多進制chirp-rate鍵控調制及分數傅里葉變換法解調

肇啟明，張欽宇，張乃通

(1. 哈爾濱工業大學 電子與信息工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工業大學 深圳研究生院，廣東 深圳 518055)

1 引言

在無線通信中為了提高頻譜利用率，高階調制技術被廣泛使用。傳統的高階調制技術以正、余弦載波為基礎，只有3個參數即幅度、頻率和相位可供調制使用，一定程度上制約了調制的性能。例如，以相位作為鍵控對象的 MPSK調制雖然具有恒包絡特性，但由于其調制星座點均勻分布于一個圓周之上，隨著調制進制數的增加，星座圖變密，抗干擾能力降低；以幅度作為鍵控對象的MQAM調制

雖然具有較好的抗干擾能力，但不具有恒包絡特性，功率效率較低；以頻率作為鍵控對象的MFSK調制具有恒包絡特性并且抗干擾性能理想，但是帶寬效率較低。Chirp信號是另一類基本信號，較正、余弦信號多了一個稱之為調頻率(chirp-rate) 的參數，用chirp信號作 (副) 載波能夠獲得一個額外的可供調制使用的自由度，從而可以設計新型調制方式。二進制chirp-rate調制 (也稱chirp-BOK) 是基于 chirp信號參數鍵控的一種最簡單的調制方式，最早于20世紀60年代作為一種擴頻通信方式被提出，此后的研究表明其具有較強的抵抗多徑干擾和快速移動造成的快衰落影響等優良特性[1,2]。采用二進制 chirp-rate調制的簡單通信方案具有低成本和低功耗的優勢，比較適合于室內近距離高速傳輸等解決方案，chirp擴頻（啁啾展頻）方案已經成為IEEE 802.15.4a建議的物理層標準之一。然而，傳統的chirp信號分析和處理方式主要基于chirp信號理想的自相關特性采用匹配濾波的方式，隨著使用的chirp信號參數的增加，匹配濾波處理變得復雜，一定程度上制約了多參數 chirp信號在一般無線通信系統中的廣泛應用。近年來，隨著分數階傅里葉變換的理論的逐步完善以及與快速傅里葉變換(FFT)復雜度近似的離散分數傅里葉變換算法的逐漸成熟，分數階傅里葉變換已經成為 chirp信號分析和處理的有力工具[3～7]。經分數階傅里葉變換，chirp信號在某最優階次的分數傅里葉域上具有理想的能量聚集特性（沖激特性），并且該最優變換階次以及該變換域上能量聚集的位置與 chirp信號的chirp-rate及中心頻率2參數間具有確定的對應關系[8]。根據上述特性，本文首先提出了一種利用chirp信號不同的chirp-rate承載代表不同信息符號的新方法，稱為多進制 chirp-rate鍵控 (MCrSK,multiple chirp-rate shift keying)，并采用分數傅里葉變換法進行解調。仿真表明，在 AWGN信道中，保證一定的接收信噪比條件下，該方法允許采用更高進制的調制并具有優于MPSK的誤碼率性能。進而，鑒于chirp信號中心頻率參數獨立于chirp-rate參數，將MCrSK和中心頻率參數鍵控聯合使用，其實質是MCrSK與MFSK的級聯，能夠在一定的誤碼率條件下進一步提高調制進制數。MCrSK的帶寬效率優于MFSK，而誤碼率性能劣于MFSK，通過靈活地搭配MCrSK與MFSK在級聯使用中的權重，可以獲得帶寬效率與誤碼率性能的靈活折中。

本文中，第2節對分數階傅里葉變換以及chirp信號的分數階變換特性進行介紹；第 3節給出MCrSK調制、解調原理及其誤碼率性能仿真及分析；第4節分對MCrSK與MFSK的聯合使用進行了研究；第5節是結束語。

2 Chirp信號的分數階傅里葉變換性質

分數階傅里葉變換(FrFT, fractional Fourier transform)是傅里葉變換的一種廣義形式，將信號在時—頻平面上由時間軸逆時針旋轉任意角度的新的變換域上進行描述，能夠揭示信號的頻率時變規律。根據經典定義方法，函數 f(t)的分數階傅里葉變換可表示為

