圖形變換問題在中考中的命題特點及主要解法

?湖北省襄樊市第19中學 韓春見

“數(shù)學課程標準”中把“空間觀念”作為義務教育階段培養(yǎng)初中生具有一定的邏輯推理能力、實踐能力，具有一定的解決問題能力和探究精神的一個重要學習內容.在初中階段研究圖形及其性質，培養(yǎng)識圖、辨圖能力及應用其性質解決問題不僅是學習“空間觀念”的具體化，而且有利于培養(yǎng)學生的動手操作能力,形成空間觀念和運動變化的意識.因此，圖形變換問題既是新課標教材的一大亮點,也是各地命制中考壓軸題的新寵.在近幾年的中考試題中,出現(xiàn)了許多變化無窮、精彩紛呈、形式新穎的優(yōu)秀試題,這已成為中考壓軸題的一個新的發(fā)展趨勢.

一、圖形變換問題試題的特點

研究近幾年的中考試題可以發(fā)現(xiàn)，圖形變換問題大致有以下幾類：平移、旋轉、軸對稱（折疊）和位似.這四類圖形變換知識不僅在實際生活中應用廣泛，還有利于培養(yǎng)學生的實踐與操作能力,形成空間觀念和運動變化意識,所以在中考中占有十分重要的地位.

圖形的變換可以轉化為點的問題,即找到頂點變換后的對應點,再順次連接這些點即可得到圖形.旋轉變換要明確旋轉中心、旋轉方向、旋轉半徑、旋轉角度；平移變換要明確平移的方向和距離；作一個圖形關于某點的中心對稱圖形要明確對應點的連線經(jīng)過對稱中心，且對應點到對稱中心的距離相等；作一個圖形關于某一條直線的對稱圖形，要明確對應點的連線被對稱軸平分，且對應點到對稱軸的距離相等；作一個圖形關于某一點的位似圖形，要明確位似中心和相似比.

“數(shù)學課程標準”對圖形變換基本要求：1.能對簡單圖形進行變換，能初步確定物體的位置，發(fā)展測量、識圖、作圖等技能；2.探索、發(fā)現(xiàn)和認識圖形的一些性質及關系；進一步豐富對空間圖形的認識和感受；3.學習平移、旋轉、對稱的基本性質，欣賞并體驗變換在現(xiàn)實生活中的廣泛應用，提高空間觀念.結合這一要求，中考中關于圖形變換問題其常見的題型有填空、選擇、作圖、綜合題等.主要以選擇、填空題的形式考查“圖形變換”的性質；以解答題的形式考查學生作圖能力、對“圖形變換”的基本運用水平以及計算能力；以創(chuàng)新探索題的形式考查學生的邏輯推理能力.創(chuàng)新探索題往往以“圖形變換”為載體，結合軸對稱、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函數(shù)等知識進行綜合應用，將試題設計成探索性問題、開放性問題綜合考查學生的邏輯推理能力，一般難度較大.解這類題要求學生具備扎實的數(shù)學基本功.較強的觀察力,豐富的想象力及綜合分析問題的能力.這類試題的特點是：一般先給出一個圖形，并告訴學生或讓學生探求一個結論，然后改變圖形的位置或者改變圖形的大小，現(xiàn)讓學生結合新圖形探索出新的結論.這樣的試題，能客觀地反映從特殊到一般的探索過程，著重考查學生觀察、歸納、猜想和推理的能力.

因此，解圖形的變換試題時要求學生具備扎實數(shù)學的基本功,要切實把握幾何圖形的運動過程,并注意運動過程中的特殊位置.明確圖形旋轉前后哪些是不變的量,哪些是變化的量；要有較強的觀察力和豐富的想象力及綜合分析問題的能力,在“動”中求“靜”,在“靜”中探求“動”的一般規(guī)律.

二、重點題型解析

1.平移變換型問題

所謂平移，就是平面內將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這種圖形變換稱為平移.平移變換要把握兩個要素：1是移動的方向；2是移動的距離.平移變換具有如下性質：（1）平移前后的圖形全等．即：平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小；（2）對應線段平行（或共線）且相等；（3）對應點所連的線段平行（或共線）且相等．中考對圖形的平移的基本要求是：（1）通過具體實例認識平移，理解對應點連線平行且相等的性質；（2）能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形；利用平移進行圖案設計，認識和欣賞平移在現(xiàn)實生活中的應用.

