基于Y型陣的互耦矩陣與DOA的同時估計方法

吳彪，陳輝,2，胡曉琴

（1. 空軍雷達學院 重點實驗室，湖北 武漢 430019；2. 信息綜合控制國家重點實驗室，四川 成都 610036）

1 引言

空間譜估計是陣列信號處理的一個重要研究方向，其大多數經典的算法，如MUSIC[1]等均是針對等距均勻線陣（ULA）提出并進行討論的。然而，均勻線陣的最大缺點就是只能提供 0°到 180°范圍內的估計，而且由方向圖可知其分辨力在線陣法線方向最高，而在軸線方向最差，所以實際的有效范圍只有 120°，且只能提供一維角信息；均勻圓陣雖然可以提供 0°到 360°全方位、無模糊的二維角信息，且任何方向上都具有近似相同的估計精度和分辨力，但其陣列流型不具備均勻線陣的Vandermonde矩陣形式，這就使得基于均勻線陣的許多優良算法不能直接應用于均勻圓陣；面陣的陣元數較多，計算量較大，結構比較復雜；L型陣[2]具有均勻線陣和平面陣的特點，結構簡單，而且對于均勻線陣的研究成果可用于L型陣，但L型陣和十字陣共同存在的不足是信源DOA方向接近兩臂延長方向時，可能會出現前后向模糊[3]（即把方位角誤認為其補角），這是陣列結構本身的固有缺陷，雖然可以通過減小陣元間距解決這一問題，但陣列孔徑也會同時減小，而且互耦效應也會增加。Y型陣兼有L型陣和圓陣的特點，與L型陣相比，Y型陣可以提供0°到360°全方位、無模糊的二維角信息，任何方向上具有相同的陣列孔徑；與圓陣相比，Y型陣的波束寬度更窄，CRB更低，具有更高的分辨精度，與前面幾種陣列結構相比，Y型陣在角度一致性、陣列孔徑和陣元數方面是個較好的折中。此外，Y型陣列能夠靈活擴展孔徑，陣元間的互耦效應較小，且在低仰角時不存在前后向模糊[3]。雖然Y型陣作為一種陣列結構已經出現，并實際應用于巨型孔徑的光學天文望遠鏡及射電天文望遠鏡中，但在陣列信號處理等領域討論較少。文獻[2]中針對L型陣所提出了2-D角估計方法，但沒有考慮模型誤差的影響。文獻[3]討論了Y型陣列的DOA估計，但用的是矩量法補償陣元間的互耦，而矩量法有一些固有的缺點。

早期的陣列校正是通過對陣列流型直接進行一系列的測量和內插，但這種方法的效果不太明顯，不滿足實時性要求。矩量法[4]（MoM）可以嚴格計算出任意幾何形狀下陣列的互耦矩陣，但缺點是陣元的電磁參數會隨著環境的改變而改變，影響整個系統的工作效率。自校正[5,6]（self-calibration）或在線[7]（on-line）校正算法將互耦的補償問題轉化為一個陣列參數的估計問題，從而實現DOA和互耦矩陣的聯合估計，但這類方法通常需要求解一個多維的非線性優化問題，且全局收斂性往往無法得到保證，因此這種方法的容許度較小。文獻[8]利用ML-EMSGA的修正遺傳算法實現了互耦條件下最大似然估計中似然函數的多維參數估計問題，具有全局收斂的優點。文獻[9]利用MP算法估計互耦條件下信源DOA，運算量小，且估計相干源時無需空間平滑，但互耦的補償用的是矩量法。文獻[10]基于RBF神經網絡得到了互耦矩陣的快速計算方法，與傳統的矩量法相比，這種算法速度快，實時性強，但不能用于非均勻陣列，而且對于復雜環境中線陣的校正需要借助輔助信號源。文獻[11]通過設置適量的輔助陣元實現了互耦條件下的DOA估計，但只是針對ULA，其他形狀陣列的輔助陣元如何設置沒有討論。本文提出的自校正算法把DOA和互耦系數聯合估計問題化為級聯估計問題，將多維的非線性搜索降為二維搜索，從而避免了多維搜索帶來的龐大運算量和迭代中的全局收斂性問題，且無需輔助信源和任何互耦信息。該方法不僅可以估計Y型陣中線陣內的互耦，還可以估計線陣間的互耦。仿真實驗證明了本文所提算法具有運算量小、估計精度高的特點。

