無限群p擬Frattini子群

徐 威, 張志讓

(成都信息工程學院數學學院,四川成都610225)

1 引言

對任意群G,它的Frattini子群定義為 G中極大子群的交,當G中不存在極大子群的時候,G的Frattini子群就是G本身[1]。此后又不少作者對多種類型的廣義Frattini子群做了研究[2-5],在文獻[6]中,J.B.Riles討論了無限群的擬Frattini子群,在文獻[7]中呂智穎等人研究了π擬Frattini子群。文中介紹一種新的擬Frattini子群——p擬Frattini子群,將給出這種子群的定義,并研究其基本性質。

設H是G的一個子群,則 H在G中的指數|G∶H|可能為1,素數,合數或者∞。為了方便起見,如果|G∶H|為合數或者∞,那么,簡稱|G∶H|為非素數。

在第2節中,給出與p擬Frattini子群相關的一些基本定義。

在第3節中,將討論一些關于p擬Frattini子群的基本性質。

在第4節中,研究正規子群,同態像和直積的擬Frattini子群,同時,簡單地介紹子群 G的p擬補充和p擬補,對它們作初步的研究。

2 基本定義

本節中,介紹幾個基本定義。

定義1 設 x是群G的元素,如果存在G的某一子集S,使得|G：＜S＞|是非素數,但|G：＜x,S＞|是1或者素數,那么稱x是G的p擬生成元。于是,如果對于任意具有性質|G：＜x,S＞|是1或者素數的 G的子集S,都有|G：＜S＞|也是1或者素數,那么稱 x為G的p擬非生成元。

引理1 設 x和y是G的p擬非生成元,則 xy-1和 xα也是p擬非生成元,其中,α是G的自同構。

證明：設 S?G 且|G：＜xy-1,S＞|是1或者素數,則|G：＜xy-1,y,S＞|也是1或者素數,從而

因為 x和y都是G的p擬非生成元,所以|G：＜S＞|是1或者素數,從而 xy-1是 G的p擬非生成元。同理,可證得xα也是p擬非生成元。證畢。

因此,G的所有p擬非生成元所構成的集合pU(G)是G的特征子群,稱為下p擬Frattini子群。

定義2 如果|G：M|是非素數,但對于任意 M＜N≤G,都有|G：N|是 1或者素數,那么 M稱為G的p擬極大子群。G的所有p擬極大子群的交pV(G)稱為 G的上p擬Frattini子群。如果G中沒有p擬極大子群,那么G的上p擬Frattini子群就是G本身,即pV(G)=G。

這里要說明,上述定義中涉及的素數指的是任意素數,但在文獻[7]中相關定義中 π是指某一個固定素數的集合,這兩者有很大的區別。

引理2 對于任意群G,pU(G)≤pV(G)。

證明：對于任意不屬于pV(G)的元素x,都存在一個p擬極大子群M,使得x∈/M,|G：M|是非素數,但|G：＜x,M＞|是1或者素數,也就是說x是G的p擬生成元,即x∈/pU(G)。故pU(G)≤pV(G)。證畢。

定義3 設pU(G)和pV(G)分別是G的下p擬Frattini子群和上p擬Frattini子群。當pU(G)=pV(G)時,這個子群稱為 G的p擬Frattini子群,記為pφ(G)。

若F是有限群,則pU(F)=pV(F)=pφ(F)。但是一般來說對于任意群 G,pU(G)和pV(G)不一定相等。但對于下面的較廣泛的群類來說,這兩個特征子群是一致的。因此引入如下定義：

定義4 如果對于 G的滿足|G：H|是非素數的子群 H,一定存在G的一個p擬極大子群M,使得H≤M,那么稱群G為pF群。

引理3 設群 G為pF群,則pV(G)=pU(G)。

證明：顯然有pU(G)≤pV(G);只需證pV(G)≤pU(G)。如果對任意 x∈/pU(G),即存在 G的子集S,使得|G：＜S＞|是非素數,但|G：＜x,S＞|是1或者素數。由于群G為pF群,因此存在 G的p擬極大子群M,使得＜S＞≤M。由于＜x,S＞≤＜x,M＞且|G：＜x,S＞|是1或者素數,因此|G：＜x,M＞|也是1或者素數。又由定義|G：＜M＞|是非素數,所以 x∈/M 。故 x∈/pV(G)。證畢。

