小軸間角的螺旋錐齒輪傳動的綜合

1 前言

螺旋錐齒輪應用范圍極廣,它包含于從縫紉機到飛機和直升飛機等許多機構中。特殊的滾銑機床用于加工齒輪輪齒,在許多著作中(例如[1-3])都論述了高質量傳動的滾切問題。Sheveleva和本文作者一起開發了螺旋錐齒輪綜合和分析的復雜程序“Expert”[4-10]。該方法和Litven[1]問題相近,但其解的過程依據的數學不同。觀察可用的文獻表明沒有足夠注意大錐距齒輪,而它是小軸間角傳動的特例。在這種情況,綜合的傳統算法求出的機床一刀具調整超出了刀具直徑徑向距離,或有效柔性安裝距離的最外面的限制。

通常由減小徑向距離不改變支架角度[11]提供加工大錐距齒輪的可能性。不考慮限制獲得所有其他機床刀具調整之后,按照刀具新位置重新計算。但所提到的技術對刀具直徑和刀具壓力角施加了嚴格的限制。應用小直徑刀具結果不能滿足圓錐輪齒厚度和圓錐頂刃厚度。

已經開發了滾切帶有小軸間角傳動裝置個體螺旋錐齒輪的機床刀具調整計算的計算機編程技術。該技術提供了獲得局部接觸的可能性。如果大齒輪和小齒輪的輪齒用單邊方法滾切,那么應用任意壓力角和直徑的刀具可以切得預期的螺旋角和壓力角以及滿意的錐度。所采用的刀具直徑比齒輪錐距小,對齒輪的加工可以用一小直徑的機床。

現有技術的輸入數據資料有：

——齒輪副幾何尺寸的描述;

——為滾切大齒輪和小齒輪齒面推薦的刀具參數;

——齒輪輪齒滾切徑向距離的期望值;

——要求的齒輪螺旋角和壓力角和;

——綜合條件(名義接觸點位置,接觸跡方向,接觸橢圓長度,范成修正);

機床刀具調整研究有以下步驟：

(a)齒輪機床刀具調整的初步計算。

(b)修正齒輪機床刀具調整初步計算,求得預期的齒輪齒面的螺旋角和壓力角。

(c)根據規定的綜合條件確定小齒輪機床刀具調整。

(d)大齒輪和小齒輪輪齒滾切和嚙合過程的數值仿真,如果得到的結果不能滿足,必需修正綜合條件。

2 齒輪機床刀具調整的初步計算

螺旋錐齒輪齒面滾切的機床刀具調整如圖1所示,齒輪節錐頂點通常位于機床中心,所以ΔA=ΔE=0,式中ΔA是機床中心到錐頂距而ΔE是偏距,機床根角Γ等于齒輪根角Sf,可調整基點ΔB是機床中心到切刀面頂點的距離,由要求輪齒齒根高hfe在外錐距Le求得的條件確定的,關系式為

式中θf為齒根角,由名義螺旋角接近指定值βn條件求得的擺角q和徑間距離U：

刀具轉軸座標X和Y可表示于名義錐距Lm和刀具平均半徑 R0內,如下：

在齒輪為右螺旋情況Y＞0,反之Y＜0。

圖1 螺旋錐齒輪齒面滾切過程機床刀具調整Fig.1 Machine-tool Settings in the Process of Spiral bevel gear tooth Surface generation

如果軸間角∑小(∑≤30°),那末節錐角δ也小,而名義錐距Lm=r/sin δ超過齒總尺寸(名義節徑r或齒寬b)。例如,如果δ=3°,那末名義錐距和柔性安裝距離A,以及徑向距離U,接近大于齒輪節徑20倍。加工一個小的毛坯必需一個重型機床。如果采用修正徑向距離U值,安裝距離A,調整基點ΔB和偏心距ΔE,那末可考慮采用較小機床。采用選擇調整值U不超過機床移動極限Umax求得新的機床刀具調整值,并指出提供修正調整值如下：

不超過機床極限,速比i(擺動角速度大于毛坯角速度)為

用關系式(1)-(4)規定調整不能提供齒輪齒面名義點螺旋角所要求值βn。更重要的是,用不同螺旋角的螺紋刀片或單邊調整方法滾切齒槽側面,不同螺旋角將造成不恰當的齒厚錐度和齒寬錐度,該主要參量輪齒錐度與刀具平均半徑R0有關。在螺紋刀片或輪齒單邊調整方法加工刀具半徑R0應在以下范圍內選擇

