It型Markov切換系統時滯相關指數穩定性

趙旭東，王 禮，凌明祥，曾慶雙

(哈爾濱工業大學空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱 150001，zxd7777777@126.com)

趙旭東，王 禮，凌明祥，曾慶雙

(哈爾濱工業大學空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱 150001，zxd7777777@126.com)

研究了時變時滯滿足h1≤d(t)≤h2的It型隨機Markov切換系統的區間時滯相關指數穩定性.通過構造不同的Lyapunov-Krasovskii函數，并通過引入一些改進的積分等式方法，以線性矩陣不等式的形式提出了具有較小保守性的區間時滯依賴指數穩定性條件.最后通過數值算例說明本文結論的有效性及具有較低的保守性.

時滯相關穩定性;Markov切換系統;區間時變時滯;線性矩陣不等式

時滯馬爾可夫隨機切換系統

1 系統描述與準備

在本文中:λmin(·)，λmax(·)表示相應矩陣最小和最大特征值，E［·］代表數學期望.‖·‖表示向量的Euclidean范數和矩陣的譜范數.M ＞0用來表示對稱正定矩陣.當r(t)=i∈S={ 1， 2，…，N}時，記Ai=A(r(t)).

系統(1)中d(t)為區間時變時滯，滿足

注1.有必要指出在已知文獻［6－10］中，有關具有時變時滯的It型Markov切換系統的時滯項大都定義為0≤d(t)≤h，(t)≤μ＜ 1，而在本文中對h1，μ并無限制，因此本文中的時滯更具一般性.

2 主要結果

定理1 給定常數h1，h2.對任意時滯d(t)，系統(1)是均方指數穩定的，若存在正常數ε1，ε2，ε3，ρi和 n × n 階大于0 的矩陣 Pi，Q1i，Q2i，Q3i，Ri，Si，Ti，Z1，Z2，Q1，Q2，Q3及 Lki，Mki，Nki，Hki，k= 1， 2，…， 5，使得對任意 i= 1， 2，…，N，以下不等式成立:

選擇Lyapunov-Krasovskii函數:

其中:Pi，Q1i，Q2i，Q3i，Q1，Q2，Q3，Z1，Z2，i= 1， 2，…，N，是適當維數正定矩陣，ε1，ε2，ε3為正常數，定義L為隨機過程{xt，t≥0}的弱無窮小微分算子.則對任意 r(t)=i，i∈ S，有

所以由定義 1，系統(1)是均方指數穩定的.

下面考慮一般型變時滯馬爾可夫切換系統:

定義2 系統(20)是隨機穩定的，若對于［－h2，0］上初值 φ(t)和 r(0)∈ S，以下條件滿足:

推論1 給定常數h1，h2.對任意時滯d(t)，系統(20)是隨機穩定的，如果存在n×n階矩陣Pi＞ 0，Q1i＞ 0，Q2i＞ 0，Q3i＞ 0，Ri＞ 0，Si＞ 0，Ti＞ 0，Z1＞ 0，Z2＞ 0，Q1＞ 0，Q2＞ 0，Q3＞ 0，Lki，Mki，Nki，Hki，k= 1， 2，…， 5，使得對任意 i= 1， 2，…，N，以下矩陣不等式成立:

證明 類似定理1的推導過程，可以得出推論1成立，這里不再贅述.

3 數值算例

算例1 考慮具有兩模態的時滯馬爾可夫跳躍系統(20)，系統參數如下［5］:

為了將推論1中結果與文獻［5］中結果進行比較，首先設定 h1= 0，μ11= －0. 1，μ22= － 0. 8，對于給定μ值，滿足式(21)～(25)的最大時滯h2可以通過求解quasi凸優化問題得到.表1中給出了比較結果.另外，設定μ22=－0. 8，μ =0. 8，對于給定的μ11，表2給出了比較結果.通過表 1，表2的比較可以看出推論1具有更小的保守性.

表1 算例1中對于給定μ，允許的最大h2比較

表2 算例1中對于給定μ11，允許的最大h2比較

算例2 考慮具有兩模態的時滯馬爾可夫跳躍系統(1)，系統參數如下［9］:

同樣設定h1= 0，μ11= － 1，μ22= － 2，對于給定μ值，由定理1得出允許的最大時滯h2比較結果在表3中給出.算例2表明定理1的結果比文獻［9］中的結論具有更低的保守性.

表3 給定μ，算例2中允許的最大h2比較

當時變時滯為區間時滯(即h1≠0)時，設定h1=0. 2，μ11= － 1，μ22= － 2，，對于給定μ值，將定理1所得出允許的最大時滯h2與文獻［12］中所得結果列于表4(這里假設文獻［12］中的干擾輸入v(t)=0).由表4看到當時變時滯為區間時滯時，本文結果具有較小的保守性.

表4 給定μ，算例2中允許的最大h2比較

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Less conservative delay-dependent exponential stability for stochastic Markovian jump systems with time-varying delays

ZHAO Xu-dong，WAGN Li，LING Ming-xiang，ZENG Qing-shuang

(Space Control and Inertial Technology Institute，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China，zxd7777777@126.com)

In this paper，the delay-range-dependent exponential stability problems for Itstochastic Markovian jump linear systems with interval time-varying delays satisfying h1≤d(t)≤h2are investigated.In terms of linear matrix inequalities，the criteria of less conservative delay-range-dependent stability for Itstochastic Markovian jump systems are proposed by constructing a different Lyapunov-Krasovskii function and introducing some improved integral-equalities.Numerical examples are provided to demonstrate the efficiency and reduced conservatism of the results in this paper.

delay-dependent stability;markovian jump systems;interval time-varying delays;linear matrix inequalities

TP273

A

0367－6234(2010)03－0378－06

2008－10－17.

趙旭東(1970—)，男，博士研究生;

曾慶雙(1964—)，男，教授，博士生導師.

(編輯 張 宏)