一種求解多孔邊裂紋板應力強度因子的解析方法

趙晉芳 謝里陽 劉建中 趙 群

1.東北大學，沈陽，110004 2.北京航空材料研究院，北京，100095 3.沈陽工程學院，沈陽，110136

0 引言

在眾多的孔口問題，特別是一些形狀比較復雜的單孔口問題上，復變函數在求解其應力強度因子時，都體現出了一定的優越性［1－4］，如文獻［5］研究了帶裂紋的方形孔口問題，文獻［6］研究了帶裂紋的圓形孔口問題。但以上文獻大都是對各種單孔口問題的應力強度因子進行研究，對于多孔口問題的研究尚不多見。較為典型的共線多孔邊裂紋結構常見于老齡飛機外蒙皮的鉚釘孔邊處，這種結構會對飛機的結構安全性形成極大威脅，因此求解其應力強度因子，認識其發展變化規律有著十分重要的意義［7－9］。

本文介紹了一種求解多孔邊裂紋板應力強度因子的解析方法。首先利用復變函數性質確定單孔裂紋板的復變應力函數，再運用復變函數的近似迭加法［10］求解出多孔邊裂紋板的應力強度因子。通過與有限元結果的比較可知，這種解析方法在此類問題的求解上具有較高精度，而且相比有限元方法［11－12］更加省時。

1 基本原理

1.1 Muskhelishvili復變函數法

對于一般的彈性力學平面問題，當不計體力時，其應力分量和位移分量可以由復變解析函數Φ（z）、Ψ（z）決定，表示為

式（1）為平面應力情況。對于平面應變情況，只要將式中的E換為即可。

為了便于討論邊界條件，引入輔助平面ζ，于是z平面與ζ平面之間存在變換關系：z＝ω（ζ）。將Φ（z）、Ψ（z）看作ζ的解析函數，則有

式中，φ（ζ）、ψ（ζ）為應力函數。

在無限大的多連體中，欲保證結構為平面應力狀態，則在ζ平面上的應力函數表達式為

其中，X、Y分別是有限邊界上沿x、y方向上的面力之和，B、B′、C′由無限遠處的應力條件決定，φ0（ζ）和ψ0（ζ）為未知函數，作補充項用于求解應力函數。經邊界條件變換后，函數φ（ζ）和ψ（ζ）在彈性體的邊界上必須滿足：

式中，［］s表示沿邊界s積分。

在單位圓邊界上作極坐標（ρ，θ）變換，由于ρ＝1，因而ζ＝ρeiθ＝eiθ，引入記號σ＝eiθ，則式（4）可以寫成

取式（3）的邊界值，則有

則φ0（ζ）的邊界條件可以寫成：

上述過程是將物體映射到ζ平面上單位圓外部的復變應力函數推導過程。在確定φ0（ζ）后，可由式（3）確定φ（ζ），再由式（2）求得相應的應力分量和位移分量。

對于求解二維復合型裂紋的應力強度因子，可由下式分離得到相應的KⅠ和KⅡ：

式中，KⅠ為Ⅰ型裂紋的應力強度因子，KⅡ為Ⅱ型裂紋的應力強度因子。

1.2 單孔邊裂紋問題的復變應力函數

解決單孔邊裂紋問題的關鍵一步就是建立保角映射函數。設有一含有孔邊不對稱裂紋的無限大平面，圓孔半徑為a，裂紋長分別為b－a和c－a，如圖1所示。以圓孔中心為原點，以裂紋所在直線為x軸建立直角坐標系，作保角映射：

圖1 物理平面上含孔邊不對稱裂紋的無限板到數學平面上單位圓外部的映射

該映射將物理平面上含單孔邊不對稱裂紋的無限板保角映射到數學平面上單位圓的外部，且有ω－1（b）→ 1，ω－1（－c）→－1，ω－1（ai）→ B，ω－1（－ai）→B1，同時把a的上岸映射到點A，把a的下岸映射到點A1，把－a的上岸映射到點C，把－a的下岸映射到點C1。

顯然，ω（ζ）有且只有一個一級極點ζ→ ∞。計算

其中，Res表示留數，對映射函數求導有

現在假設該無限板在y軸方向受到均勻外力q作用，孔口不受力，于是有

將式（15）代入式（16），得

則H（ζ）是在單位圓外的解析函數，且為圓周上的連續函數。由無窮遠處Cauchy積分公式，式

因此，式（17）可簡化為

因為ζ→ ∞是ω（ζ）和ω1（ζ）的一級極點，由留數定理有

將式（20）、式（21）、式（10）代入式（19），得

將式（22）代入式（13），得

這樣便完成了對φ（ζ）的求解。

1.3 復變應力函數的近似迭加法

對于多孔邊裂紋問題（圖2所示為兩孔結構），可以運用復變應力函數的近似迭加法進行計算，即孔口1裂紋尖端P點的應力強度因子應迭加其他孔口對P點應力強度因子的影響，即

其中，φ1為孔口1的復變應力函數，ζ1為孔口1局部坐標中裂紋尖端P的坐標，其余各項的應力函數φ2、φ3…表示相應孔口對孔口1裂紋尖端P點應力場強度的影響項。顯然，復變應力函數φi應滿足各自孔口i的應力邊界條件，應滿足無限遠處的應力條件。于是，的各項可以通過無限板上僅有第i個孔邊裂紋時的解求出，并除去其中表示無限遠邊界條件的影響項。

圖2 含多孔邊裂紋的無限板

在式（24）中，ζi是裂紋尖端P 點在第i個孔口的局部坐標中的相應值，可由變換函數z＝ωi（ζi）的反函數ζi＝fi（z）求得。

2 數值算例

本部分計算了無限板上含共線雙孔對稱裂紋的情況，并將解析結果與有限元結果進行了比較。由于結構的對稱性，雙孔內側兩條裂紋的應力強度因子相等，雙孔外側兩條裂紋的應力強度因子亦然，因此圖3只給出了Tip1和Tip2的解析結果及有限元結果。

圖3 無限板共線雙孔對稱裂紋的SIF值

通過比較表明，這兩種計算結果比較一致，特別是在裂紋長與孔徑之比A／R較大時，兩者基本一致。因為本文構造的保角函數是一個超越函數，即不滿足任何以多項式作為系數的多項式方程函數，所以該映射函數和傳統方法中通過截項獲得的由許多項組成的多項式映射函數有些許不同，這便導致了在A／R較小時，解析結果與有限元結果有所差異。不過，人們較為關注的是多孔邊裂紋在貫穿或合并的瞬間以及在此之前的時刻，因此這種解析方法在解決實際的工程斷裂問題中有一定的適用性。

3 結論

文章提出了一種求解無限板多孔邊裂紋應力強度因子的解析方法，方法主要分為兩個部分：①利用解析函數性質求解無限板單孔邊裂紋的復變應力函數；②利用復變應力函數的近似迭加法逐一將其他裂紋對所求裂尖應力場強度的影響迭加上去，從而得到無限板多孔邊裂紋的應力強度因子。這種方法不但簡化了傳統求解方法中通過截項法找到近似應力函數的繁瑣步驟，而且將復雜的多位置損傷問題轉化為簡單的單位置損傷問題進行處理。計算過程簡單、易行，計算結果精確、可靠。

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