但是在考慮情況內,對通用機床,最適宜的刀具半徑常常太大。

為獲得預期齒輪輪齒壓力角αn,刀具壓力角為

是必需的,輪齒壓力角與小齒輪齒根角θf1和大齒輪齒根角θf2有關。

3 修正初步齒輪機床刀具調整獲得預期齒輪齒面螺旋角和壓力角

如果刀具要求壓力角和平均半徑無效,用單邊切制方法可以獲得要求的壓力角和螺旋角。對于齒槽不同邊滾切可以采用不同的徑向距離U和速比i。由表達式(5)確定不同的小角度刀具壓力角是許可的。

齒輪輪齒滾切過程的參量U和i,對于齒槽各邊用以下數值解求得,它由兩未知方程組成。

名義齒輪壓力角和名義螺旋角考慮為U和i的函數,如方法(6)左邊部分。

3.1 在任意齒輪齒面螺旋角和壓力角的計算

為了確定齒輪齒面任意點螺旋角和壓力角,我們考慮兩直角笛卡爾座標系?；A系統Puvt(圖2(a))由單位矢量u,v,t組成。基礎系統Pxgygzg由單位矢量Xg,Yg,Zg組成。矢量g指向沿齒面法向,矢量U指向沿輪齒齒頂到大端輪齒面切線。矢量Xg指向沿從節錐頂點開始和指向點P的射線,矢量Zg在齒輪軸線法面內,矢量 Yg與矢量Xg和Zg互成直角。

圖2 應用座標系確定(a)壓力角和螺旋角和(b)任意面點PFig.2 Coordinate Systems applied for(a)determination of pressure and spiral angles and(b)determination of an arbitray surface point P

壓力角αn是包含在單位矢量v和Yg之間的銳角。如果矢量v和Yg定義于已知的一個和相同座標系內,那么壓力角計算如下：

式中(V,Yg)是矢量V和Yg生成的。

螺旋角βn是矢量t在 XgYg平面和Zg軸線平面上投影,由以下關系式

確定螺旋角βn。

3.2 基于已知機床刀具調整構成齒輪齒面和單位矢量u,v,t和Xg,Yg,Zg

用滾銑加工齒輪齒面,讓規定的滾切表面在笛卡爾直角座標系OXYZ(圖1)中可動,則

座標系的原點在齒輪節錐頂點,Z軸指向沿齒輪轉軸,不考慮X和Y軸的方向。該座標系和齒輪剛性連接,V和θ是表面參量,ψ是運動規定的參量。顯然矢量r與ν,θ,ψ無關,同時只與刀具幾何尺寸以及機床刀具調整有關。

我們規定P(圖2(b))點為滾切表面包絡并位于距齒輪節錐頂點O為 Lp。δp為Z軸負方向和O點在點P方向繪成的射線間夾角。

生成表面的點規定的ν和θ參量和由參量ψ規定齒輪齒面上的點一致為以下系統的根：

方程式(9a)和(9b)規定P點位于包絡面(齒面),方程式(9c)是包絡面存在的必要條件。

如果 νp,θp,ψp是式(9a)的根,那么

是P點的座標,規定在座標系OXYZ內。

求得單位矢量Xg,Yg,Zg和t為

為解式(6)采用牛頓技術,應用有限差分關系式確定有關變數 U和i的函數α*n(U,i)和β*n(U,i)的求導。考慮采用關系式(1)-(4)作為初步近似求得U 和i值 。

采用已知矢量Xg,Yg,Zg的和與矢量乘構成單位矢量u,v

關系式(11)中“+”為右螺旋,“-”為左螺旋。

4 基于固定綜合條件確定小齒輪機床刀具調整

小齒輪齒側面綜合的下一個問題是采用以上構成齒面為局部接觸,用一單邊方法生成小齒輪齒面。以下刀具參量,點半徑Rc和壓力角α是已知的,綜合將減小以下綜合參數的相互影響：

——一研究點P(2)的位移 Δr和Δv與沿齒線和沿節錐法線的齒輪齒面名義點M(2)(圖3(a))有關。該名義點位于節錐母線名義錐距Lm內。我們應構成一小齒輪齒面在點P(2)中心提供一接觸圖,研究點的球形座標距離Lp和高度δ(2)p是位移 Δr和 Δv的單值函數;

——系統Puvt的軸V和接觸跡在 P(2)點切線之間銳角λ(圖3(b));

圖3 綜合參數：(a)考慮點的位置(b)接觸跡和接觸橢圓長軸的偏差Fig.3 Parameters of Synthesis：(a)considering point location and inclination of contact path and major axis of contact ellipse

