同位置同速率拋出落點相同的條件

黃 偉

（湖北省漢川市第一高級中學，湖北 孝感 431600）

1 問題的提出及緣由

拋體運動的形式及應用很多，其中有一類很特殊，物體以相同速率從同一位置以不同方式拋出，落于同一點.那么若沿水平面斜上拋、沿斜面向上拋、沿斜面向下拋分別需要什么條件呢？

伽利略在1638年出版的《關于兩門新科學的對話》這部著作中，提出了慣性思想和對自由落體運動的研究，并進一步研究了拋體運動，伽利略認為拋體運動具有勻速運動和自然加速運動的復合運動的性質.

在中學階段一般采用正交分解法分析拋體運動，對于斜面上的斜拋運動，若涉及到復雜的三角函數，采用正交分解法在兩個方向上多次分解往往讓問題比較復雜.而把拋體運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，建立位移矢量三角形，利用正弦定理來求解，可以得到簡單的表達式，這也正是回到了伽利略對拋體運動研究的思想，下面筆者具體展開分析.

2 問題分析

2.1 沿斜面向上拋落點相同

如圖1所示，小球從傾角為α的斜面上O點向上拋，落于P點，初速度v與斜面的夾角為θ.小球從O到P的運動可分解為沿初速度v方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，如圖2所示建立位移矢量三角形，由正弦定理可得

圖1

圖2

運動時間為

聯立（1）、（2）式，得

由三角函數積化和差得

x相等時有兩個解θ1和θ2，滿足

如圖3所示，OO1為豎直向上方向和位移方向夾角的角平分線，當兩個拋射角滿足θ1+θ2=∠MOP時，則∠MOB=∠AOP=θ1，∠BOO1=∠O1OA，即OO1也為兩個拋射方向的夾角∠BOA的角平分線，即兩個拋射方向關于豎直向上方向與位移方向之間的角平分線OO1對稱.

圖3

2.2 沿水平面斜上拋落點相同

如圖4所示，沿水平面斜上拋是上述情況中斜面傾角α=0的一種特例，當α=0時上述（4）式為

圖4

x相等時的兩個解θ1和θ2滿足

同上，即兩個拋射方向關于豎直向上方向與位移方向之間的角平分線OO1對稱.

2.3 沿斜面向下拋落點相同

如圖5所示，OP2為水平面，設傾斜面OP1傾角α正值，則傾斜面OP3的傾角α為負值，如圖6所示沿斜面向下拋，當α為負值時上述（4）式為

圖5

圖6

x相等時的兩個解θ1和θ2滿足

同上，即兩個拋射方向關于豎直向上方向與位移方向之間的角平分線OO1對稱.

3 結論

綜上可得，以相同速率從同一位置拋出的小球，當兩個拋射方向關于豎直向上方向與位移方向之間的角平分線對稱時，落點相同.