動量觀點(diǎn)和能量觀點(diǎn)在(動生)電磁感應(yīng)問題中的運(yùn)用

柴亞寧

(河北省鄭口中學(xué),河北故城 253800)

“電磁感應(yīng)”一章在高考中占有非常重要的地位,這里不但有電磁感應(yīng)過程中感應(yīng)電流大小和方向的判定及計(jì)算,更有力學(xué)知識在電磁感應(yīng)問題中的綜合應(yīng)用問題.而在這些綜合問題中,往往需要運(yùn)用牛頓第二定律、動量定理、動量守恒定律、功能關(guān)系、動能定理及能量守恒定律,并結(jié)合閉合電路的計(jì)算等物理規(guī)律及基本方法進(jìn)行,而上述規(guī)律及方法又都是中學(xué)物理學(xué)的重點(diǎn)所在,是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn),必須引起足夠的重視.

1 動量觀點(diǎn)在電磁感應(yīng)問題中的運(yùn)用

我們知道,應(yīng)用動量定理可以由動量變化來求解變力的沖量,正因?yàn)槿绱?所以在求解電磁感應(yīng)有關(guān)問題時(shí),如在導(dǎo)體棒做非勻變速運(yùn)動的問題中,應(yīng)用動量定理可以解決牛頓運(yùn)動定律不易解答的問題,這樣就可以避免由于加速度變化而導(dǎo)致運(yùn)動學(xué)有關(guān)公式不能使用的麻煩.

例1.如圖1所示,在光滑水平面上有一個(gè)豎直向上的勻強(qiáng)磁場,分布在寬度為 l的區(qū)域內(nèi).現(xiàn)有一個(gè)邊長為a的正方形閉合導(dǎo)線框(a＜l),以初速度 v0垂直于磁場邊界沿水平面向右滑過該磁場區(qū)域,滑出時(shí)的速度為v.下列說法中正確的是

(D)以上3種都有可能.

解析:線框進(jìn)入磁場和離開磁場時(shí),由于切割磁感線而在線框中產(chǎn)生感應(yīng)電流,該感應(yīng)電流受到磁場的安培力作用,故將改變其運(yùn)動狀態(tài).同時(shí)由于安培力作用,速度和加速度均發(fā)生變化,故用一般的方法也不容易求解.但注意到線框進(jìn)入磁場和離開磁場時(shí)的磁通量變化大小是相等的,則由動量定理可求得安培力在極短時(shí)間內(nèi)的沖量為

圖1

利用這個(gè)結(jié)論即可方便地進(jìn)行求解.

設(shè)導(dǎo)線框完全進(jìn)入磁場中時(shí),速度為 vx,則對于線框進(jìn)入磁場的過程,應(yīng)該有

同理,對于線框離開磁場的過程,有.

此時(shí)盡管兩個(gè)時(shí)間 Δt1、Δt2的大小關(guān)系不明確,但容易得到.

例2.如圖 2所示,在空中有一水平方向的勻強(qiáng)磁場區(qū)域,區(qū)域上下邊緣間距離為 h,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,有一寬度為b(b＜h)、長度為 L、電阻為 R、質(zhì)量為m的矩形導(dǎo)體線圈緊貼磁場區(qū)域上邊緣從靜止起豎直下落,當(dāng)線圈的PQ邊到達(dá)磁場下邊緣時(shí),恰好開始做勻速運(yùn)動.求:

(1)線圈的 M、N邊剛好進(jìn)入磁場時(shí),線圈的速度大小;

(2)線圈從開始下落到剛好完全進(jìn)入磁場所經(jīng)歷的時(shí)間.

解析:(1)題目中明確了“線圈的PQ邊到達(dá)磁場下邊緣時(shí),恰好開始做勻速運(yùn)動”,我們只要由此出發(fā),“順藤摸瓜”即可求得線圈的 MN邊剛好進(jìn)入磁場時(shí),線圈的速度大小.