定理1 設G是有限生成群,那么 G是pF群。

證明：設H是G的子群,使得|G：H|是非素數。假設B1≤B2≤…≤Bi≤…是具有下列性質的子群組成的升鏈：|G：B|是非素數,H≤Bi。令B=∪iBi,若|G：B|是1或者素數,由于 G是有限生成的,所以 B也是有限生成的[8]。因此存在 i0,使得B=Bi0,但|G：B|是非素數,這就與 Bi0的選擇矛盾。所以|G：B|是非素數,顯然知B≥H。由左恩(Zorn)引理知,一定存在極大的滿足上述性質的子群 M。對任意滿足 M＜N≤G的子群N,顯然有 N≥H,如果|G：N|是非素數,則與M 的極大性矛盾。故|G：N|是1或者素數,由p擬極大子群的定義知,M是G的p擬極大子群。即對任意H≤G,|G：H|是非素數,都有G的p擬極大子群M,使得 H≤M,故 G是pF群。證畢。

由定理1和引理3可知,在有限生成的群 G中一定有pV(G)=pU(G);等價地,有“如果pV(G)≠pU(G)成立,那么G一定是無限生成的”。當然必須指出,群 G的無限生成性只是pV(G)≠pU(G)成立的必要條件,并不是充分條件。舉兩個例子來說明當群是無限生成時,仍然可能有pV(G)=pU(G)。

例1.設G是無限初等Abelp-群,那么pV(G)=pU(G)=1。

證明：設M是G的任一p擬極大子群,由初等Abelp-群的性質知|G：M|=pn。從而G的所有p擬極大子群的交pV(G)等于1。但是由引理2,pU(G)≤pV(G),從而也有pU(G)=1=pV(G)。顯然G是無限生成的。證畢。

例2.設群G是關于素數p的擬循環群,那么pV(G)=pU(G)=G。

證明：首先證明,在群 G中G的p擬非生成元即為G的非生成元。設 x是G的p擬生成元,由定義可知,對于任意具有性質|G：＜x,S＞|是1或者素數p的G的子集S,都有|G：＜S＞|也是1或者素數p。但是擬循環群的真子群均為有限群,即G的真子群在G中的指數無限,所以,可從|G：＜x,S＞|是1,即G=＜x,S＞得到G=＜S＞,故 x為G的非生成元。因為G的Frattini子群Frat(G)正好是G的非生成元的集合,故Frat(G)=pU(G)。但是也由擬循環群的真子群為有限群,故G沒有極大子群,即Frat(G)=G,從而pU(G)=G。也由引理2 pV(G)≥pU(G),故pV(G)=G=pU(G),顯然G是無限生成的。證畢。

3 p擬Frattini子群的基本性質

在這一節中,討論類似于Frattini子群的性質的p擬Frattini子群的基本性質。

定義5 由群G中的元素所構成的子集合S稱為G中p擬生成元的既約集,如果滿足如下條件：如果|G：＜S＞|是1或者素數,但對于每一個S的真子集T,都有|G：＜T＞|是非素數。把那些不屬于G的任意一個p擬生成元的既約集的元素所構成的集合記為pW(G)。

顯然,對于任意群 G,有pU(G)≤pW(G)。

引理4 如果G是有限生成,那么 G的每一個p擬生成元的既約子集S也是有限的。如果存在G的子群T,使得|G：T|是1或者素數,那么T的每一個生成元的集合都包含G的一個p擬生成元的既約子集。

證明：由于G是有限生成的且|G：＜S＞|是有限的,故＜S＞是有限生成的。設＜S＞由 x1,…,xn生成,其中每一個 xi都可以寫成S∪S-1中有限個元素的乘積的形式。因此,＜S＞由S的有限子集合生成的。這個有限子集不可能是S的真子集,這是因為S是G的p擬生成元的既約子集。所以S是一個有限集合。

由于G是有限生成的,并且|G：＜T＞|是有限的,T也是有限生成的。令 T是由t(1),…,t(m)生成的,按如下的辦法構造{t(1),…,t(m)}的一個子集 T′：