——主接觸橢圓預期相對長度σp=a/b(圖 3(b))和鍍層深度εp以及刀具中半徑 Rc;

——修正滾動系數Km。

我們推薦毛坯旋轉角φ和支架旋轉角ψ在滾切過程中的關系式為

式中i0是支架角速度與毛坯角速度之比,在支架位置內ψ=ψp。

Litvin[1]表明齒輪和小齒輪輪齒可能局部接觸,在該情況傳動誤差函數

是負或接近拋物線函數

計算大齒輪和小齒輪離開位置角φ(1)和φ(2),再選擇一對輪齒彼此在齒輪設想點P(2)相互接觸,小齒輪齒面的P(1)點和P(2)點在設置位置一致,我們稱之謂小齒輪設想點。角注“(1)”表示為小齒輪而角注“(2)”表示大齒輪。

應用滾動修正情況下,小齒輪齒面滾切如果采用小直徑刀具,可能要求規定傳動誤差(14)。

我們建議小齒輪齒面應滿足以下條件[1]：

——大齒輪齒面和小齒輪齒面在齒輪某位置設想點P(2)有一根公法線;

——在設想點 P(2)接觸瞬時,該瞬時速比等于名義值Z(1)/Z(2);

——預期傾斜接觸跡(圖3(b))。

——預期接觸橢圓長軸中心在設想點內(圖3(b))。

在節4.1—4.2描述算法的目的是檢驗以上要求。

4.1 算法確定設想位置和小齒輪齒面設想點P(1)

大齒輪齒面設想點P(2)的選擇如圖3(a)所示,在任意嚙合相位我們建立小齒輪齒面僅有一點和大齒輪齒面接觸。找尋齒輪齒面設想點位置,要求在該瞬時,當該齒面在設想齒輪齒面點接觸時,瞬時速比m21等于其名義值為

等于小齒輪齒數與大齒輪齒數比,我們建議P(2)位于固定空間由極座標確定的P點(圖4)。

圖4 小齒輪和大齒輪的相對位置Fig.4 Relative location of pinion and gear

我們將考慮在任意位置和定向的固定空間組合系統OaXaYaZa的嚙合過程(圖4),使大齒輪和小齒輪節錐頂點位于原點Oa,那么我們將把大齒輪的Za軸和小齒輪系OXYZ的Z軸重合。而后再將小齒輪Z軸繞Oa點在平面XaZa轉過∑角,并將大齒輪繞大齒輪軸轉角轉過角,與大齒輪不同,小齒輪輪齒不滾切,傳動組件以上描述過程的最后,我們將考慮所有引用的座標系都作為固定的。

小齒輪和大齒輪繞它們的軸線回轉的角速度ω(1),ω(2)不是任意的,點P(1)絕對速度的投影和 P(2)點絕對速度的投影在齒面切點公法線t上,它們等于

式中 ω(1)=ω(1)e(1),ω(2)=ω(2)e(2),rp是由點 Oa繪至P點的矢量,而e(1),e(2)是沿大齒輪轉軸方向的單位矢量(圖4)。

在關系(16)中,大齒輪齒面法線t是認為作為公法線。如果機床刀具安裝位置已知,可以確定該法線和矢量rp之一可以作為φ(2)0的函數,可用關系式(10)解式(9),并由大齒輪系OXYZ這些矢量組成轉化到系OaXaYaZa,大齒輪和小齒輪齒面不考慮在P點相切狀況。

與m21=ω(2)/ω(1)有關的關系式(16)和在已知組件座標系OaXaYaZa內P點矢量rp有可能由式(15)左邊算出,式(15)與小齒輪齒面無關,該公式可用數值技術求解。

點P球面座標(橫向δ(1)p和縱向φ(1)0(圖 4))確定為

4.2 大齒輪齒面相切的條件

小齒輪和大齒輪齒面在P點相切的條件為

用關系式(8)-(11)構成的小齒輪和大齒輪座標系的單位矢量u(1),v(1),t(1)和u(2),v(2),t(2)是相同的,只有一點不同,即大齒輪的矢量基數可在已知的機床刀具安裝基準上計算,但小齒輪的矢量基數僅表示為未知的安裝的函數。這就是在上述關系式中省略上指數的原因。為了計算在式(18)中無矢量乘積的目的,用矢量t(1)分量由縱行原始確定在小齒輪座標系OXYZ內,藉助于關系式轉換到大齒輪座標系OXYZ,即

