平面內兩運動光滑曲線交點速度計算之“速度分解-合成法”的證明及應用舉例

李衛平

(西華師范大學物理與電子信息學院,四川南充 637002)

在本刊2004年第9期上筆者曾發表了《平面上兩平動光滑曲線交點速度的最簡求法——“速度分解-合成法”》一文[1],在文中對計算同一平面內兩平動光滑曲線交點速度的“速度分解-合成法”進行了證明.所作的證明僅限于在同一平面內兩光滑曲線均做平動的情況.

近來通過進一步的思考,筆者認識到此“速度分解-合成法”并不僅僅適用于同一平面內兩光滑曲線均做平動的情況,而是適用于在同一平面內兩光滑曲線的任何運動.下面給出一個適合中學水平的該方法在同一平面內兩光滑曲線做任意運動情況下的一般證明,并舉例說明該方法在兩曲線并非均做平動情況下的應用.

1 證明

如圖 1所示,L1、L2為同一平面內兩運動的光滑曲線.其交點P相對地面參照系(或其他慣性參照系)的速度為 vP.v1、v2分別為 L1、L2上的與交點P重合的點P1、P2(圖1中未畫出)的瞬時速度.

分別作 L1、L2的切線 l1、l2(如圖1).取與 L1上的與P1點一起以速度v1運動的參照系,在此參照系中P點以速度v1′沿l1運動(如圖 1).則

圖1

取與L1上的與P1點一起以速度 v1運動的參照系,在此參照系中 P點以速度v2′沿l2運動(如圖1).則

在地面參照系中沿 l1、l2方向分解 v1(如圖1),有.

在地面參照系中沿 l1、l2方向分解 v2(如圖1),有.

觀察圖1中的矢量關系,可知

這表明,在同一平面內兩光滑曲線做任意運動形成交點的情況下,將某時刻形成交點的兩曲線上的兩點的速度分別沿交點處的兩曲線的切線方向進行分解,則所得4個分速度中沿對方曲線切線方向上的兩個分速度的矢量合即為該時刻交點的速度.

2 應用舉例

圖2

圖3

解析:如圖3所示,在 t=1 s時,兩桿的交點為 M′.

對三角形 M′AB,由正弦定理有

于是得桿 BD上的與M′點重合的點M1(圖3中未畫出)的速度為

桿 AC上的與M′點重合的點M2(圖 3中未畫出)的速度為

如圖3,沿兩直線方向分解 v1和 v2,有 v1=v11+v12,v2=v21+v22,計算 v12和 v21.

由正弦定理得

M′點的速度vM′=v12+v21.由余弦定理便得

例2.活頁構件由六根細桿 AB、AC、BF、CE、EG、FG 所構成的兩個菱形組成,兩個菱形均在豎直平面內,各交點 A、B、C、D 、E 、F 、G都由鉸鏈連接.兩菱形的邊長之比為2:1,如圖4所示.頂點 A固定不動,頂點 G以速度v沿水平方向移動,當構件所有的角都為直角時,細桿BF與另一豎直的固定細桿PQ的交點K恰好使得BK=KD.求此時交點K的速度大小.

圖4

圖5

解析:如圖5,設桿 BF的BD部分的中點為N,AN′為AN的水平投影,N點的水平速度為vN‖,豎直速度為vN⊥.

因為桿BF上N、D兩點的速度在桿長方向的分量相等,故有

將vN沿著桿PQ和桿BF方向分解(如圖5),有

由正弦定理有

即

例3.如圖6所示,豎直平面內的半徑為 R圓環繞固定軸C以角速度ω順時針勻速轉動,在同一平面內一水平直線以速度 v豎直向下勻速平動.當圓環的圓心O轉至最高點時,水平直線距離軸 C為1.5R.求此時圓環與直線的交點P的速度大小.

圖6

圖7

圓環上的與交點P重合的點P1(圖7中未畫出)的速度大小為

直線上的與交點P重合的點P2(圖7中未畫出)的速度大小為v.

如圖7,沿過P點的圓的切線方向和水平直線方向分解v和u可得

計算 v2和 u1:

又由正弦定理可得

P點的速度vP=v2+u1.由余弦定理得

將已求得的 v2、u1代入,即得

例 4.如圖 8所示,在同一豎直平面內的兩半徑同為 R的圓環以相同大小的角速度ω沿相反方向繞軸C旋轉.當兩環轉至一環的圓周過另一環的圓心時,求兩環的交點P的速度大小.

圖8

圖9

如圖9,沿過P點的兩圓環的切線方向分解有

v1=v11+v12.則

由對稱性可知圓環O2上的與P點重合的點P1(圖9中未畫出)的速度v2的分量之一為

P點的速度vP=v12+v21.由幾何關系顯然有

1 齊德江,李衛平.平面上兩平動光滑曲線交點速度的最簡求法——“速度分解-合成法”.物理教師,2004(9):59～61