其中，p為分數傅里葉變換階次；α為分數階傅里葉域 (u軸) 從時間軸逆時針旋轉的角度，α= πp/2；非整數階分數傅里葉變換的積分核函數K(α; u, t)定義為

當p=1時，分數傅里葉變換退化為傅里葉變換；當p=0時，變換將保持原函數不變。

復形式chirp信號的時域表達式為

其中，φ為初始相位；f0為中心頻率；k為調頻率即chirp-rate。當k＞0時，chirp信號的瞬時頻率隨時間增大，常稱為up-chirp，反之則稱為down-chirp；T時間內，瞬時頻率變化范圍為kT，稱為掃頻帶寬。將式(3)寫為

則 exp(jπkt2)為一個中心頻率為 0的 chirp信號；exp[j(2πf0t+φ)]為一個頻率為f0的單音調制信號。根據式(1)、式(2)，T時寬（-T/2≤t≤T/2）chirp信號的p(非整數)階分數傅里葉變換為

對于 p∈[- 1, 1]，當且僅當 cotα=-k即p=2arccot(-k)/π 時

如果僅考慮 Cp(u)的分數傅里葉域的幅度譜特性，則

其中，Sa(·)表示辛格函數。|Cp(u)|對稱中心位于u0|p=f0sinα處，第一過零點間寬度為|2sinα/T |。以上分析可知，chirp信號的chirp-rate決定了p∈[-1, 1]唯一的最優變換階次po，中心頻率f0唯一決定了在po階分數傅里葉域上最優的能量聚集位置，后者也可以看作是頻率為f0的單音調制引起的分數傅里葉域上譜線搬移。對 chirp信號進行非最優階分數傅里葉變換時，分數傅里葉域譜不具有聚集性質，而且隨著變換階次p偏離p的程度Δp增大，|Cp(u)|的峰值明顯下降。綜合考慮具有不同 chirp-rate的chirp信號，具有大chirp-rate的chirp信號的|Cp(u)|隨Δp增加下降得更快，如圖1所示，chirp信號的chirp-rate分別為3.077 7、1.962 6、1.376 4、1、0.726 5、0.509 5、0.158 4 (相應的 po分別為-0.2、-0.3、-0.4、-0.5、-0.6、-0.7、-0.8) 并具有相同的時寬。因此，通過分數傅里葉變換性質可以對 chirp信號的chirp-rate和中心頻率2參數進行識別。

圖1 具有不同chirp-rate的chirp信號的|Cp(u)|隨Δp的變化情況

3 MCrSK調制及分數傅里葉變化法解調

基于 chirp信號的分數傅里葉域特性與其chirp- rate、中心頻率2個參數的明確關系，可以設計一個在發送端利用對 chirp信號的 chirp-rate和中心頻率參數進行鍵控以承載信息，并在接收端利用分數傅里葉變換對接收的 chirp信號進行參數識別以實現解調的新型多進制調制、解調方案。本節暫只考慮采用chirp-rate單參數的多進制鍵控的調制、解調原理及其性能，聯合使用chirp-rate和中心頻率2個參數的方案及其性能于下一節中進一步討論。

3.1 MCrSK調制及解調原理

根據式(4)、式(6)和式(7)，f0=0的chirp信號即零中頻chirp信號exp(jπkt2)的chirp-rate k不同，則相應的最優分數傅里葉變換階次po不同，因此設定一個chirp信號chirp-rate的集合{ki}，在發送端利用多進制信息符號對{ki}的元素進行鍵控，則輸出的（基帶）chirp信號的chirp-rate承載信息并可以保持包絡（輸出功率）恒定。在接收端，假設已取得符號同步，對接收信號（中頻或零中頻）分別做一系列與{ki}中各chirp-rate相對應的分數傅里葉變換，設中頻為fIF，則相應的各最優階分數傅里葉域幅度譜峰值將位于u0|p=f0sinα。因此將各預定階次分數傅里葉域上的u0|p位置（或鄰近區域）作為檢測點進行峰值比較，并將具有最大峰值的分數傅里葉變換階次pe所對應的ke(ke∈{ki})作為判決結果，即可實現解調，并按符號輸出。由式 (7) 可知，不同階次分數傅里葉域幅度譜|Cp(u)|具有一個與 p有關的系數|(1-jcotα)1/2|，并且辛格譜的零點—零點寬度|2sinα/T|也與p有關，導致不同chirp-rate的chirp信號在其對應的最優階次分數傅里葉域上的能量聚集能力存在差異，因此進行檢測點峰值比較以前需要進行歸一化處理，具體做法是將各檢測點幅度按其輸入匹配的 chirp信號時的幅度峰值進行歸一化，從而保證了對不同符號檢測能力的一致性。MCrSK調制及基于分數傅里葉變化法解調的原理圖如圖2所示。調制結構采用與MFSK、MPSK等調制類似的多進制鍵控一般結構，接收端將所接收的 chirp信號先進行符號同步，然后進行一系列預定階次的分數傅里葉變換，并進行比較判決，整個過程可在數字信號處理器中完成，分數傅里葉變換由離散算法實現，計算量與FFT運算保持相同的數量級[6, 7]。