2 數據模型

2.1 Y型陣列互耦分析

本文中設置的Y型陣列結構如圖1所示，由3個夾角為120°均勻線陣組成，端點處共用一個陣元。設公共陣元位于原點處（O點），陣列位于xoy平面上，其中一個陣位于x軸，另2個陣與x軸正方向的夾角為120°，3個陣的陣元數分別為M1、M2和M3，則總陣元數M=M1+M2+M3-2，陣元間距為d1、d2和d3。假設d1=d2=d3=d=λ/2，3個陣的陣元數相等，M1=M2=M3=M。

圖1 Y型陣列結構（水平放置）

假設C為整個Y型陣列的互耦矩陣

其中，D為陣M×M維線陣內的互耦矩陣，B為M×M維線陣間的互耦矩陣。理想情況下，陣列流型A反映的是陣列在信號方向的空間響應。由于互耦的影響，A不能反映陣列在信號方向的真實空間響應，導致估計性能下降甚至失效。某些互耦系數還會使某一方向的導向矢量是其他幾個方向導向矢量的線性組合，從而產生偽峰[11]。

設均勻線陣內的互耦自由度為p，則第一行的系數矢量可表示為

由文獻[3,12]可知線陣內的互耦矩陣D可由首1的p維矢量d唯一表征。

其中，Toeplitz( z, z)表示由矢量z組成的對稱Toeplitz矩陣。M×M維矩陣B為對稱矩陣，但不具有Toeplitz性，所以其陣列結構與D不同，其中第i行，第j列元素Bij可用式(4)描述。

其中，di,j為第i個陣元與第j個陣元的距離，p'=(p-1)d+ε，ε為大于0小于d的常數，該式表示線陣間的陣元間距大于p'時，其互耦效應為0，該值的大小要根據Y型陣列的具體結構合理確定。

B2是一個第一行和第一列均為0的對稱矩陣，它的結構及非零元素的個數都沒有很明顯的規律，只能根據p值、值和Y型陣列結構具體分析。設[B2]p×p為B2的前p行和前p列組成的矩陣，其余元素為0。這里只給出p=3，=1時的情況。

2.2 互耦存在時的數據模型

如圖1所示，假設原點O為參考點，入射信號為窄帶遠場信號，方位角和俯仰角分別為θi和φi，其中i=1,2,…,N，N為信號源數。設第k個陣元的坐標為(xk,yk)(k=1,2,…,3M)，則

所以第k個陣元相對于參考陣元的相位差為

其理想的陣列流型表示為

其中，

當陣元間距過小或信號頻率較高時，陣元間會發生電磁耦合效應，且陣元間距越小，互耦效應越嚴重。則受到噪聲擾動后的陣列接收的快拍數據可表示為

式中，3M×N維矩陣A(θ, )φ滿足無秩3M-3模糊，S(t)為N×K維入射信號矢量，3M×K維陣列噪聲矢量為N(t)，K為快拍數。信號和陣列噪聲均假定為相互獨立的零均值平穩Gauss序列?；ヱ罹仃嘋維數為3M×3M，具體表達式由式(1)～式(6)給出。

陣列接收數據的協方差矩陣可表示為

由子空間理論的知識可知互耦存在時的MUSIC算法為

3 Y型陣互耦自校正算法

3.1 算法原理

為推導方便，設(θ, φ)=(θi, φi),i=1,2,…,N，相應地，βj=βj,i,j=1,2,…,3M，對于互耦不存在時的導向矢量a(θ, φ)，可以分為

