反比例函數在實際問題中的應用

?安徽省利辛縣教育局 夏 飛

【重點分析】

本節內容是利用反比例函數來解決生活中的實際問題，其關鍵是從實際問題中抽象出函數關系，從而將文字轉化為數學語言，通過反比例函數的概念列出函數關系式，再利用反比例函數的性質、思想方法去解決實際問題．

利用反比例函數解決實際問題的關鍵是：建立反比例函數模型，列出反映實際問題的反比例函數解析式：

（1）列出反映實際問題中的函數關系式首先應分析清楚各變量之間應滿足的分式，即：實際問題中的變量之間的關系→建立反比例函數模型→解決實際問題.

（2）在列反映實際問題的函數關系式時，一定要在列出的關系式后面注明自變量的取值范圍.

【學法指津】

1.學會把實際問題轉化為數學問題，充分體現數學知識來源于實際生活又服務于實際生活這一原理．

2.要熟悉一些常見的函數模型，能用函數的觀點分析、解決實際問題，讓實際問題中的量的關系在數學模型中相互聯系，并得到解決．

3.要認真閱讀題目，理解題意，抓住關鍵量，主要是題目中的定值、常量和恒定不變的數據等，準確地抽象出函數關系，然后正確設出函數關系式，用待定系數法求出待定系數．

4.由于實際問題中有很多限制條件，因此當自己認為解決了問題后，還要回頭再把題目看一看，是否有疏忽的地方，以免求出的答案不符合題意．

【典例解析】

例1：如下圖，市煤氣公司要在地下修建一個容積為104m3的圓柱形煤氣儲存室．

（1）儲存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）有怎樣的函數關系？

（2）公司決定把儲存室的底面積S定為500m2，施工隊施工時應該向下掘進多深？

（3）當施工隊按（2）中的計劃掘進到地下15m時，碰上了堅硬的巖石，為了節約建設資金，儲存室的底面積應改為多少才能滿足需要（保留兩位小數）？

分析：（1）根據圓柱體的體積公式，我們有S×d=104，變形可得

（2）把S=500代入所求得的解析式，即可求得深度d；

（3）把d=15代入解析式，即可求得儲存室的底面積S．

答：如果把儲存室的底面積定為500m2，施工時應向地下掘進20m深．

答：當儲存室的深為15m時，儲存室的底面積應改為666.67m2才能滿足需要．

例2：某地上年度電價為0.8元，年用電量為1億度，本年度計劃將電價調至0.55～0.75元之間，經測算，若電價調至x元，則本年度新增用電量y億度與（x-0.4）元成反比例，又當x=0.65時，y=0.8；

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）若每度電成本價為0.3元，則電價調至多少元時，本年度電力部分收益將比上年度增加20%？［收益=用電量×（實際電價－成本價）.］

分析：（1）此題屬于把實際問題轉化為求反比例函數的解析式的問題．

（2）此題屬于函數解析式的應用問題．要解決的問題是：若每度電成本價為0.3元，本年度電力部分收益將比上年度增加20%？須考慮“收益=用電量×（實際電價－成本價）”這一關系．而上年度電價為0.8元，年用電量為1億度．于是可算出本年度電力部分收益為0.6億元．

解：（1）由于本年度新增用電量y億度與（x-0.4）元成反比例，所以可設所求的關系式為，又當x=0.65時，y=0.8；代入，可求得k=0.2，

解得：x1=0.5，x2=0.6；根據實際問題，這兩個值都符合題意．

答：電價調至0.5或0.6元時，本年度電力部分收益將比上年度增加20%．

例3：制作一種產品，需先將材料加熱達到60℃后，再進行操作．設該材料溫度為y（℃），從加熱開始計算的時間為x（分鐘）．據了解，設該材料加熱時，溫度y與x時間成一次函數關系；停止加熱進行操作時，溫度y與x時間成反比例關系（如下圖）．已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達到60℃．