圖2 MCrSK調制及解調原理

3.2 Chirp-rate集{ki}的設計

Chirp-rate集{ki}中相鄰的ki與ki+1對應的2個最優分數傅里葉變換階次pi與pi+1的間隔Δp決定了采用分數傅里葉變換進行解調時對相鄰符號的區分度，即Δp決定了相鄰符號間的干擾程度。根據Δp與ki、ki+1的關系

為了降低相鄰符號間的干擾，{ki}的設計應使得Δp盡可能大。然而，由于 chirp信號的時寬-帶寬積BT=kT2，對于固定的符號持續時間 Ts，具有大的chirp-rate k的chirp信號將占用大的帶寬，{ki}的最大取值受到可用帶寬的限制。因此{ki}的設計需對上述2個方面進行折中。{ki}的設計有2個特例，其一是{ki}僅包含一個k，此時k不能承載信息，當kT＞＞2/T，即chirp掃頻寬度遠大于bit符號的帶寬時，是一種chirp擴頻調制；其二是{ki}僅包含調頻率相反的一對k與-k，此時退化為所謂的chirp-rate調制 (chirp-BOK 調制)，文獻[9]給出 chirp-rate調制采用基于分數傅里葉變換的非相干解調的性能分析。

3.3 MCrSK誤碼率仿真及分析

首先給定用于解調的分數傅里葉變換最優階次p的變化范圍，仿真中令p∈[0.2，1.8]，根據符號進制 M，將 p變換范圍等分為Δp。設第一個符號對應的最優分數傅里葉變換階次為p1=0.2，則第i個符號對應的pi=0.2+(i-1)Δp，則根據{pi}可得{ki}。在AWGN信道中，在不同的Eb/N0下分別對8、16、32進制chirp-rate鍵控抗干擾性能進行仿真，為便于比較，以誤比特率(BER) 給出，并與 8PSK、16PSK、32PSK以及16QAM和32QAM的BER理論曲線進行比較，如圖3所示。當能夠保證接收的chirp信號具有足夠的信噪比時，較高進制的MCrSK具有優于MPSK的抗干擾性能而略差于 MQAM。這是由于當進制數較高時，MPSK星座圖將非常稠密，抗干擾性能惡化嚴重，而MCrSK用于承載信息的 chirp-rate是一種頻率隨時間變化的規律，較之固定的相位參數，抗干擾能力更強；MQAM是一種正交調制方式，而MCrSK相鄰符號間不具有正交性，因此 MQAM 抗干擾性能優于MCrSK，然而MQAM不具有恒包絡性，功率效率低于MCrSK。

圖3 MCrSK與MPSK、MQAM的誤比特率性能比較

4 MCrSK與MFSK級聯

式(4)進一步可表示為

其中，exp(j2πfct+φ)是頻率為 fc的單音載波，exp(jπkt2)為中心頻率為 0 的 chirp 信號，exp(jπfjt)為頻率為fj的單音副載波。由于參數k與fj相互獨立，因此可以將對k的鍵控和對fj的鍵控聯合使用，即MCrSK與MFSK級聯使用。MCrSK的chirp-rate集{ki}的設計已于前一節中給出，下面考慮MFSK頻率集{fj}的設計。為了保證具有相同chirp-rate的、中心頻率fj不同的chirp信號在分數傅里葉域上可以區分，根據時寬為T的中心頻率為 fj的chirp信號在最優階分數傅里葉域上的譜峰值位于 u=f0sinα，且第一零點間距離為|2sinα/T|，{fj}的設計應使得相鄰頻點間隔 Δf能夠使得 Δ u 滿足 Δ u=|Δ fsinα|＞|2sinα/T |，即Δ f＞2/T，與MFSK的頻率集設定規則是一致的。當確定了{ki}和{fj}分別具有 n1和 n2個元素，n1CrSK-n2FSK調制可以由一個n1×n2的調制矩陣M表示為

