準周期激勵非線性隔振系統的混沌研究

劉樹勇，朱石堅，俞 翔

（海軍工程大學振動與噪聲研究所，武漢 430033）

1 引 言

隨著混沌研究的不斷深入，人們在混沌理論方面取得了豐碩的成果。Smale-Birkhoff同宿軌理論揭示了混沌產生的機理，并指出可以用伯努利變換來刻畫混沌軌道的特征[1]；Silnikov研究表明如果三維系統有一條鞍焦型同宿軌道，并滿足一定條件時，就可以在奇點附近構造一個Poincare映射，此映射有Smale馬蹄變換性質，從而系統具有Smale意義下的混沌[2]；Melnikov方法則通過分析周期受迫振子中穩定流形和不穩定流形是否橫截相交來判斷混沌的存在。特別是在近些年來，Wiggins將Melnikov方法推廣到了一類準周期激勵的系統中，并用于對多自由度系統的研究，提出了系統出現混沌的指標[3]；高階Melnikov方法的建立為超次諧分叉軌道提供了有效的方法。然而，應用這些理論對非線性隔振系統中的混沌進行研究還不太多。

在非線性隔振系統中，如果其參數處于混沌參數區域時，系統呈現混沌運動狀態。單頻輸入可以產生寬頻輸出，因而可以用來消減結構噪聲中的線譜，提高艦艇的隱蔽性[4]。正是因為隔振系統中這種“貌似隨機的”混沌具有可利用的一面，文獻[5]在設計一種非線性隔振系統后，用實驗方法證明了該系統的參數處于一定范圍時其加速度響應是混沌信號，此時隔振系統有良好的隔振效果。本文建立了準周期激勵條件下隔振系統的模型，并應用Poincare映射方法使問題轉化到低一維的空間中進行研究。通過Melnikov函數計算了非線性隔振系統的混沌區參數區域。給出了系統處于混沌運動時的典型相圖，計算了相應的特征指數。

2 準周期激勵條件下非線性隔振系統的模型

假設非線性隔振系統的激勵頻率為Ωr（r= 1 ，2…，l）。 如果

只有 kr=0（ r= 1 ，2…，l）才能夠成立時，系統被認為具有l-頻率準周期激勵。研究表明，對于雙頻準周期激勵Duffing系統而言，系統有非常復雜的動力學特性，系統中不僅會產生具有 （k1/ k2）ω1、 （k1/ k2）ω2頻率的響應，而且有可能出現頻率為 （k1/ k2）（ω1± ω2）的響應，在該系統中必將產生準周期解，準周期解進一步失穩[6]，則容易導致混沌。對于準周期激勵的非線性隔振系統，其運動微分方程可以寫為：

式中，m表示設備的質量，c表示隔振系統的阻尼，N（x）為軟彈簧隔振系統中的非線性作用力：

將（3）式代入（2）式后，可以得到：

其中，m是設備的質量，c和ki（i=1，2 ）分別是阻尼系數和剛度系數，Fjcos ΩjT是作用力在隔振系統上的激勵力。

構造新的時間尺度和長度尺度為：

因此，可以通過下列變換來得到無量綱變量：

將（6）式代入（4）式得到系統的無量綱形式：

3 應用Melnikov方法確定非線性隔振系統的混沌參數區域

考慮如下系統：

當ε=0，假設未擾系統：

其l+1維穩定流形和不穩定流形相交可得：

未受擾的相空間如圖1所示。

由于（8）式的周期解K相當于Poincare映射的不動點，類似地，周期mK解相當于Poincare映射的周期m點。因此，可以應用Poincare映射的方法來研究（8）式的動力學行為。其優點是可以將問題轉化到低一維的空間中進行研究，并給出系統全局動力學深入的、明顯的展示[7]。數學上已經證明這樣處理是合適的。如果在Poincare截面上存在一個同宿點xs，那么它同時存在于穩定流形Ws（xs）和不穩定流形Wu（xs）上。同時可以證明只要有一個橫截同宿點，就必定存在無窮多個橫截同宿點，從而使得不變流形變得異常復雜，這種系統受到小的擾動時，有可能出現混沌[8]。

根據以上分析，在全相空間R2×Tl固定θ的任意一個元素θi，得到截面：

定義Melnikov函數為：

如果存在t0使得M （t0）=0但dM （t0）/dt0≠0，穩定流形和不穩定流形必然橫截相交，此時有可能出現混沌。同理，橫截異宿點的產生也將導致Smale意義下的混沌。為了便于研究，這里具體討論l=2的情況。考慮（7）式中阻尼和激勵力幅值為小量時，它可以表示成如下形式：