在式(19)內各矩陣函數確定由于繞單軸轉動座標轉換,由一較低指數通過角度指出,它是一矩陣變量。包含在小齒輪OXYZ座標系X軸間角ζ1和單位矢量

其指向由小齒輪轉角到點P(1),該所述矢量與小齒輪轉軸垂直。角ζ2與角ζ1相同,但對于大齒輪,ζ1和ζ2計算相同

自然在大齒輪情況方面,大齒輪設想點應采用座標Xp和Yp,在小齒輪方面,座標確定小齒輪設想點。

我們考慮關系式(18)為未知機床刀具調整兩方程式。

4.3 加于接觸跡方向條件

我們提出小齒輪齒面(n=1)和大齒輪齒面(n=2)在固定座標系p(n)u(n)v(n)t(n)(n=1,2)內運動方程式t(n)=t(n)(u(n),v(n),φ(1))(n=1,2),聯系到設定位置,以泰勒級數形式取第二功率項,讓函數t*(1)(u(2),v(2),φ(1))在固定座標系 p(2)u(2)v(2)t(2)內確定運動的小齒輪齒面。沿座標系p(2)u(2)v(2)t(2)內t(2)軸嚙合齒面間距離δ t=t(2)(u(2),v(2),φ(1)-t*(1)(u(2),v(2),φ(1))為

在式(20)內省略角注 2。 系數 δ tuu,δ tuδ,δ tvv,δ tφ,δ tφu,δ tφv,δ tφφ與機床刀具調整有關 。 缺乏與 u和v有關的常數項和1階項,因P(2)是兩相接觸齒面的公共點,由式(18)提供齒面相切,我們表示展開式(20)系數為對于函數τ(2)(u(2),v(2),φ(1))和τ*(1)(u(2),v(2),φ(1))延伸模擬系數之差,

在大齒輪系內用角注“*”標定確定小齒輪齒面系數。

如果動大齒輪和小齒輪輪齒側面方程式確定于它們各自座標系 u(1),v(2),τ(2)和 u(1),v(1),τ(1),其展開式形式與(20)相似。對于大齒輪齒面在運動中方程式的系數和用分析技術[4]確定動小齒輪齒面展開式系數而后轉換小齒輪系數為大齒輪齒面座標系如下：

矩陣[Π]可以作為三矩陣乘積求得

矩陣[G]是由大齒輪座標系OXYZ轉置到大齒輪座標系u(2)v(2)t(2)的矩陣,由關系式(19)確定矩陣[Π*]。矩陣[G1]是由小齒輪u(1)v(1)t(1)系轉置到小齒輪OXYZ座標系的矩陣。

用以下關系式在u(2)v(2)t(2)中計算系數

式中

我們將發現靠近小齒輪轉角φ(1)最大齒面一點的座標uK,vK超出范圍之外。如果齒面存在切點,那么該點與最大齒面點接近。假定齒面為無限大,我們寫出函數δ t最小條件為

由方程式(21)得出接觸點未知座標u和v二線性方程組：

我們表明方程組(22)的解形式如下：

式中

如果D≠0,關系式(23)和(24)是有效的。它意謂著齒面產生一接觸點,減少D近似達到一任意線性接觸率,但在構成嚙合時,找到一線性接觸點非理想情況[4]。這就是對于沿線接觸齒面結構不能預先指定算法的原因。

參量ukφ和vkφ是接觸點(非實質點)絕對速度在與齒輪可動系相連座標軸u和v上投影,考慮點位置在設想位置內。該速度與時間無關,但與小齒輪轉角有關。

大齒輪輪齒側面上接觸點相對速度在軸u和v上投影,當齒面在設想點P接觸時(φ(1)=0),為

大齒輪齒面點P(2)的絕對速度的矢量的投影求得如下：

上述條件是加于影響接觸跡方向,我們表明一接觸點的接觸點速度項為

4.4 機床刀具調整的研究提高需要的小齒輪齒面幾何學

我們目標找出四機床刀具調整滿足三個條件(18)和(26),并盡可靠近由關系式(1)-(4)描述的機床調整。由以下函數最小可能解這問題

式中

c1,c2和c3是主要條件確定的系數,齒面相切條件建議比強加于接觸跡方向更重要條件。

對于函數最小(27)算法由兩步組成,第一步函數φ1+φ2最小,關系式(1)-(4)指定起始點。然后最小函數φ(U,i,ΔA,ΔE)由關系式(26)和(27)在約束下確定實現

