對全國中學生物理競賽復賽一試題參考解答的質疑與分析

李衛(wèi)平

(西華師范大學物理與電子信息學院,四川南充 637002)

1 原題及原參考解答

為了方便讀者,將第26屆全國中學生物理競賽復賽第一大題的第5小題的原題及評分參考解答轉錄于下.

題目:如圖1,給靜止在水平粗糙地面上的木塊一初速度,使之開始運動.一學生利用角動量定理來考察此木塊以后的運動過程:“把參考點設于如圖所示的地面上一點 O,此時摩擦力f的力矩為0,從而地面木塊的角動量將守恒,這樣木塊將不減速而做勻速運動.”請指出上述推理的錯誤,并給出正確的解釋.

參考解答:

該學生未考慮豎直方向木塊所受的支持力和重力的力矩.僅根據摩擦力的力矩為零便推出木塊的角動量應守恒,這樣推理本身就不正確.事實上,此時支持力的作用線在重力作用線的右側,支持力與重力的合力矩不為0,木塊的角動量不守恒,與木塊做減速運動不矛盾.

圖1

2 對原參考解答的分析

顯然,參考解答是將減速運動過程中的木塊始終視為大小不可忽略的剛體的.在此前提下,參考解答首先認為,作用于木塊的重力和支持力對參考點O的力矩不為零,因而木塊對參考點O的角動量不守恒;進而認為,在木塊的角動量不守恒時,這與木塊速度大小變化的客觀事實不矛盾.學生之所以推出木塊不減速而做勻速運動的錯誤結論,是因為未注意到作用于木塊的對參考點 O的合力矩不為零.

從參考解答的文字表述來看,其分析論證中包含著這樣的觀點:即認為角動量守恒與否和速度大小變化與否是可以構成矛盾沖突的兩個事實——在物體角動量不守恒而速度大小變化時二者不構成矛盾;在物體角動量守恒而速度大小變化時或者角動量不守恒而速度大小不變時二者便構成矛盾.筆者認為這樣的觀點是欠妥的.

為了說明問題,不妨設想將相對地面靜止的參考點O由地面向上平移至與木塊質心C的等高處(如圖2所示).此時,木塊對參考點O的角動量便由原來的不為零變成現(xiàn)在的始終為零,摩擦力、重力、支持力對O的合力矩相應地由原來的不為零變成現(xiàn)在的為零,而木塊卻仍做減速直線運動——其運動性質絕不會因參考點 O的位置改變而改變.按照參考解答的觀點,此時木塊角動量守恒的事實與其做減速運動的事實便構成了矛盾.在這種情況下,該學生如果根據木塊的角動量守恒,推出木塊將不減速而做勻速運動,我們將如何去論證學生的推理錯誤呢?

圖2

圖3

為了說明問題,也不妨設想將木塊壓薄,使其成為一平放在地面的高度極小而長、寬(垂直于紙面)不變,質量不變的薄木板(如圖3所示).此時,木塊相對地面上的參考點O的角動量始終為零——這當然也守恒(不難證明,此時支持力和重力的作用線將重合,兩力對參考點O的合力矩等于零).在這種情況下,學生如果根據木塊的角動量守恒,推出木塊將不減速而做勻速運動,我們又將如何去分析論證學生的錯誤呢?

參考解答的問題其實出在將角動量的守恒與否與速度變化與否視為一種單一的必然關系.一般而言,物體相對參考點的角動量大小取決于相對參考點物體質量的分布情況和速度(大小及方向)的分布情況等兩方面的因素.因此,相對選定的參考點,物體角動量變化時物體的速度不一定變化,物體的角動量不變時物體的速度也不一定就不變化,而且即使速度變化也不一定就是速度的大小變化;而相對同一參照系中的不同參考點,物體的角動量一般可能是不同的,但物體的速度卻絕不因同一參照系中的參考點的不同而發(fā)生變化.所以說,將角動量守恒與否和速度大小的變化與否視為構成矛盾沖突的兩個方面的觀點是欠妥的.

還須指出的是,參考解答僅僅將運動中的木塊視為大小不能忽略的剛體也是欠妥的.原題并未用文字明確說明運動初始時木塊的大小相對其距所選定的參考點O的距離是不可忽略的,所以在考察木塊以后的直線平動時,學生忽略其大小視其為質點也是可能并且是允許的.而當木塊被合理地視為一定條件下的質點時,支持力、重力將在一條豎直線上,作用于木塊上的各外力的合力矩為零,木塊的角動量守恒,且由于作為質點的木塊的速度矢量過參考點O,其角動量將始終為零.而木塊事實上卻做減速運動.這時顯然就無法用木塊角動量守恒與否和木塊速度大小變化與否能不能構成矛盾來分析論證學生的推理錯誤了.實際上,作為質點的木塊相對地面上的參考點O的角動量為L=r×p,由于r與p的夾角α≡0,所以木塊的角動量的大小L=rmvsinα≡0,而無論 v實際變化與否.由此也不可能斷定速度的大小 v必然是不變的.前述兩種設想中的角動量與速度大小的關系其實也屬這種情況.一般說來,當做直線平動的物體的質心速度過研究轉動的參考點時,其角動量便恒為零,這是角動量守恒的特殊情況.這時是根本不可能據此判斷物體速度大小是否變化的.而當直線運動物體的質心速度不過研究轉動的參考點時,方可根據其角動量守恒與否和其他條件相結合來判斷物體的速度大小變化與否.

事實上,對題中木塊的運動,若將木塊視為大小不可忽略的剛體的話,如圖4,通過簡單的分析計算可知直線平動的木塊相對地面上的參考點O的角動量為L=rC×mv[1],其方向始終垂直紙面向里(必須假定木塊質心 C的速度v處在直線OC所在的豎直平面內才有這一結論),其大小則為 L=rCmvsinθ=hCmv.由于木塊所受合外力矩不為零,所以其角動量是變化的,由于木塊的角動量方向不變,所以其大小必然發(fā)生變化,由于木塊角動量大小表達式中的“hCm”是不變的 ,所以其速度大小v將發(fā)生變化.這一推理過程表明了,并非簡單地僅僅根據角動量不守恒便可以必然地推斷出木塊的速度大小變化的結果.相反,被視為剛體的木塊其所受合外力矩假若為零的話(比如,在地面光滑摩擦力為零,重力和支持力作用在一條豎直線上的時候),則木塊的角動量將守恒.由于木塊的角動量方向不變,所以其大小L=rCmvsinθ=hCmv必然不變,由于角動量大小表達式中的“hCm”不為零且是不變的,所以木塊的速度大小 v將不變.這一推理過程表明,并非簡單地僅僅根據角動量守恒便可以必然地推斷出木塊的速度大小不變的結果.

圖4

3 新的參考解答:學生的兩種可能的錯誤

根據以上分析可知原題中的學生所犯的錯誤應分兩種情況看待.

(1)如果該學生將木塊視為一定條件下大小不可忽略的剛體,則存在的錯誤是:疏忽了重力、支持力的不為零的合力矩,而誤認為木塊的角動量守恒(這正是參考解答所指出的),因而導出了不符合實際的結論.

(2)如果該學生將木塊視為一定條件下大小可忽略的質點,則認為木塊角動量守恒(始終為零)是正確的,而存在的錯誤則是:根據木塊的角動量始終為零,得出其速度大小一定不變的推理不具有必然性,因而導出了不符合實際的結論.

1 舒幼生.力學.北京:北京大學出版社,2005.153