基于博弈論的UWB功率控制

劉 敏， 陳 光，石 燚

（東華大學 信息科學與技術學院，上海 201620）

0 引言

超寬帶（UWB）是一種相對帶寬(信號頻譜的帶寬與其中心頻率之比)大于等于 20%,或者絕對帶寬大于等于 500 MHz的信號。UWB的發展主要集中在傳輸距離約為10公尺的無線PAN，其數據傳輸速度為110～480 Mb/s。這種高速的傳輸能力可使室內中的娛樂系統建立起多媒體傳輸的管道[1]。UWB多用戶網絡也會受到遠近效應的影響，同時多用戶間也存在明顯的信號互干擾，因此功率控制是很重要的。通過控制發射功率可提高電源的有效應用，降低用戶間的相互干擾，并可適應信道改變和設備移動產生的鏈路變化。

近年來，博弈理論在功率控制方面的應用得到了廣泛研究。博弈論是研究理性參與人在競爭沖突的環境下的決策行為，通過數學模型的求解和分析，探討局中人的決策行為。博弈包括非合作博弈和合作博弈。非合作博弈的典型應用就是功率控制、分布式的信道分配、接納控制等；合作博弈用來進行OFDM中子載波的調度、功率分配等等。D.Goodman等人提出了一種非合作博弈功控的基本模型（Noncooperative Power Control Game）[2]；文獻[3]研究了基于代價函數的博弈功控問題，并證明了這種博弈功控具有更好的性能（得到了帕累托改善）。

目前，對UWB網絡的功率控制的問題也有一些研究。文獻[4]采用了吞吐量最大化博弈來分析 UWB功率控制問題。而本文在針對多用戶UWB網絡中提出一種新的效用函數，并引入價格函數以提高系統的效率。

1 UWB多用戶博弈功率控制

1.1 系統模型

在博弈論數學模型中，博弈者在爭取最大利益的同時總是盡可能地減少自身的代價，博弈者的這兩種行為可以分別用效用函數和代價函數來描述，各博弈者為自己力爭最大利益的行為則可以等價為使效用函數最大化或者是使代價函數最小化。

在UWB的兩種體制中，單頻帶體制的DS-UWB系統是室內網絡比較理想的方案。在室內環境中，很多因素都會影響無線電波的傳輸，物體上折射或其他無線信號都會導致嚴重的信號質量問題。DS-UWB利用可能的最大帶寬，生成最短的脈沖，這種方法可以確保順利進行連接，讓設備能夠清楚地識別其他設備的位置，最大程度地提高連接性能和服務質量。

考慮一個具有N個用戶DS-UWB系統的信號通過多徑室內信道，假設每個用戶的信息符號由cN個碼片組成，第i個用戶的發射信號表示為：

1.2 基于價格函數的博弈功率控制

在 NPG博弈模型中，用戶的自我優化常常會產生降低他人利益的外部影響，價格機制就是解決這類問題的一種有效工具。根據邊際效用理論，邊際效用將隨著信噪比的增加而遞減，即效用的增長率會逐步降低。在文獻[5]中設計了一個基于用戶SIR的log型效用函數，正是體現了這一思想。本文設計一個線性的基礎效用函數，來體現用戶對數據業務的滿意程度。定義用戶i的效用函數為：

iα為陡峭系數，表示反正切函數的陡峭程度；iλ為價格因子，

用來表示用戶i的發射功率大小。

1.3 納什（Nash）均衡

每個用戶要最大化自己的效用，不僅要改變自己的發射功率那么簡單，還要考慮其他用戶的干擾，每個用戶均最大化自己的效用函數，達到任何用戶都不背離均衡，即納什均衡。因此功率控制問題，就成了使效用函數最大化的問題。為了求得納什均衡，效用函數 ui(p)在 pi上的一階導數為：

此算法的迭代公式為：

從式（6）可知，功率向量不僅依賴于表征用戶的參數αi，λi以及 hi，還依賴于UWB通信方式的一些參數，如處理增益G，其他用戶的總接收功率

1.4 Nash均衡的存在性和唯一性證明

下面分析功率控制博弈中納什均衡的存在性和唯一性。

1.4.1 納什均衡的存在性證明

①iP是歐幾里得空間NR 中非空的、閉的、有界的凸集；

② ui(p)在p上連續，在 pi上擬凹。

證明：

對效用函數求ip的二階微分：這里 γi≥。由上式可知，效用函數ui(p)在 pi上凹的，而一個凹函數也是擬凹的，所以效用函數 ui(p)在 pi上擬凹的。

由此證明此非合作博弈功率控制存在納什均衡。

1.4.2 納什均衡的唯一性證明

設p為非合作博弈的納什均衡。根據前面納什均衡的定義，假設 p =r (p)，其中。證明納什均衡唯一性的關鍵是證明對應 r(p)是一個標準函數，一個函數如果滿足以下性質則稱為是標準的：

正性（Positivity）， r(p) ＞ 0 ；

證明：

單調性：假設 p/＞p，則對?i有

上式滿足大于0的充分條件是：

所以性質2滿足。

因此，此非合作博弈功率控制的納什均衡點唯一，算法收斂于唯一點。

2 算法仿真與性能分析

系統模型為一個室內的 DS-UWB多用戶通信系統，室內隨機分布著10個用戶，其終端間的通信半徑 10d≤ m。系統中其他仿真參數如表1所示。本文將博弈算法與傳統功率控制算法進行比較，證明其收斂性。

表1 仿真參數

當B=500 MHz在頻率范圍3.1～10.6 GHz內，可以得到：

傳統的典型的功率控制算法的迭代公式為[6]：

將博弈算法與傳統算法進行仿真比較如下：博弈算法的收斂速度明顯比傳統算法收斂速度提高一倍，博弈算法在迭代次數小于10次的時候就收斂，而傳統算法需要迭代20次才收斂；且博弈算法的發射功率低于傳統算法的發射功率。

3 結語

本文在分析DS-UWB室內多用戶通信系統的功率控制的基礎上，提出一種基于博弈論的功率控制分布式算法，論證了非合作功率控制博弈中納什均衡的存在性和唯一性。通過對新算法和傳統算法的仿真實驗比較，結果表明新算法可以用較低的傳輸功率獲得較高的效用，且算法具有較好的收斂性能。

[1] 葛利嘉,朱林,袁曉芳,等.超寬帶無線電基礎[M].北京:電子工業出版社,2006.

[2] Goodman D, Manda Y N. Power Control for Wireless Data[J].IEEE Personal Communications Mag.,2000.7(04):48-54.

[3] Saraydar C, Manda Yam N, Goodman D. Efficient Power Control via Pricing in Wireless Data network[J].IEEE Trans Common.,2002,50(02):291-303.

[4] Bacci I,Luise M, Poor H V. Game Theory and Power Control in Ultrawideband Networks[J].Physical Communication,2008:21-39.

[5] Alpcan T, Basar T, Strikant R, et, al. CDMA uplink Power Control as A Non-cooperative game[C]//The 40thConf on Decision and Control.Orlando,Florida,USA:[s.n.],2001.

[6] Nash J F.Equilibrium Points in N-Person Games[J].Proceedings of the National Acadency of Sciences,1950,36(01):48-49.