（1）分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，y與x的函數關系式；

（2）根據工藝要求，當材料的溫度低于15℃時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經歷了多少時間？

分析：本題主要考查一次函數、反比例函數解析式的求法．但由于本題是由一次函數和反比例函數組成的分段函數，所有要注意分類討論，分別寫出函數關系式．（1）顯然將材料加熱時，即0≤x≤5，y與x是一次函數，直線過點（0，15），（5，60）；停止加熱時，即 x≥5，y與 x是反比例函數，圖像過點（5，60），易求得函數關系式；（2）當材料的溫度低于15℃時，需停止操作，即令y=15，求對應的自變量的值．

解：（1）將材料加熱時，y與x是一次函數關系，可設y=kx+b（0≤x≤5）.

∵當x=0時，y=15；當x=5時，y=60；

∴當0≤x≤5時，y與x的關系式為：y=9x+15．

∴x=20.即從開始加熱到停止操作，共經歷了20min．

分析：綜合運用一次函數和反比例函數的知識解題，一般要先根據題意畫出圖像，然后可借助圖像和題目中提供的信息解題．

（2）解法一：

y=-x+2，當 y=0 時，x=2，M（2，0）．

∴OM=2．作AC⊥x軸于C，作BD⊥x軸于D．

解法二：

y=-x+2，當 時 x=0 時，y=2，N（0，2）．∴ON=2 ．

作AC⊥y軸于C，BD⊥y軸于D．

【總結反思】

用函數觀點處理實際問題，關鍵在于分析實際情境，建立函數模型，并進一步明確數學問題，將實際問題置于已有的知識背景之中，用數學知識重新解釋這是什么？可以看到什么？逐步形成解決實際問題的能力．而在解決問題時不僅要充分利用函數的圖像，滲透數形結合的思想，還要注意函數不等式、方程之間的聯系，以及學科之間知識滲透．重要的有以下幾點經驗：

1.通過分析，把實際問題中的數量關系轉化為數學問題中的數量關系；利用構建好的數學模型、函數思想來解決這類問題．

2.通過觀察圖像，把圖像中提供、展現的信息轉化為與函數有關的知識來解題．

3.綜合運用一次函數和反比例函數求解兩種函數解析式，往往仍用待定系數法．

【典題演練】（供教師做習題參考.）

1.已知某矩形的面積為20cm2．

（1）寫出其長y與x寬之間的函數表達式；

（2）當矩形的長為12cm時，求寬為多少？當矩形的寬為4cm時，其長為多少？

（3）如果要求矩形的長不小于8cm，其寬最多應是多少?

2.某蓄水池的排水管每時排水8m3,6h可將滿池水全部排空．

（1）蓄水池的容積是多少?

（2）如果增加排水管，使每時的排水量達到Q（m3），那么將滿池水排空所需的時間t（h）將如何變化?

（3）寫出t與Q之間的函數關系式；

（1）分別寫出這兩個函數的表達式．

（2）你能求出點B的坐標嗎？你是怎樣求的？

（3）若點C坐標是（-4，0），請求△BOC的面積．

4.為了預防流行性感冒，某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒．已知，藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如下圖所示）．現測得藥物8分鐘燃盡，此室內空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請你根據題中所提供的信息，解答下列問題：

（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學生方可進教室，那么從消毒開始，至少需要經過_______分鐘后，學生才能回到教室；

（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？

答案與提示：

2.（1）蓄水池的容積為：8×6=48（m3）．（2）答：此時所需時間t（h）將減少．（3）t與Q之間的函數關系式為：

3.（1）正比例函數表達式為：y=2x；反比例函數表達式為2）①可利用圖像，根據對稱性來求；②可將y=2x與組成方程組，求出方程組的解．答案：B的坐標為．（3）由于點C坐標是（-4，0），B的縱坐標為，所以△BOC的底邊長為4，高為，則（面積單位）．