如果運動在切于齒面(28)的平面內最小流程完成,可以縮小四維問題為二維問題違背條件(28),如果運動的級數不大,在第一階段的開始是小的滿足,可變量 U,i,ΔA 和 ΔE 的增量 δ U,δ i,δ ΔA 和 δ ΔE之間關系如下：

式中 δ φ1和 δ φ2是自變量增量 δ U,δ i,δ ΔA 和 δ ΔE形成的函數φ1和φ2增量,我們考慮U,i是獨立變量,所有其他可變增量采用(29)作為增量δ U,δ i確定。

4.5 加于接觸橢圓主軸長度條件的簡述

或主接觸橢圓(圖3(b))有效長度σp=a/b和切層深度εp,或刀具切點的半徑Rc可認為是綜合的條件。在σp和εp為確定值的情況下,要求用解有關Rc方程式σ(εp,Rc)=σp自動探索齒輪刀具切削點半徑Rc。

采用節4.1和4.1的算式,按一給定的Rc估算σ(εp,Rc)。如果ζ,η為垂直象限軸(20),距離 δ t是由關系式 δ t=δ tminξ2+δ tmaxη2確定,接觸橢圓主軸表示為

如獲得Rc的刀具應用不是預期的,有可能應用不同點半徑的有效刀具,在這種情況Rc是一個編程的輸入數據。

5 齒輪綜合計算機程序的應用

小軸間角傳動綜合計算機程序開發輸入數據是描述傳動裝置幾何學,它包括有效的名義壓力角和螺旋角,用于滾切輪齒刀具參量和綜合參量。

由機床有效最外邊極限確定徑向距離的起動值。因為得到的距離可能超過起動值,故必須提供某些儲備。然而推薦的算式常常提供大齒輪和小齒輪徑向距離十分接近起動值。此外應保證在傳動的制造過程內機床刀具調整的可能性。

選擇相互影響其他參量的優化值,綜合后求得計算機分析結果進行匹配[8-11],在不滿足分析結果的情況下,修正綜合參數。隨著修正再作第二次綜合嘗試和分析。

參量Δr和Δv是為了在輪齒側面有效位置接觸圖中心定位,橫向位移Δv補償輪齒修正接觸圖垂直移動;接觸圖縱向位移Δr到齒頂可補償軸承接觸移動,在小負載作用下到輪齒大端與接觸圖象有關。推薦參量值如下：

式中mn是名義法面模數,Xn是修正系數,它是齒頂減短對mn的比(Xn≥0)。

參量λ零值相當于接觸跡沿方向齒廓,在該情況,通常發生齒頂接觸。該參量的適當選擇,可使在齒橫向產生局部接觸,但接觸跡縱向輪齒齒頂或齒根接觸可能性增加。參量λ的可能范圍為0＜λ＜90°。參量的最佳值,提高局部接觸和對不對中敏感,對于凸凹面是不同的。輪齒高對齒寬比的減少造成參量最佳值增大,推薦最佳斜角選擇λ=70°開始。

建議首先綜合嘗試為Km=0,如果求得傳動嚙合誤差(13)變為正或負傳動誤差絕對值太小,保證傳動對不對中靈敏度小,應逐漸增大Km絕對值,直到獲得有效值。應保持|Km|一個超大增加值造成噪音水平增大。

對于右螺旋齒輪情況下,如滾切凸齒側面,Km為正;如果滾切凹齒側面,Km為負,在左螺旋齒輪情況下,系數Km符號相反。

6 數值實例

作為我們研究的傳動實例參數如下：軸間角∑=18°,小齒輪齒數Z(1)=17,大齒輪齒數Z(2)=21,名義法面模數mn=8 mm,齒寬 b=60 mm,壓力角αn=24°,螺旋角 βn=25°。輪齒等高,齒根角 θ(1)f=θ(2)f=0。小齒輪為左螺旋,外錐距Le=566.12 mm,名義法間節寬：小齒輪S(1)mn=13.03 mm,大齒輪S(2)mn=12.10 mm。

求出許可的齒輪輪齒瞬間錐形寬度,應采用平均刀具直徑d0≈500 mm,在該情況,由關系式(1)和(2)求得U0=486.5 mm。

我們建議機床具有最大徑向位移Umax=340 mm,最大機床中心和芯軸間最大距離600 mm,刀具平均直徑d0=304.8 mm,有效齒頂寬為3 mm。

如果齒輪滾切用單邊調整方法,刀具壓力角為24°。此外小直徑刀具應用造成不能滿足大齒輪錐形頂寬(圖5(a))。輪齒頂緣繪成實線,而虛線為輪齒節錐截面。圖5(b)示輪齒齒頂緣和節錐截面用平均直徑d0=457.2 mm刀具滾切。在該情況,齒錐形是許可的,輪齒參數用表1表明的第一(d0=304.8 mm)和第二(d0=457.2 mm)刀具滾切。該輪齒名義法向節距寬是唯一并相同(S(2)mn=12.10 mm)。