例1：（2009年四川省涼山市）如下圖，已知拋物線y＝x2+bx＋c經(jīng)過 A（1，0）,B（0，2）兩點，頂點為 D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將△OAB繞點A順時針旋轉90°后，點B落到點C的位置，將拋物線沿y軸平移后經(jīng)過點C，求平移后所得圖像的函數(shù)關系式；

（3）設（2）中平移后，所得拋物線與y軸的交點為B1，頂點為D1，若點N在平移后的拋物線上，且滿足△NBB1的面積是△NDD1面積的2倍，求點N的坐標．

分析：（1） 可將A、B 的坐標代入y=x2＋bx＋c即可待定字母b、c的值，從而求得拋物線的解析式；（2）點B繞點A順時針旋轉90°落到點C的位置，可得C（3，1）.若將拋物線沿y軸平移后經(jīng)過點C，求平移后所得圖像的函數(shù)關系式，關鍵再于明確平移方向（即沿y軸向上移動還是向下移動）和平移距離，故可先找到點C平移前的對應點.由于沿y軸移動，對應點橫坐標不變，可把x＝3，代入y＝x2-3x+2得 y＝2，知點 C 對應點坐標為（3，2）.由 2＞1知，可知原拋物線沿y軸向下平移1個單位后過點C．

解：（1）已知拋物線 y＝x2+bx+c經(jīng)過 A（1，0）,B（0，2）,

所求拋物線的解析式為y＝x2-3x+2．

（2）∵A（1，0）,B（0，2）,∴OA=1,OB=2，

可得旋轉后C點的坐標為（3，1）.

當 x＝3 時，由 y＝x2-3x+2 得 y＝2，

可知拋物線 y＝x2-3x＋2 過點（3，2），

∴將原拋物線沿y軸向下平移1個單位后過點C．

∴平移后的拋物線解析式為：y＝x2-3x+1．

（3）∵ 點 在 y＝x2-3x＋1 上，可設 N 點坐標為[x，（x2-3x＋1）].

將 y＝x2-3x＋1 配方得

①當0＜x＜時，如圖①，

∵S△NBB1=2S△NDD1，∴

解得 x＝1，此時 y＝x2－3x+1=-1，∴N 點的坐標為（1，-1）．②當時，如圖②，

同理可得1×1×x＝2× 1×1×（x－ 3），222

解得x=3，此時y＝x2-3x+1=1，∴ 點N的坐標為（3，1）．

綜上，點N的坐標為（1，-1）或（3，1）．

說明：本題以圖形的平移旋轉為載體，將二次函數(shù)這一初中數(shù)學重要知識有機結合起來，形成了一道非常精彩的計算探究題.試題將從特殊到一般的探究思想蘊含在圖形的變化之中，搭建起一個讓學生真正“動”起來的研究平臺，以考查學生探索問題的能力.對于第2問也可求拋物線解析式，由于沿y由平移不改變拋物線的開口方向和對稱軸的位置，故可設y＝x2-3x+m，代入點C的坐標，即可求m的值，從而求得拋物線的解析式.需要注意的是，點在坐標系中平移要把握以下兩點:（1）左右平移，橫坐標改變,縱坐標不變；（2）上下平移，橫坐標不變,縱坐標改變.

2.旋轉變換型問題

所謂旋轉就是在平面內，將一個圖形繞一個定點O沿某個方向（逆時針或順時針）轉動一定的角度，這樣的圖形變換叫做旋轉．構成一個旋轉變換要有3個要素：旋轉中心，旋轉方向，旋轉角.旋轉變換具有如下性質：（1）旋轉前、后的圖形全等；（2）對應點到旋轉中心的距離相等（意味著：旋轉中心在對應點連線段的垂直平分線上）；（3）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角.中考對圖形的平移的基本要求是：（1）通過具體實例認識旋轉，理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質；（2）能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形；（3）靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計.

例2：（2009年浙江省寧波市）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經(jīng)過點 B（-8，6）、C（0，6） .將四邊形 OABC 繞點 O 按順時針方向旋轉α度得到四邊形OA′B′C′，此時直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于P、Q．

（2）①如圖 2,當四邊形 OA′B′C′的頂點 B′落在 y 軸正半軸上時,求的值;

②如圖3,當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在直線BC上時,求△OPB′的面積．

（3）在四邊形OABC旋轉過程中,當0°＜α≤180°時，是否存在這樣的點P和點Q，使若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

分析：（1） 當α=90°時，點A′旋轉在y軸的正半軸上，則點P與點C重合，即BP的長等于BC＝8，PQ的長等于 AB＋BC＝6+8=14，可求得.（2）①通過圖形可知△COP∽△A′OB′，利用相似三角形對應邊的比相等可求出即再利用△B′CQ∽△B′C′O，同理可得CQ＝3，即BQ=BC+CQ=11．從而可求得②可看成折疊，即△OB′C′沿著矩形 OA′B′C′的對角線 OB′折疊，可得△OB′C，可知△OCP≌△B′A′P，利用勾股定理，可求得，從而求得

