對數學結果的討論不能脫離物理本質

趙 堅

(昆明市五華區教育科學研究中心,五華區教師進修學校,云南昆明 650031)

本刊2008年第8期刊登了《六把鑰匙解開一維彈性碰撞》一文(下稱“六文”),文中對如下一道聯考試題的答案m2=3m1提出疑議,認為本題的正確答案不是 n=3,而是n→∞.

題目.在離地面某一高度處有一質量為 m1的小球1,在其正下方地面處有另一小球2,現令小球1從靜止開始下落,同時令小球2以某一初速度豎直上拋,使上、下兩球在空中相碰,相碰處離地面的高度為小球1下落前高度的假設相碰時間極短,且不損失機械能.假如小球 2的質量 m2可以取 m2=m1,2m1,3m1,……,nm1,要想使碰后球1升高的高度最大,試論證上拋的小球質量應為多少?

為便于問題的討論,現將“六文”的主要解答過程簡述如下:

設小球1離地面的高度為h,小球2以2v0的初速度豎直上拋,從拋出到相遇的時間為 t0,則有即故相遇時小球1的速度方向向下.相遇時小球2的速度方向向上.

兩小球碰撞,由動量和機械能守恒有

解(1)、(2)式得

[方程組(1)、(2)式另外一組解 v1′=v1,v2′=v2,舍去]

取向上方向為正,將 v2=v0,v1=-v0、m2=nm1代入(3)、(4)式,解得碰后兩球的速度為

由(5)式知,當 n→∞時,小球1碰后速度有最大值 v1′=3v0,方向向上.小球1碰后向上的速度最大,上升最高,故本題的正確答案不是 n=3,而是 n→∞.

對“六文”以上的解答過程,筆者無可非議.但對于“六文”從(5)式的討論就直接得出結論的做法,筆者認為是值得商榷的.

首先,“六文”討論的是一種數學極限情形,用極限情形來討論物理實際,有時是欠妥的.對本問題而言,當 n→∞,亦即上升小球質量 m2為無窮大時,由小球m1和 m2構成的系統所受合外力已不可忽略,系統動量不再守恒,這樣“六文”后面的運算也就自然沒有意義.

其次,本文討論的試題是教育部考試中心2005年命制的物理高考科研測試(二)中的一道試題,考試中心給出的答案n=3,筆者認為是正確的.而“六文”的錯誤在于對數學結果(5)、(6)式的討論脫離了試題的物理本質.對此,我們不妨這樣來看:

按照“六文”的觀點,當 n→∞時,碰后小球 1的速度v1′=3v0,另外由(6)式得小球2的速度 v2′=v0.假若是這樣,則碰后對小球1、2構成的系統(注:暫時不考慮 m2與m1的質量關系,不然小球1、2構成的系統碰撞前后的動能必為無窮大,這是違背事實的!),其總動能為

可是,小球1、2構成的系統,其碰前的總動能為

比較(7)、(8)兩式不難發現,碰后系統的動能增加了,這可能嗎?既然題目中已明確指明碰撞中不損失機械能,那么碰撞前后系統的動能必然是相等的.

筆者認為,“六文”之所以出現錯誤,其原因在于將物理問題純數學化了,這也是部分教師在教學中容易出問題的地方.

實質上,對于本題而言,若要碰后小球1上升得最高,也就意味著要求小球2把剛碰前時的全部動能在碰撞過程中都給了小球 1,即碰后 v2′=0.由(6)式,可得 n=3,將 n=3代入(5)式,解得 v1′=2v0.這樣,碰后系統的總動能為

注意到 n=3時,m2=3m1代入(8)式,得

比較(9)、(10)兩式,碰撞前后系統的動能是相等的,這也才是符合物理本質的.