應用單邊方法情況,可采用任意壓力角刀具,我們建議該角度等于20°。編程預先規定齒輪輪齒壓力角和齒形角,它由必要的徑向距離U和速比i來選擇,對于不同齒側面U和i不同。在單邊一單邊滾切方法(d0=304.8 mm)情況,輪齒頂緣和輪齒節錐截面如圖5(c)(小齒輪輪齒)和圖5(d)(大齒輪輪齒)所示。表2列大齒輪和小齒輪輪齒錐度特征值。錐度在公差范圍內,對輪齒錐度的分析可應用[8]所述方法。

用傳動在滾子試驗機上小負荷下試驗,計算機仿真獲得機床刀具調整和結果(傳動誤差曲線和接觸線圖如圖6所示。明線用箭頭表示接觸跡檢驗小齒輪凹面和大齒輪凸面的嚙合狀況,齒面上鍍層深度建議為0.006 mm。

圖5 節錐環槽和選擇：(a)大齒輪,單邊調整方法d0=304.8 mm;(b)大齒輪,單邊調整方法,d0=457.2 mm;(c)小齒輪,單邊一單邊方法,d0=304.8 mm和大齒輪單邊一單邊方法,d0=304.8 mmFig.5 Toplands and sections by a pitch cones：(a)gear,single setting method,d0=304.8 mm;(b)gear,single setting method,d0=457.2 mm;(c)pinion,single-side-single-side method,d0=304.8 mm;and(d)gear,single-side-single-side method,d0=304.8 mm

表1 用單邊調整法滾切大齒輪和小齒輪輪齒參數Table 1 Parameters of gear and pinion teeth that are generated by single setting method

表2 用單邊一單邊法滾切齒輪參數Table 2 Parameters of teeth that are generated by single-side-single-side method

圖6示計算程序輸出,它建立于綜合程序內并闡述于文獻[9]。在最佳綜合參數研究過程中,編程為表示嚙合分析,考慮兩輪齒面嚙合(一對齒接觸),在小齒輪齒面接觸點K(1)的座標u(1),v(1),大齒輪齒面接觸點K(2)的座標為u(2),v(2),由解5方程組求得在嚙合周期內對于嚙合階段φ(1)的大齒輪轉角φ(2)。這些方程要求主要點K(1)在空間與點K(3)為相同的點(三方程式),而齒面有公法線(二方程式)。

在不同嚙合相位小齒輪和大齒輪涂層橫斷總面積構成接觸圖線,建議該涂層等深度

獲得的機床刀具調整不超過機床設計極限,調整計算基于以下綜合參數值：Δr=2 mm,Δv=0.5 mm,λ=74°,σp=0.3 和Km=0.08。

圖6 小負荷下傳動試驗計算機仿真Fig.6 Computer simulation of testing of the transmission under a slight load

圖7示相同齒面的擠壓接觸。圖8示當嚙合(至左)和力由一對輪齒傳遞(至右)時,最大壓力變化。因接觸比大于1,同時發生兩對齒嚙合。采用計算機編程[10]基于接觸問題赫茨解求得結果,連續接觸受二階表面的限制,這些表面近似齒輪齒面在接觸橢圓中心附近。輪齒的彎曲和齒緣的彎曲不予考慮。

大齒輪和小齒輪材料楊氏模量為2×105N/mm2,齒輪軸轉矩為1 000 Nm,最大接觸壓力為1 121 N/mm2,擠壓接觸是局部的。

圖9示瞬時接觸區(至齒頂)和沿齒輪輪齒的最大主拉伸應力分布表示相當于最危險的嚙合階段(至齒根),我們注意該應力局部作用于齒根圓角表面。

圖10示輪齒負荷側齒根圓角表面附近輪齒橫截面應力分布,該分析方法[6,10,12]以有限元方法為基礎。基于兩橢圓彈性接觸問題的赫茨解,確定接觸應力和輪齒彈性方法,考慮兩對輪齒同時接觸。僅考慮到接觸變形求得各對齒接觸過程中的接觸壓力分布。彎曲應力分析有限元模型由輪齒和一不連續梁組成。