將其寫成矩陣的形式，

特征行列式為：

由于無擾動系統為平面哈密頓系統，哈密頓函數滿足：

因此通過A點的同宿軌道滿足：

將（14）式代入（12）式可得到Melnikov函數為：

將（17）式代入（18）式，并應用留數定理，對上式積分得：

根據前面的討論，當Melnikov函數存在簡單的零點時，A的穩定流形Ws（A）和不穩定流形Wu（A）必然產生同宿橫截相交，從而系統有可能出現混沌。將（19）式利用三角函數關系簡化后得到非線性隔振系統出現混沌的條件：

當f1=f2=f時，根據Kazuyuki Yagasaki的證明[1]，只需要滿足：

就能夠得到使系統產生混沌的 （δ， f，ω1，ω2）參數區域。 顯然，（21）式除了指明系統產生混沌的參數區域以外，還說明了系統出現混沌是輸入項和耗散相互競爭的結果。這和其他許多非線性中出現混沌的本質是一致的。

4 仿真結果

（1）根據（21）式，得到如圖2所示的混沌參數區域，當參數f/δ的取值位于曲面上方時，系統可能處于混沌運動狀態。

（2） 當激勵力的幅值相等，取 f1=f2=f=0.15，δ=0.04，ω1=1，ω2=時，代入（21）式，可知 f δ=3.75，J0（J1+ J2）的值為 0.427 7，滿足上述條件。根據這些參數得到系統的響應如圖3中（a，b，c，d）所示，它們分別是時間歷程圖，頻譜圖，相平面圖Poincare截面圖。從中可以看出，時間歷程圖的曲線不規則，頻譜圖具有類似于隨機信號的寬譜特征[9]，相平面圖上的吸引子不同于平庸吸引子而是具有特殊結構的奇怪吸引子。Poincare截面圖上的點分布于截面的一定范圍內。計算系統的最大Lyapunov指數為：0.641 0，大于零的Lyapunov指數意味著非線性隔振系統處于混沌運動狀態。

（3） 當改變參數值， f1=f2=f=0.15，δ=0.3，ω1=1，ω2=時，可知f/δ=0.5，它也處于曲面的上方，但是系統表現出典型的擬周期運動。其Poincare截面為一個圓。頻譜圖具有多個譜峰特征。如圖 4中的（a，b，c，d）所示。

5 結 論

根據以上分析可知，當非線性隔振系統的參數處于一定的范圍內時，它在多頻率激勵條件下可能出現混沌現象。系統呈現這種行為的重要原因是相空間中存在同宿橫截相交，從而產生具有Smale馬蹄意義下的混沌。應用Melnikov方法可以確定產生混沌的參數區域。研究結果表明，該區域中的某些參數能使系統出現混沌而某些參數使系統表現出準周期振動形式。因此，在具體的分析過程中還應該結合Lyapunov指數的計算和頻譜圖，Poincare截面圖等方法進行研究。正的Lyapunov指數意味著混沌的產生，而且混沌的頻譜圖具有貌似隨機信號的寬頻譜特征，其Poincare截面圖不同于周期運動時的m周期點和擬周期運動時形成的圓。通過這些綜合分析方法能夠準確判定系統的運動狀態，從而更深入地了解了非線性隔振系統的特點，為系統的設計提供有益參考。

[1]Kazuyuki Yagasaki.Chaotic dynamics of quasi-periodically forced oscillators detected by Melnikov’s method[J].SIAM J MATH.ANAL.,1992,23(5):1230-1254.

[2]劉曾榮.混沌的微擾判據[M].上海:上海教育出版社,1994:146-147.

[3]IDE K,Wiggins S.The bifurcation to homoclinic tori in the quasiperiodically forced Duffing oscillator[J].Phys.D,1989,34:169-182.

[4]Liu Shuyong,Zhu Shijian,Yu Xiang.Study on the application of magnetorheological damper in chaotic vibration control[C]//ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference.2007:666-671.

[5]俞 翔,劉樹勇,朱石堅.非線性隔振系統混沌特性的實驗研究[J].振動噪聲控制,2003,23(4):9-11.

[6]樓京俊,何其偉,朱石堅.多頻激勵軟彈簧型Duffing系統中的混沌[J].應用力學和數學,2004,25(12):300-400.

[7]Guckenheimer J,Holmes P J.Nonlinear oscillations,dynamical systems,and bifurcations of verctor fields[M].Berlin:Springer Verlag,Heidelberg,1983:167-171.

[8]盛昭瀚,馬軍海.非線性動力系統引論分析[M].北京:科學出版社,2001:74-76.

[9]周德才,嚴梅劍,匡曉峰.船舶靠綁作業系統試驗模擬與測試技術[J].船舶力學,2007,11(5):664-673.