瞬時功率小波包分解法在軸承故障診斷中的應用

王 軒，王 莉，魏 蔚

(空軍工程大學導彈學院，陜西 三原 713800)

軸承故障是感應電動機常見故障之一，約占電動機故障的30%～40%。在安裝、潤滑和使用維護都正常的工作條件下，軸承疲勞失效從滾道和滾動體表面下開始，并逐漸擴展，經過一段時間運轉，便會出現疲勞剝落和磨損而不能正常工作，導致軸承故障[1]。

目前采用的幾種方法在提取軸承故障特征方面各有所長，但也存在一些不足，如振動信號的頻譜分析法，雖然能較明顯地凸顯故障特征，但易受電動機工作環境影響，難以推廣[2]；三相平均功率的故障診斷法[3]雖然能夠制成非入侵式，但對于各相電壓、電流采樣要求較為苛刻，增加了診斷成本;而基于“頻點”的Fourier分析法，在處理電動機實際運行時的非平穩信號并不理想[4]。通過理論分析發現，軸承故障時，單相瞬時功率中的故障特征更為豐富；而小波包變換是一種基于“頻帶”的時頻分析方法，非常適合于非平穩信號的分析。

1 軸承故障在瞬時功率中的表現

假設感應電動機的電源是理想的三相正弦交流電壓，并且電動機本身結構是對稱的。正常運行的感應電動機相電流是理想的正弦波。以A相為例，設感應電動機相電壓和相電流分別為：

(1)

式中：Um，Im分別為相電流基波電壓和電流的幅值；ω1為基波頻率δ1所對應的角頻率；φf為電動機的功率因數角。

則A相的瞬時功率為：

(2)

當軸承出現故障時，其振動特征會有明顯變化，從而引起電動機氣隙的振動，氣隙的磁通受到調制，調制諧波又在定子繞組中感應出相應的諧波電流。軸承振動頻率反映到定子電流中的特征頻率為[2]：

fbng=|f1±nfv|

(3)

式中：f1為供電電源頻率；n=1，2，3，…；fv為軸承故障時振動特征頻率，可表示為：

(4)

(5)

(6)

式中：fe為軸承外溝道故障特征頻率；fi為內溝道故障特征頻率；fb為軸承鋼球故障特征頻率；Z為軸承鋼球數；frm為電動機轉速；Dw為軸承鋼球直徑；Dpw為球組節圓直徑；α為接觸角。

設A相電流為：

cos[(ω1-nωv)t-φ1n]+Ibm2n·

cos[(ω1+nωv)t-φ2n]}

(7)

式中：Im，Ibm1n，Ibm2n分別為基頻、f1-nfv和f1+nfv分量電流的幅值；φf，φ1n，φ2n分別為基頻、f1-nfv和f1+nfv分量電流落后于電壓的相位角；ωv為故障時振動特征頻率所對應的角頻率。

此時，A相瞬時功率為：

(8)

對比(7)，(8)式可以發現，故障后單相瞬時功率信號較故障后電流信號含有更為豐富的信息量，并且與正常運行時的單相瞬時功率信號相比，除了直流分量和2倍頻分量2f1外，2f1±nfv分量、nfv都可以作為診斷軸承故障的特征量。至于直流分量，可在信號預處理中疊加一個與其大小相近的負直流分量，將其過濾，從而避免小波包分解時產生頻譜混疊的現象。

2 小波包及其頻率特性

小波變換在時域和頻域都具有局部化能力，是一種基于頻帶的時頻分析方法，特別是小波包變換，其較好地解決了二進小波變換固有的高頻段頻率分辨率低的缺陷，非常適合于電動機運行時非平穩信號的分析。

令正交小波基的濾波器系數分別為hn和gn，并將尺度函數φ(t)改記為w0(t)，小波函數ψ(t)改記為w1(t)，于是關于φ(t)和ψ(t)的二尺度方程變為：

(9)

由上式定義的函數集合{wn(t)}n∈Z稱為由w0(t)=φ所確定的小波包。小波包{wn(t)}n∈Z是包括尺度函數w0(φ)和小波母函數w0(ψ)在內的一個具有一定聯系的函數的集合。與小波分解相比，小波包分解除了有尺度參數和平移參數之外，還增加了一個頻率參數n。用w2n和w2n+1將Wj空間不斷地二進濾波為相對低頻和相對高頻的兩個子頻帶，分解過程如圖1所示。