7 結論

已經開發了小軸間角螺旋錐齒輪傳動綜合的數值方法。傳統的綜合方法提供機床刀具調整通常大多數受齒輪滾切機床設計的限制,本文推薦方法用于滾切大齒輪和小齒輪輪齒可減小機床尺寸。

本文方法主要優點如下：

(1)用綜合參數相互影響的研究,求得組合中輪齒的局部擠壓接觸,這些參數在嚙合特性方面的影響是足夠清楚的。

(2)與齒輪錐距相比可以采用小直徑和徑向距離的刀具,一齒輪柔性安裝的距離可小于安裝距離二倍,柔性安裝距離的減小相對于其常規值不降低嚙合質量。減小刀具直徑,半徑和柔性安裝距離的大小,提供了采用相對小齒輪磨床或齒銑床滾切齒輪的可能性。

(3)幾乎采用任意壓力角和直徑的刀具,可獲預期大量幾何尺寸(壓力角,螺旋角,有利的輪齒錐度)。這種可能性可同樣適用于小軸間角或大軸間角傳動。

圖7 輪齒表面擠壓接觸Fig.7 Bearing contact of tooth surfaces

圖8 當嚙合(至左)和一對齒傳遞力變化(至右)時最大接觸壓力改變Fig.8 Change of maximum contact pressure during meshing(to the left)and change of force that is transmitted by a pair of teeth(to the right)

(4)基于所述方法開發了綜合的計算機程序,說明了推薦合適綜合參數的選擇方法,研究了傳動綜合和分析的實例。

(劉青譯自Journal of Mechanical Design Vol.129,SEPTEMBER 2007)

圖9 瞬時接觸區(至齒頂)和最大主拉伸應力沿輪齒分布Fig.9 Instantaneous contact area(to the top)and the distribution of maximal major principal tensile stressalong the gear tooth

圖10 瞬時接觸區(至齒頂)和最大拉伸應力沿輪齒分布Fig.10 Stress distribution over tooth cross-section in the vicinity of fillet surface

術語

Nomenclature

A=修正柔性安裝距離Corrected soft mounting distance

A0=一節錐頂位于機床中心的柔性安裝距離soft mounting distance in case a pitch cone apex is located in machine center

Le,Lm=外錐距和名義錐距external cone distance and mean cone distance

Lp=節錐頂至P點距離distance from pitch cone apex to a point P(Fig.3)

[Mk(ζ)]=相當于繞軸k=X,Y,Z繞角ζ轉動座標轉置矩陣matrices of coordinate transformation,corresponding to rotation about axis k=x,y,z about angle ζ

P=齒面點(圖2)a point of tooth surface(Fig.2)

P(n)(n=1,2)=小齒輪或大齒輪齒面設想點(圖3)considering point of pinion(n=1)or gear(n=2)tooth surface(Fig.3)

R=名義節徑mean pitch radius

R0,Rc=平均刀具半徑和刀具點半徑average tool radius and tool point radius

U=徑向距離radial distance

b=齒寬face width(Fig.3)

e(n)=沿小齒輪(n=1)或大齒輪(n=2)轉軸單元矢量(圖4)unit vector directed along pinion(n=1)or gear(n=2)axis of rotation(Fig.4)

i=速比(支架角速度比毛坯角速度)velocity ratio(a cradle angular velocity over a blank angular velocity)

km=滾子修正系數coefficient of modified roll

m21(φ(1))=嚙合階段φ(1)速比gear ratio in phase of engagement φ(1)

mn=名義法面模數mean normal module

q=刀具裝配角(圖1)installment angle for tool(Fig.1)

r=與毛坯固聯座標系位置矢量position vector in a coordinate system rigidly connected with a blank

u,v,t=座標系puvt(圖2)的單元矢量unit vectors of coordinate system Puvt(Fig.2)

uk,vk=最大齒面接近點座標 coordinates of a point of maximal surface approach

xg,yg,zg=座標系Pxgygzg(圖2)單位矢量unit vectors of coordinate system Pxgygzg(Fig.2)

z(n)=小齒輪(n=1)或大齒輪(n=2)齒數number of teeth of pinion(n=1)or gear(n=2)

Γ=機床根角(圖1)machine root angle(Fig.1)

Δ A=機床中心至背部距離(圖1)machine center to back(Fig.1)

ΔB=滑動距離(圖1)sliding base(Fig.1)

ΔE=毛坯偏距(圖1)blank offset(Fig.1)

