非正態參數二維分叉裂紋擴展壽命的可靠性分析

張艷林 張義民 金雅娟 張艷芳

1.東北大學，沈陽，110004 2.防災科技學院，三河，065201

0 引言

由于絕大多數工程結構的破壞形式是疲勞破壞，且破壞多由疲勞裂紋的擴展所致，因此研究結構疲勞破壞問題是很有意義的課題［1－4］。在實際構件中，往往由于過載、裂紋尖端塑性區尺寸大小、裂紋尖端材料的微觀屬性等因素導致裂紋的分叉，而發生分叉后的裂紋擴展行為與單一裂紋的擴展行為是不同的，新產生的裂紋雖然很微小但對于原始主裂紋的擴展有很大的影響，主要表現為對原始主裂紋擴展方向及擴展速率的影響，裂紋的分叉對主裂紋的擴展起到抑制作用，進而延長了裂紋擴展壽命［5］，因此研究分叉裂紋的擴展壽命可靠性問題具有重要的工程意義。

分叉裂紋擴展研究通常是建立在確定性分析基礎上的，由于結構尺寸、材料屬性、載荷等因素具有不可避免的隨機性，疲勞裂紋擴展過程是一個隨機過程，因此建立在統計理論基礎上的裂紋擴展壽命可靠性分析要比傳統確定性模擬給出的結果更加符合工程實際。在工程實際中，由于統計數據的缺乏，使得一些隨機變量的具體分布形式未知，而僅僅知道它們的前幾階矩。在這種情況下，可以采用四階矩可靠性分析方法進行近似的可靠性分析。

本文在隨機有限元法基礎上，結合計算可靠度的四階矩法及二維分叉裂紋擴展分析方法、應力強度因子數值計算方法，提出參數服從非正態分布時二維分叉裂紋擴展壽命可靠度的分析方法。

1 攝動隨機有限元法

線性有限元方程為

式中，K為整體剛度矩陣；U為節點位移向量；P為節點力向量。

式中，下標d表示隨機變量（向量）的均值。

將式（3）代入式（1）中并展開，比較ε的同次冪系數，略去高次冪系數，經過化簡后可得方程：

由式（4）可求出?U／?Xi。

進一步可求得位移U的均值、方差（協方差）、三階矩、四階矩：

式中，（·）［k］＝ （·）［k－1］? （·）＝ （·）? （·）? … ? （·），為（·）的Kronecker冪，符號?表示Kronecker積，定義為（A）p×q?（B）s×t＝［aijB］ps×qt；Var（X）、C3（X）、C4（X）分別為基本隨機參數X的方差（協方差）、三階矩、四階矩矢量。

2 四階矩可靠性設計

結構可靠度是計算聯合概率密度函數fx（X）在區域g（X）＞0內的多維積分：

其中，g（X）為狀態函數，可表示零件的兩種狀態：

4.水質管理 進入6月后，逐漸將水位提高至1m。定期使用二氧化氯對水體進行消毒，兩天后使用解毒活水寶改良水質。隔一天后使用生物肥，用量為4kg/畝，至體長5cm以后停止使用。每10～15天用生石灰化漿潑灑一次，提高水體鈣含量，促進蛻殼，用量為每畝每米水深5kg。養殖期間適時開啟增氧機，保證水體溶氧豐富。每15～20天左右使用微生物制劑一次。整個養殖期間保持水質清新，透明度保持在40～50cm。

設狀態函數g的前四階矩分別為：均值μg、σg、α3g、α4g。

四階矩可靠性指標定義為［7］

式中，βSM為二階矩可靠性指標，定義為βSM＝μg／σg。

失效概率為

式中，Φ為標準正態分布函數。

采用四階矩可靠性分析，可以避免對基本變量分布類型的依賴，與一次二階矩可靠性分析相比，可以求出更加精確的解。裂紋擴展問題中，結構材料常數、裂紋擴展率常數、應力強度因子等參數往往無法知道其分布類型，但對于其前幾階矩統計特性有時可以通過少量樣本獲得，因此可以采用四階矩法進行可靠性近似分析。

3 應力強度因子求解

在裂紋尖端處采用具有1／4節點的奇異單元，其他部分采用8節點常規等參元進行網格劃分，圖1顯示了裂紋尖端奇異單元及裂尖處局部坐標。

圖1 裂紋尖端奇異單元及局部坐標

應力強度因子可采用式（9）、式（10）計算［8］：

式中，KⅠ、KⅡ分別為Ⅰ型、Ⅱ型應力強度因子。

其中，當應力狀態為平面應力時，k＝（3－μ）／（1＋μ）；當應力狀態為平面應變時，k＝3－4μ；G為材料的剪切模量；μ為材料的泊松比；L為裂尖處奇異單元的長度；ui、vi分別為節點i沿x方向、y方向的位移。