設(shè)線圈勻速穿出磁場的速度為 v,此時(shí)線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為

圖2

產(chǎn)生的感應(yīng)電流為

線圈受到的安培力為

此過程中線圈受到的重力與安培力平衡

聯(lián)立(1)～(4)式,得

設(shè)線圈上邊剛好進(jìn)入磁場時(shí)速度為 v0,當(dāng)線圈全部在磁場中運(yùn)動時(shí),根據(jù)動能定理有

聯(lián)立(5)、(6)式,解得

(2)容易判斷,線圈從開始下落到剛好完全進(jìn)入磁場的運(yùn)動并不是勻變速運(yùn)動,故所經(jīng)歷的時(shí)間不能利用運(yùn)動學(xué)公式計(jì)算,但可以由動量定理求解.

設(shè)線圈從開始下落到剛剛完全進(jìn)入磁場所用的時(shí)間為t,根據(jù)動量定理

在t內(nèi)根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有

線圈中產(chǎn)生的平均電流為

故安培力的沖量為

聯(lián)立(9)～(11)式,得

將(7)和(12)式代入(8)式解得

2 能量觀點(diǎn)在電磁感應(yīng)問題中的運(yùn)用

電磁感應(yīng)的過程實(shí)質(zhì)上是不同形式能量轉(zhuǎn)化的過程,感應(yīng)電流在磁場中必定受到安培力的作用,在動生電動勢情形下要維持感應(yīng)電流,必須有其他力克服安培力做功,即其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能.克服安培力做多少功,就有多少其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能.

例3.如圖3所示,質(zhì)量為 m、邊長為l的正方形線框,從有界的勻強(qiáng)磁場上方由靜止自由下落,線框電阻為 R.勻強(qiáng)磁場的寬度為 H(l＜H),磁感強(qiáng)度為B,線框下落過程中 ab邊與磁場邊界平行且沿水平方向.已知 ab邊剛進(jìn)入磁場和剛穿出磁場時(shí)線框都做減速運(yùn)動,加速度大小都是.求:

圖3

(1)ab邊剛進(jìn)入磁場時(shí)與ab邊剛出磁場時(shí)的速度大小;

(2)cd邊剛進(jìn)入磁場時(shí),線框的速度大小;

(3)線框進(jìn)入磁場的過程中產(chǎn)生的熱量.

解析:(1)在已知加速度的情況下,可以通過牛頓第二定律建立方程求有關(guān)速度.

由題意可知,ab邊剛進(jìn)入磁場與剛出磁場時(shí)的速度相等,設(shè)為v1,則對線框顯然有

解得

(2)cd邊剛進(jìn)入磁場后,由于穿過線框的磁通量不再變化,回路中不產(chǎn)生感應(yīng)電流,線框在重力作用下勻加速運(yùn)動,則在解得ab邊剛出磁場時(shí)的速度大小v1后,對 cd邊進(jìn)入磁場到ab邊剛出磁場應(yīng)用動能定理即可求得cd邊剛進(jìn)入磁場時(shí)速度v2,此時(shí)有

解得

(3)線框進(jìn)入磁場的過程中,首先做加速運(yùn)動,而后做減速運(yùn)動,故產(chǎn)生的熱量 Q不能根據(jù)焦耳定律求解,只能通過能量轉(zhuǎn)化和守恒定律計(jì)算,則有

解得

例4.兩根相距為 L的足夠長的金屬直角導(dǎo)軌如圖4所示放置,它們各有一邊在同一水平面內(nèi),另一邊垂直于水平面.質(zhì)量均為 m的金屬細(xì)桿ab、cd與導(dǎo)軌垂直接觸形成閉合回路,桿與水平和豎直導(dǎo)軌之間有相同的動摩擦因數(shù)μ,導(dǎo)軌電阻不計(jì),回路總電阻為2R,整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場中.當(dāng)ab桿在平行于水平導(dǎo)軌的拉力作用下沿導(dǎo)軌向右勻速運(yùn)動時(shí),cd桿也正好以某一速度向下做勻速運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動過程中金屬細(xì)桿ab、cd與導(dǎo)軌接觸良好,重力加速度為 g,求:

(1)ab桿勻速運(yùn)動的速度v1;

(2)ab桿所受拉力F;

(3)ab桿以v1勻速運(yùn)動時(shí),cd桿以v2(v2已知)勻速運(yùn)動,則在cd桿向下運(yùn)動h過程中,整個(gè)回路產(chǎn)生的焦耳熱.

