速度前瞻控制中的伺服動力學約束條件

楊征宇 李 寧 閆 華

南京工程學院，南京，211167

0 引言

在數控加工中，復雜的加工路徑被CAM的后置處理器分解成一系列的微小路徑段。數控系統對每一小路徑段進行插補運算和加減速控制。對于由大量的微小線段組成的加工路徑，如果還按照處理長線段的方式，在每個線段內獨立地進行加減速控制，將會導致伺服系統頻繁啟停，加工緩慢［1］。解決這一問題的辦法是采用速度前瞻技術，將相鄰的小線段當成一個整體，提前考慮前面的若干個小路徑段的情況，以決定當前插補線段的速度。

目前，國內外對小線段高速加工問題的研究已經取得了一定的成果，文獻［1］研究了基于前瞻技術的微小線段連續軌跡插補方法，通過預測軌跡的曲率變化，自適應調整進給率以達到高速高精加工的目的。文獻［2－3］研究了基于樣條技術的前瞻插補方法，得到了樣條曲線和直線的銜接點處位置、斜率、曲率連續性的條件，并利用曲率門限標準識別擬合曲線的銳角，計算擬合曲線內相鄰線段銜接處與銳角處的進給率，另外也研究了NURBS樣條曲線的實時自適應前瞻插補算法。文獻［4］基于機床伺服驅動的功率限制，提出了速度約束條件。但是在機床進給控制中，伺服驅動電機總是工作在恒轉矩狀態，而非恒功率狀態，因而所提出的速度約束條件有一定的局限性。文獻［5］構建了插補幾何元素銜接矢量角模型，并把S形加減速算法運用到速度前瞻算法，使得整個插補過程更加柔順。文獻［6］研究了小線段高速加工速度銜接數學模型，提出了在相鄰路徑段轉角處的加工速度約束條件。但是這些約束條件是根據運動學原理提出的，沒有考慮機床的動力學伺服特性對小線段加工速度銜接規律的影響。文獻［7］討論了微小線段之間過渡的問題，提出了當剩余距離小于一個插補周期里的運行距離時，提前變換方向，采用斜線連接過渡的方法，但是沒有討論速度的約束條件及變化規律。

本文從機床伺服驅動系統的動力學特性出發，研究了在高速加工中相鄰小線段間拐角處的速度銜接數學模型，分析了機床伺服系統的動力學特性對速度銜接過渡過程的影響，給出了相應的速度約束條件。

1 小線段加工速度銜接過程分析

本文以空間直小線段為例，分析速度銜接過渡過程。如圖1所示，加工路徑是從小線段An－1An，過渡到小線段 AnAn＋1。設在線段 An－1An上的終點加工速度是v1e，在線段AnAn＋1上的起點加工速度是v2s，為保證加工速度的平穩，應當有的夾角是θ，小線段An－1An與小線段AnAn＋1的夾角是π－θ。速度從v1e過渡到v2s是在一個插補周期Δ內完成的，設機床進給加速度為a，則有：

式中，（v1x，v1y，v1z），（v2x，v2y，v2z），（ax，ay，az）分別為v1e、v2s、a在三個坐標軸上的投影。

圖1 小線段銜接

根據圖1，在由v1e和v2s組成的三角形中，有

將式（2）直接代入式（3）并整理可得

在式（4）等號右邊的是一個小于零的量，等號左邊的則是三個坐標軸方向的速度和加速度的乘積之和。由式（4）可以看出，在三個坐標方向的速度和加速度的乘積中，至少有一個是負的，并且這個負的乘積項在數值上居主導地位。這就說明，在小線段速度銜接的過程中，無論線段的方向角怎么變化，至少有一個坐標軸方向處于制動減速狀態，并且這個坐標軸方向的伺服驅動機構的制動減速性能決定了小線段加工速度銜接的質量。

2 小線段銜接速度的約束條件

在機床進給驅動中，伺服驅動電機工作在恒轉矩控制狀態下，短時間里允許輸出轉矩超過額定值，但是輸出功率以額定值為上限。對于處于制動狀態下的坐標軸來說，伺服電機短時工作在發電狀態，其提供的制動轉矩使機床減速。位置進給伺服系統加減速性能源于靜態和動態兩個方面：在靜態方面源于伺服電機最大輸出轉矩的限制；在動態方面源于伺服系統內部的速度環帶寬對速度過渡快速性的限制。下面分別對這兩方面進行討論。

