不完全信息靜態庫諾特模型均衡分析

馬國順，行曉妮，劉文文

（1.西北師范大學 數信學院，蘭州 730070；2.蘭州大學 數學與統計學院，蘭州 730000）

0 引言

市場結構中的重要形式之一的寡頭壟斷，由于其產量和價格的決策對整個市場和其他競爭對手均會產生重要影響，并在不完全信息下這些策略行為變得相當復雜，而作為經濟學企業理論中研究寡頭市場的一個經典雙寡頭模型[1]，即兩企業相互競爭的模型，自1838年由法國數理經濟學家庫諾特提出后，受到經濟學界的廣泛關注，因此學術界對庫諾特模型進行了廣泛研究。如文獻[2]比較了信息對稱與信息不對稱條件下兩企業的最優產量；文獻[3]構建了市場不同逆需求函數及企業不同生產成本下的庫諾特模型；文獻[4]建立了不同生產成本下的動態庫諾特模型，并分析了其對均衡產量和均衡利潤的影響。但這些研究都集中在固定成本和其中一個企業有不變成本的基礎上，本文通過引入兩企業成本類型的預測概率建立了靜態庫諾特模型，分析了其在信息對稱和信息不對稱條件下的關系以及對均衡產量的影響，從而得出一些具有價值性的結論。

1 庫諾特模型的建立

1.1 庫諾特模型

庫諾特模型的經典表述為:在一個市場中有兩個寡頭企業，分別為企業1和企業2，兩個企業生產同種質量的商品，產量分別是q1和q2，市場中該商品的供給為Q=q1+q2，市場出清時的價格為a其中， 為需求函數的參數。兩個企業的邊際成本為C。由此，Eric Rasmusen指出:兩寡頭企業博弈是非合作的，都根據各自利潤最大化的一階條件生成的反應函數來決策，形成帕累托最優均衡[5]。

本文假定：

（1）兩家寡頭企業都有不變的單位成本C，但企業1的單位成本對于企業2來說是不確定的，可能是新成本C1N，也可能是舊成本C1O；企業2的單位成本對于企業1來說也是不確定的，可能是高成本C2H，也可能是低成本均為常數)。

（2）企業1能夠根據從市場中搜尋的信息判斷企業2屬于高成本類型的概率為λ，屬于低成本類型的概率為1-λ；企業2根據從市場中搜尋的信息判斷企業1屬于新成本類型的概率為μ，屬于舊成本類型的概率為1-μ。

（3）兩個企業的行動空間分別為 A1=[0，（a-c）/2]，A2=[0，（a-c）/2]。

1.2 庫諾特模型的建立

在上面的假設下，企業1的收益函數有以下4種表述形式：

類似的，企業2的收益函數也有以下4種表述形式：

由于企業1并不知道企業2的確切成本，只知道企業2成本存在的概率，因此企業1的收益只能用期望收益來表示：

在新成本下：

在舊成本下：

由最優化的一階條件:?u1/?q1=0可知:企業1在新成本下的最優反應函數為：

企業1在舊成本下的最優反應函數為:

同樣，企業2的收益也只能用期望收益來表示：

在高成本情況下：

在低成本情況下：

由最優化的一階條件:?u2/?q2=0可知，企業2在高成本下的最優反應函數為:

企業2在低成本下的最優反應函數為:

(1)，(2)，(3)，(4)式便構成了兩企業成本不確定情況下的靜態庫諾特模型。

均衡意味著兩個企業的四個反應函數同時成立，解得貝葉斯均衡為：

2 靜態庫諾特模型均衡分析

我們假設 c2L＜c1O＜c1N＜c2H，以下對構建的模型進行分析。

2.1 完全信息和不完全信息靜態庫諾特模型均衡產量分析

(1)當c1N=c1O=c，c2H=c2L=c時，即企業1和企業 2有相同的不變成本，這就是完全信息靜態庫諾特模型，由(5)，(6)，(7)，(8)產生的納什均衡為:q1*=q2*=a-c/3。

(2)當 c1N=c1O=c1，c2H=c2L=c2時，即企業 1和企業 2分別有固定的單位成本但不相同，這時模型仍然是完全信息靜態博弈，由上式產生的納什均衡為:q1*=a-2c1+c2/3，q2*=a+c1-2c2/3。

(3)當 0＜μ＜1，也就是出現不完全信息時，q1*(c1N)-q1*(c1O)=c1O-c1N/2＜0，這表明，在不完全信息情況下，屬于舊成本類型的企業1的均衡產量q1*(c1O)大于屬于新成本類型的企業1的均衡產量q1*(c1N)；對企業2也可以做類似分析。

(4)企業1均衡產量的分析

這表明不論企業1是新成本還是舊成本，均衡產量隨著μ的增大而減小，隨著λ的增大而增大。

①若企業1是用c1N生產的，當它知道企業2是用c2N生產時，企業1的均衡產量為q*1H(c1N)=a-2c1N+c2H/3；當它知道企業2用c2L生產時，企業1的均衡產量為q*1L(c1N)=a-2c1N+c2L/3，（下標表示企業2在用高成本或低成本生產時企業1的均衡產量）。 由于 0＜λ＜1，總有 c2L＜λ·c2H+(1-λ)·c2L＜c2H，將上面兩個均衡產量與 q1*(c1N)比較，則有 a-2c1N+c2L/3＜a-2c1N+λ·c2N+(1-λ)·c2L/3＜a-2c1N+c2H/3， 該不等式給出了企業 1 用 c1N生產時，完全信息和不完全信息條件下其均衡產量之間的關系。