由于結構的材料特性、載荷都是隨機變量，因此位移也是隨機量，因此等效應力強度因子Keq也是隨機變量，其前四階矩統計特性為

由最大周向應力理論確定裂紋擴展角，等效應力強度因子 Keq為［9］

裂紋擴展角θ為

4 擴展壽命的可靠性分析

采用修正的Paris－Erdogan公式［10］，計算分叉裂紋擴展壽命：

式中，a0、ac分別為裂紋初始長度和裂紋最終長度；C、m為裂紋擴展率常數；ΔKth為應力強度因子變化范圍門檻值；ΔKeq為等效應力強度因子變化范圍分別為裂紋擴展段中的最大和最小等效應力強度因子。

將裂紋擴展過程離散成s個裂紋擴展段，則式（14）可寫成如下的分段形式：

式中，ai為第i段裂紋擴展長度；ΔKeqi、Ni分別為與ai相對應的等效應力強度因子變化范圍和裂紋擴展壽命。

長短裂紋對應的擴展長度為

式中，Δc、Δb、ΔKc、ΔKb分別為每個擴展段長短裂紋對應的擴展長度及其對應的應力強度因子變化范圍。

疲勞擴展壽命可靠性分析的功能函數為

式中，Nc為結構的設計壽命。

裂紋總的擴展壽命等于每段擴展壽命之和：

要使用第2節中方法進行裂紋擴展壽命可靠性分析，需要已知g的前四階矩統計特性。首先要求出Ni（i＝1，2，…s）的前四階矩，由式（19）可知，Ni是ai、C、m、ΔKeqi的函數，其前四階矩為

疲勞裂紋擴展壽命可靠度的具體計算步驟如下：①采用隨機有限元法，由式（4）計算位移對基本隨機參數（載荷、材料特性）的偏導數，通過式（5）算出位移的前四階矩；② 通過式（11）計算應力強度因子Keq的前四階矩統計特性；③應用式（20）計算Ni的前四階矩，進而求出功能函數g的前四階矩；④采用第2節所述的四階矩可靠性設計方法計算疲勞裂紋擴展壽命可靠度。

5 數值算例

如圖2所示有一長方形板，板的一側有已發生分叉的斜裂紋，兩裂紋的夾角為90°，板的上下兩邊受均布力作用，板的各個參數及其統計特性（均值、方差、三階矩、四階矩）如下［10-11］：長度L＝80mm，寬度b＝30mm，泊松比μ＝0.3；初始斜 裂 紋 長 度a0＝（3 ±0.05）mm，最 終 裂 紋 長 度ac＝（8±0.05）mm，彈性模量E的統計特性（均值、方差、三階矩、四階矩）為（205 000，2050，2.6 × 108，5.3×1013）MPa，載荷σmax的統計特性（均值、方差、 三 階 矩、 四 階 矩 ） 為 （60，1.8，0.525，31.6441）MPa，σmin的統計特性（均值、方差、三階矩、四階矩）為（30，0.9，0.0656，1.9778）MPa，裂紋擴展率參數C的統計特性（均值、方差、三階矩、四階矩）為（9×10－11，0.45×10－11），m的統計特性（均值、方差、三階矩、四階矩）為（2.2，0.11，2×10－4，4.5×10－4），應力強度因子門檻值Kth的統計特性（均值、方差、三階矩、四階矩）為（35，0.7，0.0206，0.7218）

圖2 兩邊受拉伸的分叉斜裂紋板

圖3為裂紋尖端網格的劃分圖。圖4為裂紋擴展壽命隨裂紋擴展長度的變化規律圖，圖5為裂紋擴展壽命可靠度隨設計壽命變化的曲線圖。

圖3 整體網格圖與裂紋處網格放大圖

圖4 疲勞壽命隨裂紋擴展長度的變化趨勢

圖5 可靠度隨設計壽命的變化趨勢

6 結論

基于隨機有限元法、四階矩可靠性分析方法、分叉裂紋擴展方法、應力強度因子數值算法，提出了隨機參數服從任意分布時的二維分叉裂紋擴展壽命的可靠性分析方法。從結果可以看出，隨著裂紋的擴展，裂紋板的剩余強度（剩余壽命）逐漸減小，壽命可靠度不斷降低。對分叉主裂紋及無分叉單一主裂紋擴展行為進行對比，當裂紋擴展長度相同時，發生分叉的裂紋擴展壽命要比原始裂紋的擴展壽命長，說明分叉裂紋對主裂紋擴展有限制作用，與相關文獻得出的結論一致。新方法對具有二維分叉裂紋工程板結構的疲勞破壞的評定、設備的檢修有一定指導意義。

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