2.1 伺服電機的最大輸出轉矩限制與小線段銜接速度的關系

如圖1所示，設小線段An－1An的方向角是（αn，βn，γn），小線段AnAn＋1的方向角是（αn＋1，βn＋1，γn＋1）。從線段An－1An到線段AnAn＋1，加工進給速度的方向發生改變，但大小不變，均為vn。對各個坐標軸，伺服系統的運動速度發生了改變，其加速度為

各個坐標軸的最大加速度受限于伺服電機最大輸出轉矩。為不失一般性，可以假定各軸均采用直接驅動的方式，并假定各絲杠螺距相同，則各個軸的最大加速度為

式中，Txmax、Tymax、Tzmax為三個軸伺服電機的最大驅動力矩；amx、amy、amz為根據電機最大力矩確定的各軸的運動加速度；Txf、Tyf、Tzf分別為三個軸方向的切削反抗力矩；Jx、Jy、Jz為折合到伺服電機軸上的有效轉動慣量；L為傳動絲杠的螺距；m為垂直運動的有效質量。

如果主要研究制動減速的坐標軸，那么在制動減速的過程中，切削反抗力矩與電機的制動力矩是同向的，并且大大小于電機的制動力矩。因此可以令

小線段過渡時的速度vn應當滿足：

2.2 速度環帶寬與小線段銜接速度的關系

一般數控機床的位置進給伺服系統采用半閉環的控制方式，位置控制器采用“比例＋前饋”的控制策略，內部的速度環可以用一個二階環節來表述［8］，如圖2所示。在圖2中，Kp是位置比例增益，F是前饋增益，Kz是機械傳動機構的增益，Kv是速度的閉環增益，ωN是速度環帶寬，ζ是速度環的阻尼系數。

如上所述，在小線段銜接的過程中，沿加工路徑的進給速度大小不變，方向改變，因而至少有一個坐標軸上的伺服系統的指令速度會發生較大改變，并且這一改變是發生在一個插補周期Δ內的。事實上，各個坐標軸上伺服的最大加速度，不僅受限于伺服電機的輸出轉矩，還必須受限于速度環的帶寬。

圖2 伺服系統動態結構圖

在機床加工過程中，為了保證加工質量，伺服系統必須單調跟隨控制指令，不應出現超調和振蕩現象。理論和實踐均表明，速度環頻帶寬度越寬，越能夠保證伺服系統良好的跟隨性能。若帶寬固定，減小指令加速度，也可使伺服系統跟隨性能變好。

伺服系統的速度環帶寬是一個重要的設計指標，目前對一般的國產伺服驅動器而言，這一指標達到了250Hz左右，國際上較先進的伺服驅動器的速度環帶寬可達400Hz。指標是在伺服電機慣量與負載慣量相匹配的情況下達到的。速度控制環節的阻尼系數ζ也是一個重要的性能指標，與傳動機構的慣量和剛度以及黏性摩擦因數等有關［8］。在實際應用中，速度環一般是“微欠阻尼”的，可以用速度超調量σ來衡量速度跟隨響應的品質。利用MATLAB7.0的數值計算和圖形功能，可以得出σ與速度環帶寬、運動加速度、阻尼系數ζ等的關系。

在速度環帶寬的范圍為100～500Hz、運動加速度的范圍為0.1～1.0m／s2條件下，分別計算了在4種阻尼情況下，速度超調與帶寬及加速度的關系，計算結果如圖3所示。在計算中，利用了自制的伺服性能測試臺的一些機械參數：轉動慣量0.0026kg·m2，絲杠螺距8mm。

圖3顯示的結果表明，速度超調與運動加速度、帶寬、阻尼等都有關系，以阻尼系數ζ＝0.800的情況為例，若希望將速度超調控制在0.5%以下，如果速度環帶寬為400Hz，則坐標軸運動加速度不大于0.5m／s2即可；如果速度環帶寬為250Hz，則坐標軸運動加速度則不能大于0.3m／s2。