解析:(1)ab桿向右運(yùn)動時(shí),ab桿中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢方向?yàn)閍→b,大小為E=BLv1,cd桿中的感應(yīng)電流方向?yàn)閐→c,cd桿受到的安培力方向水平向右,安培力大小為

圖4

cd桿向下勻速運(yùn)動,有

解(1)、(2)兩式,ab桿勻速運(yùn)動的速度為

(2)ab桿所受拉力為

(3)設(shè)cd桿以v2速度向下運(yùn)動 h過程中,ab桿勻速運(yùn)動了s距離,則有

整個(gè)回路中產(chǎn)生的焦耳熱等于克服安培力所做的功,故

3 動量觀點(diǎn)和能量觀點(diǎn)在電磁感應(yīng)問題中的綜合運(yùn)用

通過上述分析我們可以看到,借助動量定理可以方便地由動量變化來求解電磁感應(yīng)問題中有關(guān)變力的時(shí)間及速度等物理量.而在相互平行的水平軌道間的雙棒做切割磁感線運(yùn)動時(shí),由于這兩根導(dǎo)體棒所受的安培力等大反向,合外力為零,若不受其他外力,則兩導(dǎo)體棒的總動量守恒,故解決此類問題往往應(yīng)用動量守恒定律來處理.

例5.如圖5所示,兩根足夠長的固定平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi),導(dǎo)軌間的距離為 L,導(dǎo)軌上橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd.設(shè)兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量皆為 m,電阻皆為R,導(dǎo)軌光滑且電阻不計(jì),在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場,磁感強(qiáng)度為B.開始時(shí),ab和cd兩導(dǎo)體棒有方向相反的水平初速,初速大小分別為 v0和2v0,求:

(1)從開始到最終穩(wěn)定回路中產(chǎn)生的焦耳熱;

圖5

解析:(1)從開始到最終穩(wěn)定的過程中,兩棒總動量守恒,則 2mv0-mv0=2mv,得

由能量守恒定律,整個(gè)過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱為

得

此時(shí)回路中的總電動勢由ab和cd兩導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的電動勢串聯(lián)而成,則此時(shí)回路中的總電動勢為

故回路中消耗的電功率為

則消耗的電功率為

例6.如圖6所示,光滑水平面停放一小車,車上固定一邊長為 L=0.5 m的正方形金屬線框 abcd,金屬框的總電阻 R=0.25 Ω,小車與金屬框的總質(zhì)量 m=0.5 kg.在小車的右側(cè),有一寬度大于金屬線框邊長,具有理想邊界的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=1.0 T,方向水平且與線框平面垂直.現(xiàn)給小車一水平速度使其向右運(yùn)動并能穿過磁場,當(dāng)車上線框的 ab邊剛進(jìn)入磁場時(shí),測得小車加速度 a=10 m/s2.求:

圖6

(1)金屬框剛進(jìn)入磁場時(shí),小車的速度為多大?

(2)從金屬框剛要進(jìn)入磁場開始,到其完全離開磁場,線框中產(chǎn)生的焦耳熱為多少?

解析:(1)由于明確了線框的 ab邊剛進(jìn)入磁場時(shí)小車的加速度,可以通過其受力情況列方程求解.

設(shè)小車初速度為 v0,則線框剛進(jìn)入磁場時(shí),ab邊由于切割磁感線產(chǎn)生的電動勢為

回路中的電流為

根據(jù)牛頓定律有

由以上3式可解得 v0=5 m/s.

(2)在求得金屬框剛進(jìn)入磁場時(shí)小車的速度后,為了求得從金屬框剛要進(jìn)入磁場,到其完全離開磁場所產(chǎn)生的焦耳熱,關(guān)鍵在于求出小車完全離開磁場時(shí)的速度.

設(shè)線框全部進(jìn)入磁場時(shí)小車速度為 v1,進(jìn)入過程平均電流為 ˉI,所用時(shí)間為 Δt,則

設(shè)線框離開磁場時(shí)小車速度為v2,進(jìn)入過程平均電流為 ˉI1,所用時(shí)間為 Δt1,則

線框從進(jìn)入到離開產(chǎn)生的焦耳熱應(yīng)等于系統(tǒng)損失的機(jī)械能,即