其中，

由式(1)可得存在互耦時的導向矢量。

由于D為帶狀、對稱的Toeplitz矩陣，所以通過矩陣運算可表示為

由上節的互耦分析可知線陣間的互耦矩陣B可以分解為B1和B2，則

由矩陣運算可得

T3是一個M×維的重構矩陣。由于矩陣B2的結構及非零元素的個數都沒有很明顯的規律，只能根據p值、值和Y型陣列結構具體分析，所以M×維矩陣也沒有很明顯的規律，只能根據矩陣B2的具體結構具體分析。設[T3]p×p表示T3的前p行和前列組成的矩陣，其余元素為0，不表示出來。由式(6)可得

將重構矩陣T1, T2, T3代入式(19)得

由子空間理論有

本文定義如下優化問題來對方位、俯仰參數和互耦系數進行聯合估計。

由于互耦系數不全為 0，即c≠0，式(33)成立的充要條件是矩陣 Q ( θ , φ)為奇異矩陣。當p+≤3M-2-N，且陣列導向矢量 a ( θ ,φ,c)滿足無秩3M-3模糊時，通常情況下(p +) ×(p +)矩陣Q ( θ , φ)是滿秩的，當且僅當(θ , φ)取為信號的真實方位角和俯仰角時才會出現秩損，使其變為奇異矩陣。基于此原理可以得到一種將方位、俯仰估計與互耦系數估計“去耦”的參數級聯估計方法。

通過式(35)和式(36)先估計出信號的方位角和俯仰角。

或

其中，λmin[·]為求矩陣最小特征值的算子，det[·]為求矩陣行列式的算子。再利用估計出的方位角和俯仰角 (,)得到互耦系數。

其中，emin[·]為求矩陣最小特征值對應特征矢量子。

3.2 算法步驟

根據以上的分析過程，現將Y型陣列的互耦自校正算法總結如下：

3) 根據式(21)～式(23)計算重構矩陣T1；

4) 根據式(27)計算重構矩陣T2；

6) 根據式(29)計算重構矩陣T；

7) 構造空間譜估計器；

或

8) 根據式(38)或式(39)搜索譜峰，得到方位角和俯仰角的估計值 ??(θ, )φ；

9) 根據式(37)得到互耦系數的估計值?c。

通過分析發現必須同時校正線陣內和線陣間的互耦才能正確估計DOA。線陣內是一均勻線陣，其互耦矩陣D是一帶狀、對稱的Toeplitz矩陣，線陣間互耦矩陣B是一對稱矩陣。基于這些特點，通過矩陣運算，將耦合的角度參數和互耦系數去耦，把聯合估計問題化為先估計DOA，再估計互耦系數的級聯估計問題。這樣的最大優點就是無需求解高維的非線性優化問題，只需進行二維搜索就能解決Y型陣列的二維參數及互耦系數的估計問題。

另外，當線陣內的互耦矩陣自由度p=1時，D為單位陣，B1除了第一行第一列的元素為1外，其他均為0，B2為全零矩陣，本文提出的算法退化為無誤差時的二維MUSIC算法。

3.3 算法的模糊性分析

陣列流型是陣列對空域觀察區間內單位功率信源響應的集合，它與陣列幾何結構和陣列各種電磁參數有著密切關系，是陣列本身固有的一種性質，具體算法對于這類參數的模糊估計是無能為力的，只有通過陣列結構的優化設計或對電磁參數進行某種數值約束[12]。理想均勻線陣在無互耦和其他參數擾動情況下，其導向矢量是理想的Vandermonde矢量，它滿足陣列流型無模糊的充要條件是陣列間距小于等于半波長。互耦存在時，由于互耦參數與理想導向矢量耦合，陣列流型幾何性質發生了變化，此時陣列流型保證無模糊的條件很難進行理論分析，下面給出經過大量仿真實驗得出的結論。

