供應鏈采購風險管理中期權合同的定價研究

吳有華，陳慧麗，何健敏

(東南大學 經濟管理學院，南京 211189)

1 模型概述

考慮單個供應商，單個制造商(后文中被稱為采購商)，單種產品以及單銷售季節的情況，該供應商向采購商提供原材料或零配件，該采購商則向終端顧客銷售最終的產品，終端客戶的需求是隨機變量。采購商采購的產品具有Newsvendor（報童模型）特點。

在銷售季節開始的零時刻，采購商以單價w訂購Q單位的產品，同時采購商以單價c購買q單位的期權合同，每單位的期權合同使采購商有權利(并非義務)決定是否在銷售季節結束之前以X的交割價格獲得一單位的產品。供應商承諾的產量為Q+q，銷售季節過后供應商剩余產品每單位的殘值是VS，采購商剩余產品每單位的殘值為Vm。

后文涉及的符號介紹：

D顧客需求，由制造商（后文成為購買商）提供的產品；

μ隨機變量D的期望值；σ隨機變量D的標準差；

r采購商的單位銷售價格；m供應商的單位成本；

X期權的執行價格；

SM采購商的單位短缺成本；

根據上述內容，以下關系恒成立：

c+X≥w c+vM≤w r+SM≥c+X (1)

如果第一個不等式不成立，則采購商通過購買一單位期權合同進行交割獲得一單位產品的總成本低于現貨市場中訂購產品的單位成本，這樣會使現貨市場無效。如果第二個不等式不成立，期權合同的存在就沒有意義，因為w-vM＜c表示在需求不確定的情況下為了避免短缺，采購商可以基于需求的預測以w的單價購買較多的產品作為儲備，銷售季節末以vm的單價處理剩余產品，這種操作采購商的成本僅為wvM，小于利用期權合同付出的成本c。如果當采購商在銷售季節初訂購的產量不能滿足需求時可以從現貨市場上以單價ws獲得產品，則SM=ws-r，此時第三個不等式簡化為ws≥c+X，如該式不成立則現貨市場會使得期權市場過剩。

供應合同中的四個變量Q，q，c，X是通過供應商和采購商的談判博弈確定地。用Stackelberg博弈對該過程建模，其中供應商是主導企業，采購商是追隨企業，采購商根據供應商的定價，確定最優的采購決策。同時假設信息是對稱的，供應商可以出采購商的產品訂購量，從而制定最優定價決策。假設采供雙方都是理性，自私，風險中性的。

2 采購商的訂購決策

采購商有兩個決策變量：訂貨數量Q和期權購買量q，總的訂購數量為T=Q+q，其期望利潤是：

采購商的期望利潤又可以寫成：

將式（4）分別對變量Q，q求偏導，并使之為零：

由于[x]+是遞增的凸函數，X≥vM和 r+SM≥X 成立，則（2）式中采購商的利潤GM(Q,q)是變量（Q，q）的凹函數。注意如果（7）是嚴格不等式，（5）和（6）就是采購商的最佳訂貨量 Q，q；如果（7）為等式，則 q=0。

考慮采購商的最佳采購量 Q，q（即（7）式成立時）隨(c，X)的增減變化性：

（5）式中F-1的自變量可以變形為：，根據（1）中的條件，很明顯這個式子的值是隨(c，X)遞增的，因此現貨最佳采購量Q是隨(c，X)遞增的。

同樣（6）中F-1的自變量可以變形為：，根據（1）中的條件，該式的值對(c，X)是遞減的，考慮以上證明過Q隨(c，X)遞增的性質可知期權采購量是隨(c，X)遞減的。

考慮采購商期望利潤GM(Q,q)隨(c，X)變動的增減性：

首先考慮X：根據（4）式可知 GM通過變量Q，q期權交割價格X變動。因為GM對Q，q的偏導在Q，q取得最優解時為零，所以=-q+F(x)dx≤0（其中F(x)≤1），GM對X遞減，即同理有=-q+≤0，GM也 c對遞減。

3 供應商的定價決策

供應商的利潤模型如下：

采購商的目標函數可以簡化為：

另外(c，X)滿足（1）式以及（7）式。 供應商把(Q，q)當做(c，X)的函數。

（9）中的目標函數還可以寫成：

將該目標函數分別對c，X求偏導得：

根據（5）（6）式可以得到：QC'=[(X-VM)f(Q)]-1

將最后兩個等式帶入（12）式中，

代入（14）式中得到：

另外根據（5）式有w-X-c+(X-VS)F(Q)=(VM-VS)F(Q)

當VM≥VS時，上式等號左邊各項都是非負的（前面已經說明Q是c的增函數），此時≥0，采購商希望期權的交割價格盡可能的大，為了同時滿足（7）式的約束，采購商會令期權價格盡可能接近零，以便X可以盡可能的最大化。當VM＜VS時供應商對期權的最優定價決策就符合（14）（15）兩式。

4 算例研究

為了驗證上文中建立的供應商、采購商之間的Stackelberg博弈模型，可以用于求解采購商對現貨和期權合同的最優采購決策，以及供應商對期權價格和期權執行價格的最優決策，通過一個算例加以分析。

假設 m=30,r=85,SM=30,υs=10,VM=5,Vw=45，經檢驗假設的數值均滿足條件（1）、（7）的要求。同時假設隨機變量顧客需求D服從[500,1000]上的均勻分布。

根據供應商的定價決策分析知道當VM＜VS時供應商對期權的最優定價決策就符合（14）、（15）兩式。因此把假設的數值代入（14）、（15）進行計算可得供應商對期權價格和期權執行價格的最優決策分別為c*=20,X*=55。

將供應商的最優定價決策代入采購商的反應函數（5）、（6）兩式中。可以求解得到采購商的對現貨和期權合同的最優采購決策分別為Q*=800,q*=33。

5 小結

目前許多文獻已經證明期權合同在分散采購風險和提高供應鏈效率上確實有重要作用，但是能夠合理地確定期權合同的價格是在實務中應用期權合同的前提，研究期權價格的最優決策具有重要的現實意義和理論價值，而已有文獻對這方面關注比較少。為了更好地實現風險規避和共享，本文初步探討了期權合同價格的最優決策方法，希望能為進一步的研究奠定基礎。不過本文中假設的市場環境和采購問題較為簡單，考慮了一個采購商和一個供應商的情況，沒有涉及一對多甚至是多對多的情況；并假設市場中產品的銷售價格固定，不會受市場需求變動的影響，這些都是需要進一步研究探討的問題。

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