同理△B′CQ∽△B′C′O，

②在△OCP 和△B′A′P 中，

設 B′P=x，在 Rt△COP 中，（8－x）2+62=x2，解得

（3）存在這樣的點P和點Q．

過點Q作QH⊥OA′于H，連結OQ，則QH=OC′=OC，

①如圖1，當點P在點B左側時，

OP=PQ=BQ+BP=3x，PC=BP+BC=8+x,

在 Rt△COP 中，PC2+OC2=OP2,∴（8+x）2+62=（3x）2，

②如圖2，當點P在點B右側時，

OP=PQ=BQ－BP=x，PC=BC－BP=8－x,

在 Rt△COP 中，PC2+OC2=OP2,∴（8－x）2+62=x2，

說明：本題利用圖形旋轉的不變性，探索圖形在旋轉過程中的有關規(guī)律，問題設置成從簡單到復雜漸次展開的形式，使學生在解決問題的過程中逐漸地認清問題的本質.另外此題（2）（3）兩問的解決方法比較多，有利于學生個性思維特征的展示.由于圖形旋轉只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀，所以圖形旋轉問題要把握兩點：（1）是旋轉角和旋轉半徑；（2）是圖形端點的旋轉路徑是一段弧，其長度為，其中n是旋轉角的度數(shù)，R是旋轉半徑，即端點到旋轉中心的距離.

3.軸對稱變換型問題

所謂軸對稱就是把一個圖形沿一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這條直線對稱或軸對稱．軸對稱具有如下性質：（1）關于某條直線對稱的兩個圖形全等；（2）對稱點的連線段被對稱軸垂直平分；（3）對應線段所在的直線如果相交，則交點在對稱軸上；（4）軸對稱圖形的重心在對稱軸上．中考對圖形的軸對稱的基本要求是：（1）通過具體實例認識軸對稱，探索它的基本性質，理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質；（2）能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；（3）能利用軸對稱進行圖案設計.

例3：（2009年湖北省恩施州）如下圖，在△ABC中，∠A=90°，BC=10,△ABC的面積為25，點D為AB邊上的任意一點（D不與A、B重合），過點D作DE∥BC，交AC于E點.設DE=x以DE為折線將△ADE翻折，所得的△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y.

（1）用x表示△ADE的面積;

（2）求出0＜x≤5時y與x的函數(shù)關系式；

（3）求出5＜x＜10時y與x的函數(shù)關系式；

（4）當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？

分析：折疊的實質就是軸對稱，解題的關鍵是抓住軸對稱的有關性質，尋找到折疊前后的不變量.對于（2），由于0＜x≤5，以DE為折線將△ADE翻折后，△ADE全部落在梯形DBCE的內部，故重疊部分部是△ADE；對于（3），由于5＜x＜10，以DE為折線將△ADE翻折后，△ADE部分落在梯形DBCE的內部，部分落在梯形DBCE的外部，故重疊部分部（如下頁上圖）是梯形DMNE，其面積等于△ADE的面積與△AMN面積的差.

（2）∵BC=10∴BC邊所對的三角形的中位線長為5，

（3）5≤x＜10時，點A'落在三角形的外部,其重疊部分為梯形.

說明：折疊的實質就是軸對稱，本題要能夠抓住軸對稱的有關性質，并要借助于方程的思想來解決.題目的第（2）問以圖形的軸對稱為載體，巧妙地將三角形的外接圓、勾股定理、圖形的相似等知識融合在一起，重在考查學生邏輯推理的能力.點在坐標系中對稱要把握以下3點：①關于x軸對稱，橫坐標（符號）不變,縱坐標（符號）改變；②關于y軸對稱，橫坐標（符號）改變,縱坐標（符號）不變；③關于（坐標）中心對稱，橫坐標、縱坐標（符號）都改變（改為原坐標的相反數(shù)）.

4.位似變換型問題

所謂位似就是如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點,對應邊互相平行（或共線），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.位似圖形的任意一對對應點與位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等與相似比，因此它具有如下性質：①位似圖形對應線段的比等于相似比；②位似圖形的對應角都相等；③位似圖形對應點連線的交點是位似中心；④位似圖形面積的比等于相似比的平方；⑤位似圖形高、周長的比都等相似比.中考中常利用位似可以將一個圖形放大或縮小.中考對圖形的軸對稱的基本要求是：了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小.

