣的求幾何極值的方法外，其中蘊含著的美妙性質更是值得我們去探究.研究發現不少點函數(設P為非空點集，若按照某種確定的對應關系f，即對于集合P中任意一點A，在實數集R中都有唯一確定的數y與之對應，則稱f:P→R為從點集到實數集R的一個函數，簡稱點函數)的極小值點恰為圓外切多邊形的內心.

(第22屆IMO試題)

圖1

推廣1如圖1，在四邊形ABCD中，AB=a+b,BC=b+c,CD=c+d,DA=d+a.四邊形ABCD內一點P，點P到AB，BC，CD，DA各邊的距離分別為x,y,m,n，使得函數

取極小值的點P為四邊形ABCD的內心.

證明因為

∠A+∠B+∠C+∠D+2∠1+

2∠2+2∠3+2∠4=4π，

所以

∠1+∠2+∠3+∠4=π，

即

∠GOE+∠GFE=π.

同理可證

∠FGO+∠FEO=π，

于是點O，E，F，G共圓.設圓心為I，線段OG的中點為H，連結AH，IH，則

AH⊥GO,IH⊥GO，

所以點A，H，I共線.因為AO=AG，所以AI為∠A的角平分線.同理可證BI，CI，DI分別為∠B,∠C,∠D的角平分線，所以四邊形ABCD的內心存在，為點I.設∠PAB=α,∠PBC=β,∠PCD=γ，∠PDA=δ，由

AB=x·cotα+x·cot(B-β),
BC=y·cotβ+y·cot(C-γ)，
CD=m·cotγ+m·cot(D-δ),
DA=n·cotδ+n·cot(A-α)，

得

cotα+cos(A-α)+cotβ+cot(B-β)+

cotγ+cot(C-γ)+cotδ+cot(D-δ).

又因為

所以

當且僅當2α=A,2β=B,2γ=C,2δ=D，即點P為四邊形ABCD的內心時，f(P)取得最小值.

證明設二面角∠A-BC-D=θ1，∠A-CD-B=θ2,∠A-BD-C=θ3,∠C-AB-D=θ4,∠B-AC-D=θ5,∠B-AD-C=θ6,∠P-BC-D=α1,∠P-BD-C=α2,∠P-CD-B=α3,∠P-AC-D=β1,∠P-AD-C=β2,∠P-AB-C=γ.由

2S1=BC·h1·cotα1+BD·h1·cotα2+

CD·h1·cotα3,

2S2=CD·h2·cot(θ2-α3)+AC·h2·cotβ1+

AD·h2·cotβ2,

2S3=BD·h3·cot(θ2-α2)+AD·h3·cot(θ6-β2)+

AB·h3·cotγ,

2S4=BC·h4·cot(θ1-α1)+AB·h4·cot(θ4-γ)+

AC·h4·cot(θ5-β1).

類似推廣1,可得

當且僅當2α1=θ1,2α2=θ3,2α3=θ2,2β1=θ5,2β2=θ6,2γ=θ4，即點P為四面體A-BCD的內心時，f(P)取得極小值.

除了在與幾何極值相關的問題中可挖掘大量極小值點恰為圓外切多邊形內心的點函數，在與圖形內心相關的恒等式中，常常也可以構造出相應的以圖形內心為極小值點的點函數，因此按照此研究思路可以發現更多類似的點函數，例如以下定理和推論.

定理1△ABC內任一點到3個頂點的距離分別為x,y,z,使得函數f(P)=ax2+by2+cz2取得極小值的點P為△ABC的內心.

證明由于在△ABC中，平面內任意一點P到內心I的距離[1]為

f(P)=(a+b+c)F2(P)+abc.

當F(P)取得極小值時，f(P)取得極小值.由于F(P)的極小值為F(I)=0，因此使f(P)取得極小值的點P為△ABC的內心.

圖2

證明如圖2,設△ABC的內心為I，與頂點A，B，C相對的旁心分別為Ia,Ib,Ic，AI，BI，CI分別與△ABC外接圓相交于點A1,B1,C1，則

因為a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

由B1Ib=B1I,C1Ic=C1I,A1Ia=A1I[2]，得

IbIc=2B1C1,IaIc=2A1C1,IaIb=2A1B1,

由推論2得

取得極小值的點P為△ABC旁心三角形的內心.

[1] 劉黎明.三角形內心的性質和心距公式[J].中學數學，1996(2):45-47.

[2] 胡耀宗.涉及三角形旁心的幾何命題[J].益陽師專學報，1994,10(5):37-39.