逐次考慮每一個 t(i),按照由已保留的t(j)和t(i)后面的t(j)生成的子群在G中的指數是否為非素數決定保留和刪去t(i)。當|G：＜t(2),…,t(m)＞|是非素數時,保留 t(1),否則就刪去t(1);當 t(i1),…,t(ik)已被保留,若|G：＜t(i1),…,t(ik),t(ik+2),…,t(m)＞|是非素數,則保留 t(ik+1),否則就刪去 t(ik+1)。依此類推,保留下來的元素構成的{t(1),…,t(m)}的子集合 T′,就是G的p擬生成元的既約子集。證畢。

定理2 如果 G滿足極大條件,那么pφ(G)=pW(G)。

證明：由于G滿足極大條件,所以G是pF群,于是有pφ(G)=pU(G)≤pW(G)。如果x∈/pφ(G),則存在G的子集S,使得|G：＜S＞|是非素數,但是|G：＜x,S＞|是 1或者素數,設＜S＞由 a1,…,an生成,那么|G：＜x,a1,…,an＞|是1或者素數。對{x,a1,…,an}應用引理 4中類似的方法,可以得到{x,a1,…,an}的一個子集Si,它包含x且為G的p擬生成元的既約集。因此x∈/pW(G)。綜上有,pφ(G)=pW(G)。證畢。

定義6 設S是群G的子集。如果對于|G：＜S,T＞|是1或者素數的 G的子集T,都有|G：＜T＞|是1或者素數,那么S稱為在G中是p擬可消的。

引理5 每一個p擬可消集的子集本身也是p擬可消的,并且G的p擬可消集包含在pU(G)中。

證明：令 S是p擬可消集,且 S′?S。假設存在 T?G且|G：＜S′,T＞|是1或者素數,那么|G：＜S,T＞|整除|G：＜S′,T＞|,因此|G：＜S,T＞|是 1或者素數。由于 S是p擬可消的,故|G：＜T＞|是1或者素數。從而S′是p擬可消的。設 x是p擬可消集合的任一元素,由{x}也是p擬可消集,因此 x是G的p擬非生成元,從而x∈pU(G)。證畢。

引理6 如果pφ(G)是有限生成的或者 G是pF群,那么pφ(G)是p擬可消的。

證明：設pφ(G)是有限生成的,它的生成元是 x1,…,xn。對每一個 xi,當 T?G且|G：＜xi,T＞|是1或者素數時,都有|G：＜T＞|是1或者素數。因此,如果|G：＜pφ(G),T＞|是 1或者素數,那么|G：＜T＞|也是1或者素數。于是pφ(G)是p擬可消的。

設 G是pF群,則有pU(G)=pφ(G)。假設存在 G 的子集T,使得|G：＜pφ(G),T ＞|是1或者素數,但|G：＜T＞|是非素數,那么存在p擬極大子群M,使得＜T＞≤M 。因此|G：＜pφ(G),M ＞|整除|G：＜pφ(G),T＞|也是1或者素數。但是 φ(G)≤M,故|G：＜pφ(G),M ＞|=|G：M|為非素數,矛盾!所以pφ(G)是p擬可消的。證畢。

引理7 設pφ(G)是 G 的p擬Frattini子群,如果pφ(G)是p擬可消的,那么 G 的正規子群N 包含在pφ(G)中的充分且必要條件是：如果H≤G且|G：NH|是1或者素數,那么|G：H|是1或者素數。

證明：假設 H≤G 且|G：NH|是1或者素數,那么有|G：H|是1或者素數。如果 N 不在pφ(G)=V(G)中,那么存在 G的p擬極大子群M,使得 N 不在M中,所以|G：NM|是1或者素數,但|G：M|是非素數,矛盾。故N ≤pφ(G)。證畢 。

反之,如果 N≤pφ(G),因為pφ(G)是p擬可消的,故由引理5知,N 本身也是p擬可消的。所以,若H≤G且當|G：NH|是1或者素數,那么總有|G：H|是1或者素數。證畢。