例4：（2009年黑龍江省綏化市）如圖甲，在平面直角坐標系中，△ABC 的頂點坐標為 A（-2，3）、B（-3，2）、C（-1，1）．

（1）若將△ABC向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度，請畫出平移后的△A1B1C1；

（2）畫出△A1B1C1繞原點旋轉180°后得到的△A2B2C2；

（3）△A′B′C′與△ABC 是位似圖形，請寫出位似中心的坐標：___________；

（4）順次連結 C、C1、C′、C2，所得到的圖形是軸對稱圖形嗎？

分析：（1）將 向右平移3個單位，就是將A、B、C的坐標分別加3、縱坐標加1，即可得出其對應點坐標分別為 A1（1,4）、B1（0,3）、C1（2,2）；（2）將△A1B1C1繞原點旋轉 180°，就是將 A1（1,4）、B1（0,3）、C1（2,2）的橫坐標、縱坐標（符號）都改變，改為原坐標的相反數(shù)，即可求得其對應點坐標分別為 A2（-1-,4）、B2（0,-3）、C2（-2,-2）.（3） 要求出△A′B′C′與△ABC 的位似中心的坐標，就是找出△A′B′C′與△ABC的兩對對應點，對應點所在直線的交點即為位似中心.（4）要判斷順次連結 C、C1、C′、C2，所得到的圖形是否是軸對稱圖形，首先要判斷四邊形C C1C′C2的形狀.根據(jù) C、C1、C′、C2的坐標，可知其為菱形，故是軸對稱圖形.

解：（1）畫出平移后的圖形為△A1B1C1如圖乙；

（2）畫出旋轉后的圖形為△A2B2C2如圖乙；

（3）△A′B′C′與△ABC 的位似中心坐標為（0，0）.

（4）順次連結 C、C1、C′、C2，所得到的圖形是軸對稱圖形.

說明：本題是一道集平移、旋轉、軸對稱、位似圖形知識和直角坐標系知識為一體的考題，考查了綜合利用所學知識求解問題的能力．其求解的步驟為：首先按要求可出相應點的坐標，再根據(jù)問題中建立的坐標系，找到各個圖形中所求圖形對應點的位置，畫出相應的圖形即可．將圖形的變換放在平面直角坐標系中，考查學生對數(shù)形結合思想的運用.需要注意兩點：（1）已知位似中心作一個圖形的位似圖形時一般可以作兩個圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側,并且關于位似中心對稱；（2）在平面直角坐標系中，如果位似是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.

三、圖形變換中考命題趨勢預測

通過以上分析，可以對中考作以下預測：

1.在基礎題（選擇和填空題）上繼續(xù)考查圖形變換的單一考點知識，如平移、軸對稱圖形，中心對稱圖形（旋轉）、位似等.

2.解答題中，將會在書本知識的基礎上，進行原題改造創(chuàng)新，變成具有數(shù)學背景或時代特征的新題.

3.在壓軸題中往往以“圖形變換”為載體，融入全等、相似、函數(shù)，勾股定理，以及其他平面幾何知識，將試題設計成集合探索性、開放性于一體，綜合考查學生的邏輯推理能力，多種數(shù)學思想方法并存的綜合題，一般難度較大.

根據(jù)以上情況，它提醒我們在中考復習中要做到：

一是立足教材，理清概念，注重操作，通過復習，熟練掌握圖形與圖形變換的基本知識、基本方法和基本技能；二是重視提高分解、組合圖形的能力，在平時的學習中要充分挖掘一些基本圖形或者模型，會解答題基本圖形，逐步提高綜合分析和解答的能力.如先從單一的圖形變問題入手，慢慢過渡到綜合問題中；三是加強圖形與圖形變換知識與方程（方程組）知識、函數(shù)知識、面積知識、網(wǎng)格知識、相似三角形知識、圖形設計知識及其他學科間知識的聯(lián)系，提高自身綜合運用數(shù)學知識的水平；四是重視對課本例題、習題的研究，能進行適當變式與引申，積極進行開放型、探求型問題的訓練，開展數(shù)學思想方法的研究，提高自身用所學知識和能力去分析、解決新問題的能力；五是總結圖形變換的輔助線添法.要特別注重等腰三角形、正方形、菱形中這些輔助線的添加構造.適當?shù)貞脤ΨQ、平移、旋轉等方法，將那些分散、遠離的條件從圖形的某一部分轉移到適當?shù)男碌奈恢蒙希小R集已知條件和求證結論，發(fā)現(xiàn)、拓展解題思路，構造基礎三角形、平行四邊形，進行計算與證明，以培養(yǎng)邏輯思維能力，空間想象能力及綜合運用的能力.