張 慧，宋曉波，李文超，溫朝杰

(洛陽(yáng)軸研科技股份有限公司，河南 洛陽(yáng) 471039)

在軸承套圈溝道或鋼球等圓輪廓的接觸式測(cè)量中，對(duì)采樣點(diǎn)進(jìn)行評(píng)定時(shí)，最小二乘圓法是目前通用的評(píng)定方法，此方法計(jì)算簡(jiǎn)便但存在一定的誤差。為使評(píng)定結(jié)果更加精確，更逼近真實(shí)值，現(xiàn)采用Newton迭代法對(duì)最小二乘圓法評(píng)定結(jié)果進(jìn)行修正。

1 圓輪廓的最小二乘圓通用算法

在軸承零件圓輪廓的實(shí)際測(cè)量過程中，得到的一系列測(cè)量點(diǎn)(xi,yi)，按照?qǐng)A的標(biāo)稱形式進(jìn)行最小二乘圓的優(yōu)化計(jì)算，可以得到圓輪廓半徑和圓心的坐標(biāo)[1-2]。

如圖1所示，傳感器實(shí)際測(cè)量出來的一系列測(cè)量點(diǎn)組成樣本集(xi,yi)，i=1,2，…,N。

圖1 最小二乘圓示意圖

樣本集(xi,yi)中點(diǎn)到圓心的距離為di,則：

(1)

采用最小二乘法直接分析圓的輪廓，在對(duì)各未知參數(shù)求偏導(dǎo)后，無法求解，為了計(jì)算方便，可以取點(diǎn)(xi,yi)到圓心距離與圓半徑的平方差：

(2)

(3)

(4)

(5)

k2=N∑xiyi-∑xi∑yi，

(6)

(7)

(8)

但用最小二乘圓法對(duì)圓輪廓的采樣點(diǎn)進(jìn)行評(píng)定時(shí)，不同的儀器各自存在不同的問題。

(1)對(duì)于圓度儀、圓柱度儀和溝曲率儀等儀器采用極坐標(biāo)對(duì)圓輪廓進(jìn)行測(cè)量評(píng)定時(shí)，采用的是采樣點(diǎn)到圓心的距離與圓半徑的平方差的平方，而不是兩者差的平方，因此增加了距離與半徑之和的權(quán)重，計(jì)算結(jié)果則必然使半徑變小，圓心位置發(fā)生偏移。

(2)對(duì)于輪廓儀等儀器采用直角坐標(biāo)對(duì)圓輪廓進(jìn)行測(cè)量評(píng)定時(shí)，采用的是采樣點(diǎn)到圓邊緣的距離；而根據(jù)最小二乘法的定義應(yīng)該是實(shí)測(cè)值與相應(yīng)圓上點(diǎn)的理論值之間的誤差。因此，以此距離代替誤差必然會(huì)帶來分析結(jié)果的誤差。

2 Newton迭代法對(duì)最小二乘圓誤差的修正

現(xiàn)針對(duì)上述兩種問題，分別提出不同的修正方法。

2.1 問題1的修正

根據(jù)圓的方程，點(diǎn)(xi,yi)到圓心的距離與半徑的差為：

(9)

按照Newton迭代法[3]，則有：

(10)

(11)

(12)

ΔA=Ak+1-Ak

(13)

ΔB=Bk+1-Bk

(14)

ΔR=Rk+1-Rk

(15)

取(6)～(8)式中的(A,B,R)為計(jì)算的初值(A0,B0,R0)，根據(jù)測(cè)量需要的精度，計(jì)算(ΔA，ΔB，ΔR)即可。

2.2 問題2的修正

根據(jù)圓的方程R2=(xi-A)2+(yi-B)2有：

在直角坐標(biāo)系中，誤差為：

(16)

2.2.1 球體的修正

測(cè)量球體等凸面向上的圓形輪廓時(shí)：

(17)

按照Newton迭代法，則有：

(18)

(19)

(20)

2.2.2 溝道的修正

測(cè)量溝道等凸面向下的圓形輪廓時(shí)：

按照Newton迭代法，則有：

(22)

(23)

(24)

同樣，取(6)～(8)式中的(A,B,R)為計(jì)算的初值(A0,B0,R0)，根據(jù)測(cè)量需要的精度，計(jì)算(ΔA，ΔB，ΔR)即可。

3 結(jié)束語

利用極坐標(biāo)的儀器采用最小二乘圓法對(duì)圓輪廓進(jìn)行測(cè)量評(píng)定時(shí)，如果不進(jìn)行修正，因?yàn)閳A心位置的偏離和半徑的計(jì)算誤差，會(huì)導(dǎo)致圓度誤差的評(píng)定出現(xiàn)偏差，圓度值越大或工件偏心越大，誤差就越大，特別是偏心帶來的圓度誤差在進(jìn)行精密測(cè)量時(shí)有時(shí)可以達(dá)到5%～15%。采用玻璃半球?qū)x器的精度進(jìn)行評(píng)定時(shí)，雖然圓度值很小(0.05 μm以內(nèi))，但不同的偏心值仍可造成10%左右的誤差；采用橢圓標(biāo)準(zhǔn)件對(duì)儀器進(jìn)行放大倍數(shù)的校正時(shí)，不同的偏心值甚至?xí)斐?5%～20%的測(cè)量誤差(多次測(cè)量的重復(fù)性)，給儀器的校準(zhǔn)及評(píng)定帶來問題。通過Newton迭代法修正后，圓度值呈現(xiàn)一定的變化，最終趨于穩(wěn)定，可以將重復(fù)性誤差控制在0.1%～1%以內(nèi)，相應(yīng)提高了儀器的精度。

利用直角坐標(biāo)的儀器采用最小二乘圓法對(duì)圓輪廓進(jìn)行評(píng)定時(shí)，測(cè)量誤差會(huì)呈現(xiàn)S形的變化。不僅圓心位置和評(píng)定半徑發(fā)生變化，誤差的本身也出現(xiàn)變化，從而整個(gè)圓輪廓的半徑一致性也變差。通過Newton迭代法的修正可以消除部分S形誤差(因?yàn)闇y(cè)桿的物理因素以及上下坡等因素也會(huì)帶來部分S形誤差)，并可將同測(cè)量段的半徑和圓心位置一致性穩(wěn)定在0.5%～1%以內(nèi)。