當n1、n2均為2的整數冪時，串行比特碼元每N=lbn1+lbn2個碼元構成一個2N進制符號，將N個碼元分成N1=lbn1和N2=lbn22組，分別構成n1和n2進制的2個子控制符號，可以唯一確定M矩陣中的一個元素(kx, fy)，即鍵控輸出一個調頻率為kx，中心頻率為fy的chirp信號。如圖4所示為n1=8、n2=8時64進制調制星座圖的示例，k和f兩方向上沒有約束關系。

圖4 64進制MCrSK-FSK星座圖的一個示例（8CrSK-8FSK）

MCrSK與MFSK級聯調制器可由如圖2(a)所示結構與一個普通的MFSK調制器級聯獲得，解調器較圖2(b)所示結構多一個環節：首先對接收信號做n1次階次分別對應{ki}的分數傅里葉變換，并且將各分數傅里葉域上由{fj}決定的 n2個可能出現的幅度峰值的位置uj|αi(j=1, 2, …, n2) 設為檢測點，這樣共有 n1×n2個檢測點 (或檢測區域) ，將這些檢測點歸一化峰值進行比較，具有最大值的檢測點對應分數傅里葉變換階次以及在該階分數傅里葉域上的位置可以唯一確定輸出的調制符號，從而實現解調。AWGN信道中，MCrSK-MFSK的誤比特率仿真曲線如圖5所示，其中3條實線分別為64進制級聯調制的3種組合方式，即16CrSK-4FSK、8CrSK- 8FSK和4CrSK-16FSK，可見這3種方式的誤比特率性能逐漸改善，這是由于MFSK的誤比特率性能優于MCrSK，MCrSK與MFSK的不同配比可以調整聯合調制的抗干擾性能。此外，仿真結果還表明，64進制級聯調制性能顯著優于64PSK和64QAM方式，而且同樣保持恒包絡特性。

圖5 MCRSK-FSK與MPSK、MQAM的誤比特率性能比較

設比特寬度為 Tb，僅采用調頻率鍵控時，M進制符號寬度為Ts=TblbM，由于chirp-rate k是變化的，不同符號鍵控輸出的chirp信號的掃頻帶寬Tsk也是變化的，其最大寬度由最大的chirp-rate kmax決定。則調頻率鍵控方式的帶寬效率 ηMCRSK滿足

MFSK 的信道帶寬理論值為 Rb(M+3)/2lbM(相干MFSK)，則MFSK的帶寬效率ηMFSK

因此，當 kmaxTs2＜(M+3)/2即用于 MCrSK 的chirp信號的最大時寬-帶寬積 TBmax＜(M+3)/2時，MCrSK具有優于MFSK的帶寬效率。因此MCrSK與MFSK級聯使用可以通過2種調制方式的靈活搭配，獲得抗干擾性能與帶寬效率間的折中。鑒于未來無線傳輸多樣化的業務模式對抗干擾性能和帶寬效率要求的差異，MCrSK與MFSK級聯使用具有很大的潛在應用價值。

5 結束語

本文對多進制 chirp-rate鍵控及其基于分數傅里葉變換的解調方法進行了研究。仿真表明，在AWGN信道中，對于一定的誤比特率性能，多進制chirp-rate鍵控較MPSK允許更高的調制進制，并具有恒包絡特性。多進制 chirp-rate鍵控可以與MFSK聯合使用，并同樣采用基于分數傅里葉變換的解調方法，聯合調制能過獲得較單獨使用多進制chirp-rate鍵控更優的誤比特率性能，但需要占用更大帶寬。聯合調制通過調整多進制chirp-rate鍵控與MFSK的比重，能夠獲得對頻譜效率與誤比特率性能的靈活折中。文中關于所提出方式的性能的討論是基于接收機符號已經取得同步這一假設前提，具體的符號同步方法有待進一步研究。此外，所提出的調制解調方案在非AWGN信道如多徑信道、雙彌散信道中的性能等將在后續研究中給出。

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