圖1 三層小波包分解過程示意圖

當進行三層小波包分解時，得到(3,0)至(3,7)8個子頻帶，但由于Matlab算法程序編制的原因，在小波包分解二層開始，會出現頻帶交錯現象[5]，以三層為例，以上8個子頻帶的頻率由低到高的順序為(3,0)，(3,1)，(3,3)，(3,2)，(3,6)，(3,7)，(3,5)，(3,4)。

通常，進行小波包分解時，只是對感興趣的頻帶進行分析，當分解的級數較大時，可以用一個通式來表示同一級所有子頻帶編號按照頻率由低到高排列的順序。用j表示對信號f(t)作第j次分解，設第j-1次分解后得到的2j-1個子頻帶已按頻率由低到高的順序排列為n0,n1,…,n2j-1(nj應由實際編號代替)，則第j次分解得到的N=2j個子頻帶按頻率由低到高的順序排列為：

n0,n1,…,n2j-1(2j-1+n2j-1),(2j-1+n2j-1-1),…，(2j-1+n1),(2j-1+n0)

(10)

將電動機運行時的單相功率作小波包分解，求取小波包分解子頻帶所對應節點系數的均方根值(Root Mean Square，RMS)，即：

(11)

式中：j為信號分解層數，即小波包分解的尺度參數；n為小波分解的頻率參數(n=0，1，2，…，2j-1)；xRMS(j,n)為小波包分解系數任一節點的RMS值。

電動機故障情況下的信號與正常信號相比，故障信號所對應的子頻帶內信號的能量發生了較大的變化，該子頻帶小波包分解系數的RMS值將會明顯改變。因此，計算出故障特征分量對應的子頻帶節點以及該節點系數的RMS值，將其與正常時信號所對應節點系數的RMS值相比較，即可對故障實現準確檢測。

3 仿真驗證

設軸承鋼球直徑Dw為7.94 mm，球組節圓直徑Dpw為39.04 mm，轉軸轉速為150 r/min，模擬6205軸承鋼球故障，則軸承內圈轉動頻率為29.25 Hz(n=1)[6]，依照故障頻率，令：Im=10，Ibm11=Ibm21=0.8，fv=29.25，φf=φ1n=φ2n=π/4，采樣頻率為1 000 Hz，采樣1 024個數據，則電流信號可表示為(A相為例)：

iaf=10cos(50t-π/4)+0.8cos(20.75t-

π/4)+0.8cos(79.25t-π/4)

(12)

根據瞬時功率小波包分解法，當電動機軸承故障時，首先求取A相的瞬時功率信號，并進行濾波處理(圖2)。為了更好地抑制頻譜混疊與頻譜泄漏，在此選用db40小波進行仿真[7]。對A相瞬時功率信號進行4層小波包分解，得到(0～31.25)Hz，(31.25～32.5)Hz，…，(468.75～500)Hz共16個頻帶，由(8)式可知，包含故障特征頻率(fv=29.25 Hz，2f1-fv=70.75 Hz，2f1+fv=129.25 Hz)的子頻帶所對應的小波節點分別為(4,0)，(4,3)，(4,6)，其小波包分解系數如圖3所示。按(11)式求取上述3個節點的RMS值，并定義均方根值變化率：

(13)

式中：RMSb_n表示故障時節點n系數的均方根值；RMSok_n表示正常時節點n系數的均方根值，其結果如表1所示。

圖2 A相故障電流及瞬時功率信號

圖3 各節點小波包分解系數

表1 小波包分解系數RMS值

4 結束語

電動機軸承發生故障時，單相瞬時功率中將含有豐富的故障信息，而對故障特征干擾較大的基波亦轉化為直流分量，預處理時便于濾除；采用更適合于非平穩信號處理的小波包變換對電動機單相瞬時功率進行分解，將故障特征頻率fv，2f1-fv，2f1+fv所在子頻段節點系數的均方根值變化率作為特征指標，從而達到突出故障特征，提高故障診斷準確度的效果。通過仿真驗證了此方法的可行性。