Δv,Δr=相對于大齒輪齒面名義點M(2)(圖3)沿輪齒線和沿節錐法線一設想點P(2)的位移displacements of the a considering point P(2)with respect to gear tooth surface mean point M(2)(Fig.3)along a tooth line and along a pitch cone normal

Φ=描述一預期小齒輪輪齒差值機床調整的函數the function of machine-tool settings that describes a difference of current pinion tooth surface from desired one

Φ1,Φ2=限定大齒輪和小齒輪輪齒設定點法線一致機床刀具調整函數 the functions of machine-tool settings that define lack of coincidence of normals to gear and pinion tooth surfaces at considering point

Φ3=機床刀具調整現有和預期接觸跡方向特征差分函數 the function of machine-tool settings that characterize difference of current and desired contact path directions

[Π]=由小齒輪u(1)v(1)t(1)座標系至大齒輪u(2)v(2)t(2)系轉置矩陣matrix of transformation from pinion u(1)v(1)t(1)system to to gear u(2)v(2)t(2)system

[Π*]=由小齒輪OXYZ座標系至大齒輪OXYZ座標系轉置矩陣matrix of transformation from pinion Oxyz-system to gear Oxyz-system

∑=軸間角(圖4)shaft angle(Fig.4)

α=刀具壓力角tool pressure angle

αn,βn=預期大齒輪壓力角和螺旋角(圖2)desired gear pressure angle and spiral angle(Fig.2)

δ,δf=節錐角和根角(圖3)pitch angle and root angle(Fig.3)

δp=限定P點的極角(圖2)polar angle that define the point P(Fig.2)

δ t=配對齒面沿τ(2)軸距離 distance between mating tooth surfaces along t(2)axis

εp=試驗過程中覆膜層深depth of painter coating in the process of testing

θ,v=滾切齒面點的極角和錐距polar angle and cone distance of a point of generating surface

λ=接觸跡斜角(圖3)angle of contact path inclination(Fig.3)

φ(n)=小齒輪(n=1)或大齒輪(n=2)(相對于有效位置)在嚙合過程轉角angle of rotation of the pinion(n=1)or the gear(n=2)(with respect to considering position)in the process of meshing

ψ=滾切過程中現有支架角current cradle angle in the process of generation

ψp=滾切面切于包絡點P時支架角cradle angle in the moment when a generating surface is tangent to it's envelope at the point P

[1]Litvin,F.L.,and Fuentes,A.,2004,Gear Geometry and Applied Theory,Cambridge University Press,Cambridge,UK,800.

[2]Argyris,J.,Fuentes,A.,and Litvin,F.L.,2002,“Computerized Integrated Approach forDesign and Stress Analysis of Spiral Bevel Gears,”Comput.Methods Appl.Mech.Eng.,191,pp.1057-1095.

[3]Fuentes,A.,Litvin,F.L.,Mullings,B.R.,Woods,R.,and Handshuh,R.F.,2002,“Design and Stress Analysis of Low-Noise Adjusted Bearing Contact Spiral Bevel Gears,”ASM E J.Mech.Des.,124,pp.524-532.

[4]Sheveleva,G.I.,1999,Theory ofGeneration and Contact of Moving Bodies(in Russian),Stankin,Moscow.

[5]Sheveleva,G.,Medvedev,V.,andVolkov,A.,1995,“Mathematical Simulation of Spiral Bevel Gears Production and Processes With Contact and Bending Stressess,”Proc.IX World CongressIFToMM,Vol.1,Milano,Italy,pp.509-513.

[6]Sheveleva,G.I.,Volkov,A.E.,and Medvedev,V.I.,2003,“Calculating the Contact Pressures in Bevel Gear Drives With Different Tooth Models,”J.M ach.Manuf.Reliabi.,2,pp.58-61.

[7]Medvedev,V.I.,1999,“Synthesis of Generated Nonorthogonal Bevel and Hypoid Gear Sets,”J.M ach.Manuf.Reliabi.,5,pp.1-8.

[8]Medvedev,V.I.,2001,“ProgramsforAnalyzing Quality of Conical and Hypoid Gear Pairs,”J.M ach.Manuf.Reliabi.,3,pp.77-84.

[9]Medvedev,V.I.,2001,“Technique for Rapid Evaluation of the Quality of the Settings of the Gear Shaping Machines for Hypoid Pair Manufacturing,”J.M ach.Manuf.Reliabi.,1,pp.91-98.

[10]Medevdev,V.I.,2003,“Calculating theBending Stresses in the Circular Teeth of Bevel Gears,” J.Mach.Manuf.Reliabi.,4,pp.26-33.