關于單棒切割磁感線情境中安培力沖量的探討

王曉輝

（山東省泰安市教育科學研究院，山東 泰安 271000）

沖量是力在時間上的積累，高中階段恒力或隨時間線性變化力的沖量均可直接定量求解，而隨時間非線性變化力的沖量往往通過動量定理等方法間接求解.有一種特殊力，即單棒切割磁感線問題中的安培力，它隨時間按指數函數非線性變化，但它的沖量卻隨空間位移均勻變化，由此編制的定量求解題目成為考查學生能力的一類好題，在高考試卷中也身影不斷.下面就來探討這個特殊的沖量和因此造就的特殊運動形式.

1 問題提出

如圖1所示，水平放置的光滑U形金屬導軌間距L，左端接一個阻值為R的電阻.空間存在豎直向上的勻強磁場，磁感強度大小為B.一質量為m、電阻為r的導體棒，垂直導軌置于導軌平面上，與導軌接觸良好，導軌電阻忽略不計，現給導體棒一個水平向右的初速度v0，設t=0時，x=0，v=v0.試討論：

圖1 討論模型

（1）安培力沖量與滑行位移x的關系；

（2）導體棒滑行的速度和滑行的位移x的關系；

（3）導體棒所受安培力與速度的關系；

（4）導體棒所受安培力與位移的關系；

（5）通過導體棒的電荷量與位移的關系.

討論：由動量定理有

（1）安培力沖量為

安培力的沖量與滑行位移x呈線性關系.

（2）由（1）、（2）式得

速度與位移呈線性關系，這也是我們常說的“另類勻變速直線運動”關系.

（3）所受的安培力為

棒受安培力與運動速度呈線性關系.

（4）由（3）、（5）式得

棒受安培力與運動位移呈線性關系.

（5）電荷量為

棒中通過的電荷量與棒的運動位移呈線性關系.

我們以安培力沖量與位移成正比以及安培力作用下速度與位移的“另類勻變速直線運動”［2］為核心展開下面題目的探討.

2 安培力作用下導體棒的運動

2.1 經典模型

例1.如圖2所示，已知導體棒的質量為m=5 g，光滑U形導軌水平固定且足夠長，其寬為L=0.4 m，左端接有電阻R=1Ω，導軌電阻不計，勻強磁場磁感應強度B=0.5 T.若棒保持與導軌垂直且接觸良好，以某一初速度沿平行導軌方向開始運動，經一段時間后停止.測得棒從運動到停止的過程中通過導線的電荷量q=10-2C，棒接入電路部分電阻r=1Ω.試求棒運動的位移x與初速度v0的大小.

圖2 安培力阻尼

解析：由（7）式可知

得x=0.1 m.

2.2 分段變式

例2.如圖3所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強磁場，豎直方向磁場區域足夠長，磁感應強度B=1 T，每一條形磁場區域的寬度及相鄰條形磁場區域的間距均為d=0.5 m，現有一邊長L=0.2 m、質量為m=0.1 kg、電阻R=0.1Ω的正方形線框MNOP以v0=7 m/s的初速從左側磁場邊緣水平進入磁場.求：線框能穿過的完整條形磁場區域的個數n.

圖3

2.3 驅動變式

例3.如圖4所示，兩條相距L的平行金屬導軌位于同一水平面內，其左端接一阻值為R的電阻，質量為m的金屬桿靜置在導軌上，其左側的矩形勻強磁場區域MNPQ的磁感應強度大小為B、方向豎直向下.當該磁場區域以速度v0勻速地向右掃過金屬桿后，金屬桿的速度變為v.金屬桿ab的電阻為r，導軌的電阻不計，導軌光滑且足夠長，桿在運動過程中始終與導軌垂直且兩端與導軌保持良好接觸.求：

圖4

（1）若磁場部分區域掃過金屬桿經歷的時間為t，那么桿加速運動的距離s是多少？

（2）要使桿獲得最大速度，磁場寬度PN應滿足的條件是什么？

（2）導體棒最大速度為v0，由（8）式得

3 恒力牽引背景下導體棒的運動

3.1 經典模型

例4.如圖5所示，水平地面上固定一U形光滑導軌，導軌間距為L，導軌電阻均不計，左端接有一阻值為R的定值電阻，質量為m的導體棒垂直導軌放置，整個裝置置于磁感應強度為B，方向豎直向下的勻強磁場中.導體棒接入電路部分電阻為r.現給導體棒一水平向右大小為F恒力作用，讓其由靜止開始運動，已知導體棒運動到穩定速度所用的時間為t，求在此過程中導體棒運動的位移x.

圖5

由此看出此運動可以分解為兩個分運動：一個是恒力F作用下的勻加速直線運動，即（9）式中的第1項；一個是安培力作用下的“另類勻減速直線運動”，即（9）式中的第2項.由以上各式得

3.2 多過程變式

例5.已知金屬棒的質量為m，接入電路部分電阻為r，光滑水平導軌固定且足夠長，其寬為L，左端接有電阻R，導軌電阻不計，勻強磁場磁感應強度為B.如圖6所示，若棒在水平向左的恒力F作用下，以初速度v0從x=0處沿導軌水平向右運動，運動過程中棒始終與導軌緊密接觸且保持垂直，經時間t后又返回x=0處.

圖6 往復雙程

（1）分析比較導體棒向右運動時間和向左運動時間的長短；

（3）求棒返回x=0處時的速度大小v.

圖7

（3）向右過程：

向左過程：

設向右最大位移為xm，則

由（10）、（11）式有F（t1+t2）=mv+mv0，得

4 結語

通過安培力沖量的空間線性特性在不同情境中的應用探討，形成對其立體、豐富的認知，從而在更為復雜的情境中快速、準確地進行模型識別，實現復雜問題的簡單化和程序化.我們還可將探討融入常見重力、摩擦力、彈簧彈力、與速度或與位移呈線性關系的各種力，做進一步的研究和總結.