假設均勻線陣不存在模糊（即陣元間距小于等于λ/2），互耦自由度p,滿足下列條件：

4 仿真實驗

Y型陣的陣列結構如圖1所示，共有22個陣元，陣元間距均為半波長。p=3，= 1 ，d = [ 1,0.7821+0.258 3i,- 0 .547 6 + 0.246 9i]T， b = [ 0.652 4-0.2478i]T，互耦系數是隨機選取的，噪聲為零均值的高斯白噪聲，2個信號源為非相干源，方位角分別為 20°和 40°。

仿真1：Y型陣列的互耦自校正算法的空間譜曲線。在快拍數為100，信噪比為10dB的條件下，圖 2(a)為互耦未補償和互耦已知時的 MUSIC算法以及本文提出的SAY算法（最小特征值法，SAYE和行列式法，SAYD）空間譜曲線的比較。圖 2(b)給出了只校正線陣內互耦時的譜，此時，式(29)中的是維數為M×的全零矩陣。

圖2 空間譜曲線

圖2（a）表明互耦存在時，MUSIC算法失效，而本文提出的算法和互耦已知時的MUSIC算法均可以準確地估計信號的DOA。圖2（b）表明只校正線陣內的互耦，無法獲得理想的效果，只有同時校正線陣內和線陣間的互耦時，才能得到理想的估計性能。

仿真2：方位角估計性能隨信噪比變化的曲線?？炫臄禐?00時，比較SAYE、SAYD算法和互耦已知時的MUSIC算法與信噪比的關系。每個信噪比做100次Monte-Carlo仿真實驗，比較DOA估計的成功概率和均方根誤差（RMSE）與信噪比的關系，并在圖3(a)和圖3(b)中分別給出了兩者的變化曲線。2個信號源DOA的估計值與真實值的誤差均在0.5°內時視為成功。

圖3(c)給出了互耦已知MUSIC算法、SAYE算法與互耦已知和互耦未知時的 CRB隨信噪比的變化曲線。

圖3 估計性能與信噪比關系

圖3(a)～圖3(c)說明了SAYE算法和SAYD算法的性能曲線非常接近。SAY算法的估計性能要稍差于互耦已知時的MUSIC算法，但當信噪比變大時，三者的曲線基本重合，性能趨于一致。這表明了互耦未知的條件下，本文所提算法也可以獲得較高的估計性能。

仿真3：互耦系數的估計性能。參數設置同仿真2。表1給出的是SAYE算法在不同信噪比條件下，通過100次Monte-Carlo仿真實驗，其中互耦系數為

互耦系數矢量的相對校正誤差定義為

從表 1和圖 4(a)、(b)中可以看出信噪比大于15dB，快拍數大于100時，Y型陣列的 ρcoupling很小，并且隨著信噪比的增加， ρcoupling逐漸趨近于零，即互耦系數矢量的估計值逐漸趨于真值。

表1 互耦系數估計值與信噪比的關系

圖4 估計性能與快拍數關系

5 結束語

本文針對Y型陣列的特殊結構，對互耦矩陣進行了詳細分析，建立了互耦條件下的數據模型，并基于子空間原理，提出了一種基于Y型陣列互耦條件下非相干源的DOA估計及互耦自校正算法。該算法把相互耦合的DOA和互耦系數的聯合估計問題轉化為“去耦”的級聯估計問題，避免了傳統自校正算法運算量大，全局收斂性無法保證等問題，很好地解決了Y型陣列的互耦問題。理論分析和仿真結果均表明了本文提出的自校正算法的DOA估計不需要互耦矩陣的任何信息，具有估計精度高、分辨力強等特點，并且在DOA估計的同時，還可以精確地估計出互耦矩陣，從而實現Y型陣列的自校正，具有較大的實際意義。

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