若三個坐標軸根據帶寬、阻尼等條件而確定的運動加速度分別是ahx、ahy、ahz，并且令

那么小線段過渡時的速度vn還應當滿足：

圖3 速度超調與帶寬和加速度的關系

3 約束條件在速度前瞻算法中的應用

前面分析了伺服系統的動力學特性對數控機床連續小線段銜接速度的約束條件，這樣的約束條件可以應用在速度前瞻算法中。具體方法如下：

式中，vns為小線段的起點速度；vne為終點速度；s為小線段的長度；anx、any、anz為三個坐標軸方向的實際加速度；ahx、ahy、ahz分別為按照速度環帶寬確定的三個坐標軸方向的最大加速度。

4 實例驗證

將速度前瞻技術應用到數控加工中還涉及諸如工藝參數、刀具系統、數控編程等方面的技術問題，本文試圖從分析機床伺服動力學特性的角度，對線段間的銜接速度作一些估計和限制，希望藉此提高加工效率并保證速度銜接的平滑性。

本文選用了如圖4所示的某乘用車發動機蓋沖壓模具型面的數控銑削加工作為前三節理論研究的驗證實例。數控加工設備為意大利薩克曼蘭鮑蒂公司的龍門式五軸數控高速銑削中心SPEDH60。該加工中心采用連續叉式銑頭，工作臺三個軸的行程分別為6000mm、3500mm、1500mm，快速進給速度達20m／min，主軸轉速為18 000r／min，數 控 系 統 為 Simens840D，支 持NURBS插補格式。發動機蓋零件沖壓凹模型面的數控銑削從粗加工到局部精整加工共有8道工序，本文選取XY平面中曲率變化大的6個圓角處的加工路徑進行比較研究。選用第8道精整工序，在應用CAM對加工區域進行后置處理時加入速度前瞻約束條件，生成相應的刀具軌跡，如圖5所示。在凹模模型上進行精整銑削加工的比對切削實驗，常規數控程序切削時間為56min33s，引入速度前瞻約束條件程序的切削時間為44min15s，提高加工效率約20%，切削表面質量達到零件設計要求。圖6所示為凹模型面精加工刀具軌跡。

圖4 發動機蓋外板零件數模

圖5 考慮速度前瞻數控加工的刀具軌跡設計

圖6 凹模型面精加工刀具軌跡

5 結束語

本文分析了數控機床伺服系統的動力學性能對空間小線段連續加工銜接過程的影響。從各個坐標軸電機的最大力矩以及速度環帶寬等伺服性能參數出發，得到了對銜接過程的速度和加速度影響的一些約束條件，這些約束條件主要與相鄰線段的方向角的變化有關，在三個坐標方向上，方向角變化最大的方向一般是受約束最嚴格的。在數控實際加工中的驗證表明，將本文給出的約束條件應用到速度前瞻算法中，可以在保證速度銜接的平滑性的前提下，有效地縮短加工時間，提高加工效率。

［1］ Ye P Q，Shi C，Yang K M，et al.Interpolation of Continuous Micro Line Segment Trajectories Based on Look－ahead Algorithm in High－speed Machining［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2008，37（9／10）：881－897.

［2］ Tsai M－S，Nien H－W，Yau H－Z.Development of a Real－time Look－ahead Interpolation Methodology with Spline－fitting Technique for Highspeed Machining［J］.Int.J.Adv.Manuf.Technol.，2010，47：621－638.

［3］ Wang H T，Zhao D B.Research and Implementation of NURBS Real－time and Look－ahead Interpolation Algorithm［C］／／2009International Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation.Zhangjiajie，2009：273－276.

［4］ 彭芳瑜，李黎.連續小直線段高速高精度插補中的動力學約束條件［J］.計算機輔助設計與圖形學學報，2006，18（12）：1812－1816.

［5］ Cao Y N，Wang T M，Chen Y D，et al.High－speed Control Algorithm Using Look－ahead Strategy in CNC Systems［C］／／2008 3rd IEEE Conference onIndustrial Electronics and Applications.Singapore：2008：372－377.

［6］ 王宇晗，肖凌劍.小線段高速加工速度銜接數學模型［J］.上海交通大學學報，2004，38（6）：901－904.

［7］ 葉佩青，趙慎良.微小直線段的連續插補控制算法研究［J］.中國機械工程，2004，15（15）：1354－1356.

［8］ 董玉紅，邵俊鵬，周室仁.CK7815數控機床進給伺服系統的建模及仿真［J］.哈爾濱理工大學學報，2005，10（3）：25－30.