②若企業1是用c2O生產的，當它知道企業2是用c2H生產時，企業1的均衡產量為q*1H(c1O)=a-2c1O+c2H/3，當它知道企業2用c2L生產時，企業1的均衡產量為q*1L(c1O)=a-2c1O+c2L/3，由于 0＜λ＜1，總有 c2L＜λ·c2H+(1-λ)·c2L＜c2H，將上面兩個均衡產量與q1*(c1O)比較，則有：

a-2c1O+c2L/3＜a-2c1O+λ·c2H+(1-λ)·c2L/3＜a-2c1O+c2H/3

該不等式給出了企業1用c1O生產時，完全信息和不完全信息條件下其均衡產量之間的關系。

對企業2也可以做類似分析。

(5)兩企業均衡產量的比較分析

①企業2為高成本類型時：

②企業2為低成本類型時：

這說明，無論企業1為哪種成本，當它獲得企業2為高成本的信息量相對于對方獲取自己信息量越大時，企業1的均衡產量越大，當對信息量的預測超過一定程度時，企業1的產量高于企業2的產量。

對企業2可以做類似的分析。

2.2 完全信息條件下的納什均衡和不完全信息條件下的貝葉斯均衡比較

更具體的， 我們不妨取 a=10，c1N=5，c1O=4，λ=1/2，c2H=6，c2L=3，μ=2/3，由此可得貝葉斯均衡為:q1*(5)=14/9，q2*(4)=37/18，q2*(6)=41/36，q2*(3)=95/36 即 q2*(6)＜q1*(5)＜q1*(4)＜q1*(3)，這說明，在市場逆需求函數a=P-Q的條件下，該均衡反映了一種經濟現象，成本越高，均衡產量越低。

下面比較不完全信息條件下的貝葉斯均衡和完全信息條件下的納什均衡：

(1)企業1用新成本c1N生產

當企業1知道企業2用高成本c2N生產時，企業1的反應函數為：

當企業2知道企業1用新成本生產時，企業2的反應函數為：

當企業1知道企業2用低成本c2L生產時，企業1的反應函數為：

當企業2知道企業1用新成本c2N生產時，企業2的反應函數為：

(2)企業1用舊成本c1O生產

當企業1知道企業2用高成本c2H生產時，企業1的反應函數為：

q1*(c1O)=[a-q2*(c2N)-c1O]/2=[6-q2*(c2N)]/2

當企業2知道企業1用舊成本生產時，企業2的反應函數為：

當企業1知道企業2用低成本c2L生產時，企業1的反應函數為：

當企業2知道企業1用舊成本c1O生產時，企業2的反應函數為：

也就是說，與完全信息相比，在不完全信息情況下，對于企業2，不論對方的成本如何，高成本企業的產量相對較多，低成本企業的產量相對較低；而對于企業1來說，不論自己是新成本還是舊成本，當企業2為高成本時，企業1的產量相對較低，當企業2為低成本時，企業1的產量相對較高。導致該結果的原因是，當企業1不知道企業2的成本時，只能生產預期的最優產量，高于完全信息下對低成本競爭對手的產量，低于完全信息下對高成本競爭對手的產量，企業2對此作出反應，同理，當企業2不知道企業1的成本時，只能生產預期的最優產量，高于完全信息下對舊成本競爭對手的產量，低于完全信息下對新成本競爭對手的產量，企業1對此作出反應。

3 結論

(1)寡占市場中，企業雙方不論是哪種成本，隨著自己獲取對方信息愈多時，其均衡產量愈少，隨著自己被獲取的信息量愈大時，其均衡產量愈多；特別的，當一方獲取對方的成本高于自己成本的信息量愈多時，它的產量愈多，當預測的信息量超過一定程度時，它的均衡產量高于對方的產量。

(2)寡占市場中，企業雙方在不知道對方成本的情況下，均衡產量高于確知對方為低成本競爭對手的產量，低于確知對方為高成本競爭對手的產量。

(3)在市場逆需求函數a=P-Q的條件下，企業的成本越高，均衡產量越低。

[1]Gibbons Robert.A Primer in Game Theory[M].London:Harvester Wheatsheaf Publisher，1992.

[2]王禮剛，楊紅.完全信息與不完全信息下的古諾模型之比較[J].西北民族大學學報（自然科學版），2005，26(4).

[3]張宇波，羅先覺.寡占市場中動態古諾模型的建立及穩定性分析[J].系統工程理論與實踐，2003，23(11).

[4]周世軍，岳朝龍，嚴忠.不完全信息動態庫諾特模型均衡分析[J].安徽工業大學學報（自然科學版），2008，25(1).

[5]張維迎.博弈論與信息經濟學[M].上海:上海人民出版社，2004.