基于價格折扣的短生命周期易變質物品銷售策略

周優(yōu)軍

（1.廣西大學 數(shù)學與信息科學學院，南寧 530004；2.柳州師范專科高等學校 數(shù)學與計算機科學系，廣西 柳州 545004）

0 引言

隨著市場機制日益完善，各種營銷策略的應用頻率和范圍也越來越廣，研究成果不斷涌現(xiàn)。其中，價格折扣作為一種較常用的營銷策略，越來越受到企業(yè)經營者和學者們的關注。

綜合國內外學者的研究發(fā)現(xiàn)：關于價格折扣策略的庫存模型研究，絕大多數(shù)是建立在需求為常數(shù)、沒有變質且不允許缺貨的基礎上，對產品的市場需求刻畫不夠細致、全面。因此，本文從實際的生產銷售出發(fā)，在文獻[5]中《短生命周期產品的臨時價格折扣模型》的基礎上進行了擴展和完善，建立了在供應商提供價格折扣和零售商提供臨時價格折扣條件下的短生命周期易變質物品庫存模型，其中，需求率跟銷售價格及時間相關且符合生命周期產品的需求模式，產品發(fā)生物理變質，變質率為常數(shù)。討論了模型解的存在性，給出了具體算法，最后通過數(shù)值例子來驗證算法和模型的有效性。

1 模型假設與符號說明

本文使用以下的符號：

（1）M為易變質物品的市場生命周期,常數(shù)；

（2）需求率是時間和價格的函數(shù)，為D(p,t)=f(p)g(t)，其中：

g(t)為刻畫產品生命周期的函數(shù)，且g(t)=t(M-t)，0≤t≤M；

（3）s是固定的訂購費用,與訂購批量無關；

（4）θ 為變質率，常數(shù)；

（5）c(Q)為計劃期內單位物品采購價格，滿足

（6）h為單位時間單位物品的庫存維持費，常數(shù)；

（7）p0，p1分別為單位物品在時間[0,t1),[t1,M]內的銷售價格；

（8）Q為計劃期內訂貨量，Q1為時間[t1,M]內物品數(shù)量；

為了建立模型，本文給出以下假設：

（1）考慮單一變質物品，變質率為常數(shù)θ；

（2）瞬時補貨，不允許缺貨；

（3）零售商在t1時刻以價格 p1（p1大于與之對應的單位物品采購價格）進行降價銷售，p1為決策變量。

2 模型建立

對于生命周期產品而言，當產品處于成長和平穩(wěn)期時，宜采用高價策略來獲得最大效益；當產品處于衰退期時，宜采用降價策略來刺激產品的銷售，增加收益。本庫存模型的最優(yōu)控制可描述為:供應商在計劃期內給定降價銷售時間為t1，在[0，t1)，[t1，T]時間內對物品分別以價格 p0，p1進行銷售，目的是確定最佳訂貨量Q及銷售價格p0，p1，使得計劃期內產品銷售總利潤最大。

解上述微分方程，由I2(M)=0，有：

在[0，t1]上，庫存I1(t)可用下面的微分方程表示：

解上述微分方程，由 I1(t1)=Q1(p1，t1)，有：

周期內總成本為：

綜上，我們的目的是確定最優(yōu)的p使得零售商在產品的整個市場生命周期中的總利潤π(p)最大，庫存模型為：

3 模型分析與求解

3.1 解的存在性分析

對（9）式求關于 p0，p 的導數(shù)，有：

由于 eθt1＞eθt＞1(t1＞t＞0)，b＞1，所以

所以，由二元函數(shù)極值的充要條件知，πi(p0，p)只在處取得最大值。

由引理1易有：

推論 1：當 i=1，2，3 時，對給定的 p0，p1，有

由引理1及推論1，易證定理1。

定理 1：對給定的 t1，存在 η≥ξ＞c3，使得 π(p0，p1)在(η，p)處取得最大值。

3.2 具體算法

第一步：由（12）、（13）式計算 pi，j(i=0，1，j=1，2，3)，并代入（6）中計算 Q(p0，1，p1，1)，Q(p0，2，p1，2)，Q(p0，3，p1，3)，Q(c2，c2)，Q(c3，c3);

第二步：若 Q(p0，3，p1，3)≥q2，令 η1=η2=ξ1=ξ2=0，η3=p0.3，ξ3=p1，3，轉第十三步；否則，轉第三步；

第三步：若 Q(c3，c3)＜q2，轉第四步；否則，轉第十步；

第四步：若 Q(p0，1,p1，1)≥q2，令 η1=η3=ξ1=ξ3=0，η1=p0.2，ξ2=p1，2，轉第十三步；否則，轉第五步；

第五步：若 Q(c3，c3)＜q2，令 η2=η3=ξ2=ξ3=0，η1=p0.1，ξ1=p1，1，轉第十三步；否則，轉第六步；

第十步：仿第六—第九步，確定 η3，ξ3；

第十一步 ：若 Q(p0，2，p1，2)≥q1，則令 η1=ξ1=0，η2=p0，2，ξ2=p1，2；否則，η1=p0，1，ξ1=p1，1，轉第十二步；

第十二步：若 Q(c2，c2)＜q1，則令 η2=ξ2=0；否則，同第六—第九步，確定 η2，ξ2；

第十三步：計算 π1(η1，ξ1)，π2(η2，ξ2)，π3(η3，ξ3)，則最佳銷售策略為：最大總利潤為 maxπ=max{πi(ηi，ξi)|i=1，2，3}，與之對應的價格即為最優(yōu)銷售價格p0，p1，最佳訂貨量為Q(p0，p1)。

4 數(shù)值實驗

某公司產品投放市場，需求率變化趨勢用D(p，t)=f(p)g(t)來擬合，其中f(p)=12004p-4，g(t)=25t(M-t)。現(xiàn)已知該產品其它數(shù)據(jù)經測算如下:M=3，s=150，θ=0.02，h=1.1，c1=900(Q＜70)，c2=850(70≤Q＜140)，c3=800(140≤Q)，p0=1400，t1=2，其中時間單位為月，價格單位為元。

經計算，在整個生命周期[0，M]內 ， 最 佳 銷 售策略為：

表1 降價時間t1靈敏度分析

最佳銷售價格為 p0=1094.41，p1=1121.71，最大總利潤為 maxπ(p0，p1)=π3(p0，p)=53293.39，最佳訂購量為 Q*=163.43。

文獻[5]設定初始銷售價格為p0=1200，由于采用降價銷售策略，其整個生命周期[0，M]內，最佳銷售策略為：降價后最佳銷售價格為p*=1191.60，最大利潤為maxπ (p)=π2(p)=32535.32，最佳訂購量Q*=77.52。經比較可知，本文在不考慮必須降價促銷的情況下，根據(jù)實際的需求狀況所得到的最佳銷售策略無論是在最大總利潤，還是在最佳訂購量上均遠大于文獻[5]的結論，對短生命周期產品生產和銷售都有實際的指導意義。

由表1觀察可知：隨著時間t1的往后推延。

（1）p0，p1的變化規(guī)律符合引理 1 的結論；（2）最佳訂購量Q的變化不大，在t1=1.5時訂購量達到最大，由需求函數(shù)性質可知，此時為計劃期內需求最大值點；（3）銷售商所能獲得的利潤會有所增加，但不顯著。

因此，銷售商根據(jù)市場的實際情況及本身的需要，可以將產品需求的轉折點（成長期到平穩(wěn)期，或平穩(wěn)期到衰退期）確定為價格調整的時間點進行價格調整，以期取得更好的產品信譽及更好的銷售收益。

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