4 正規子群,同態像和直積的p擬Frattini子群

首先,介紹正規子群的p擬Frattini子群。

定理3 設 Y 和Z 是pF群,且 Z?Y,又設 X ?Y,使得 X ≤pφ(Z),那么 X ≤pφ(Y)。

證明：由引理6知,pφ(Y)是p擬可消的,因此,根據引理7,只需證明“如果 H≤Y是Y 的一個子群使得|Y：XH|是1或者素數,那么|Y：H|也是1或者素數”。

因為 XH ≤Z(XH)≤Y,|Z(XH)：XH|是 1或者素數,因此|Z：(XH)∩Z|=|Z：X(H ∩Z)|是1或者素數。又因為X ≤pφ(Z),故|Z：(H∩Z)|是1或者素數(根據引理 6),從而|X(H∩Z)：(H ∩Z)|是1或者素數。現在有 X(H ∩Z)H=XH 和(XH)∩Z∩H=H∩Z,因此|XH ：H|=|X(H ∩Z)H ：H|=|X(H ∩Z)：(XH)∩Z∩H|=|X(H∩Z)：H∩Z|是1或者素數。證畢。

應用定理3,可以得到兩個很有用的結論。在定理3中,如果將其中的 Y,Z和X分別取為G,N和pφ(N),就得到了下面的結果：

推論1 如果 G和N?G 都是群pF,那么pφ(N)≤pφ(G)。

推論2 如果 G是pF群,H是G的正規的素數階子群,那么H≤pφ(G)。

這是因為如果 H是素數子群,那么它沒有p擬極大子群,從而pφ(H)=H,因此 H≤pφ(G)。

接著考慮同態像的p擬Frattini子群。

設群 G 有p擬Frattini子群,如果 γ是G 到Gγ的一個同構,Gγ的p擬Frattini子群是pφ(Gγ),那么有pφ(G)γ≤pφ(Gγ)。這是因為 Gγ的每一個p擬極大子群都是G的p擬極大子群在γ下的像。特別地,有下面一個有用的性質：

定理 4 (i)設 G 有p擬 Frattini子群pφ(G),如果 N ?G,有 N ≤pφ(G),并且pφ(G/N)存在,那么pφ(G/N)=pφ(G)/N 。

(ii)設 N ?G,如果pφ(G)存在且pφ(G/N)=1,那么pφ(G)≤N 。

證明：(i)因為 N≤pφ(G),故對于 G的每一個p擬極大子群M,都有 N ≤M,從而pφ(G/N)=∩M/N=(∩M)/N=pφ(G)/N,因此pφ(G/N)=pφ(G)/N 。

(ii)由前面的討論知道,pφ(G)N/N ≤pφ(G/N)。但是pφ(G/N)=1,故pφ(G)≤N 。證畢。在定理4中,如果取 N=pφ(G),就可以得到下面的結論：

推論 3 對任意群 G,如果pφ(G)和pφ(G/pφ(G))存在 ,pφ(G/pφ(G))恒等于1。下面給出關于群的直積的p擬Frattini子群的結論。

定理 5 如果 G 是pF群,并且 G=Dri∈IGi,那么pφ(G)=Dri∈Ipφ(Gi)。

證明：容易證明對每一個 i∈I,Gi是pF群。由推論1知,pφ(Gi)≤pφ(G)

因此 Dri∈Ipφ(Gi)≤pφ(G)?，F在只需證 Dri∈Ipφ(Gi)≥pφ(G)。

假設在pφ(G)中存在一個元素g,g∈/Dri∈Ipφ(Gi)。由群的直積的性質,g=gλ1gλ2…gλ t,其中gλi∈Gi(i=1,2,…,t)。由于g∈/Dri∈Ipφ(Gλi),故至少存在指標λi,使得gλi∈/pφ(Gi),不失一般性,假設gλ1∈/pφ(Gλ1),那么有Gλ1的p擬極大子群Mλ1,使得gλ1∈/Mλ1。令J=Iλ1,那么M=(Drλ∈JGλ)×Mλi是G的p擬極大子群,并且g不屬于M,從而g∈/pφ(G),矛盾。因此pφ(G)=Dri∈Ipφ(Gi)。證畢。

最后,討論子群的p擬補充和p擬補。

定義7 (i)設N是G的正規子群,如果存在 G的子群H,使得|G：H|是非素數,但|G：NH|是1或者素數,那么N稱為在G中可以p擬補充。H為G中N的p擬補充。

(ii)設 N是G的正規子群,若存在G的子群H,使得H是G中N的p擬補充,并且N∩HG=1,那么 N稱為在G中可以p擬補。

根據p擬補的定義和引理7,很容易得到下面的結論：

定理6 設群 G的p擬Frattini子群pφ(G)是p擬可消的,那么G的正規子群N在G中可以p擬補充的當且僅當N ≤/pφ(G)。

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