擬合優度檢驗統計量的設定方法

王 重，劉黎明

（首都經濟貿易大學 統計學院,北京 100026）

1 問題提出

構建經濟計量模型研究經濟問題，首先確定研究對象，然后分析研究對象，確定影響研究對象的變量；根據變量之間的相互關系，確定經濟計量模型的結構解析式；而后利用搜集到的數據估計模型未知參數；最后，對模型進行檢驗，模型通過檢驗后，就可以利用經濟計量模型解釋經濟現象。

經濟計量模型的變量選取，模型結構解析式的確定需要經濟理論和先驗的經驗研究，模型檢驗是經濟計量模型能夠解釋經濟現象的保證。經典線性模型中的檢驗中有擬合優度檢驗、模型系數檢驗、模型總體檢驗。三個檢驗方法中，擬合優度檢驗和模型總體檢驗主要檢驗模型的擬合程度，模型通過擬合優度檢驗，才可以進行系數檢驗。

2 模型檢驗存在的問題

擬合優度檢驗最早由英國統計學家K·皮爾遜提出，皮爾遜明確指出統計學不僅僅研究樣本，而是根據樣本對總體進行推斷。模型檢驗是構建模型過程中重要的一環。經典的計量經濟學通過構造檢驗統計量進行模型假設檢驗。模型擬合優度檢驗，模型假設和檢驗統計量的構造以數理統計知識為基礎。經典的模型檢驗，需要檢驗模型參數，并且還需檢驗模型總體顯著性。

回歸擬合度評價統計量：

擬合優度檢驗用于檢驗回歸模型的擬合程度，擬合優度檢驗是模型系數檢驗的基礎，在模型通過擬合優度檢驗后，才可進行模型系數檢驗。統計量檢驗模型的擬合程度被證明存在問題，Anscombe在1973年給出了四組著名數據，證明了R2不能充分檢驗回歸模型擬合情況，統計量R2無法充分反映模型的擬合程度，使用統計量R2無法有效的檢驗模型的擬合程度。

表1中數據被分為四組，G1(x1,y1)，G2(x2,y2)，G3(x3,y3)，G4(x2,y4)，對這四組數據進行一元線性回歸。設定模型：

y=β0+β1x+ε

采用最小二乘法估計模型，得到模型參數和模型的主要統計量。

表1 Anscombe數據

表2 各數據組模型統計量

表3 各組數據估計模型殘差表

從表2可以看出，數據組G1，G2，G3的模型參數估計值和模型的擬合優度檢驗統計量基本一致，0.7。擬合優度檢驗統計量的值不是很高，但還是不能否認R2本身存在的問題。四組數據擬合模型，我們得到相似的回歸方程，但數據卻存在很大差別。

如圖1所示，模型y=3+0.5x對于數據組G1與G3的擬合優度檢驗統計量為0.7，基本可以擬合，但是對于數據組G2，擬合優度檢驗統計量也是0.7，擬合效果就要差很多，因此單獨利用R2檢驗模型的擬合優度是欠妥的。

擬合優度檢驗統計量R2不能夠很好檢驗模型的擬合情況，這與統計量 R2的構造有關。 R2中包含有(Y-)與(Y^-)，獲得自變量數值的方式不同，也就具有不同的含義。自變量Y數據來源有兩種方式，第一類是通過可重復實驗獲得的數據。例如：在常溫，常壓狀態下，某工廠測量合金A的強度，對合金A施加100000牛沖擊力，實驗3萬次，合金A的3萬次實驗的數據記錄下來，測算合金A的強度。合金A的強度為研究對象，構造模型y=p×s+ε，利用數理方法，估計合金A的強度。可重復實驗得到數據，可以保證實驗條件的穩定性，把外界的干擾控制到最低。在實驗中，可以精確的控制每一個Y影響研究對象的變量。本例中，可以精確的控制溫度、壓強、沖擊力。此時R2的就是試驗觀測數值得均值，并且與每一個十分接近，此時R2作為檢驗模型的擬合程度不是很合適。第二類是不可重復性試驗的時間序列數據。在經濟問題的研究中，我們得到大量無法重復的時間序列數據。例如：為了研究某地區的消費規律，根據統計資料查到該地區人均收入、人均儲蓄和人均消費1981年到2002年的年度數據，通過對數據的分析，估計人均收入、人均儲蓄對人均消費的影響程度。人均消費作為研究對象，記錄縱向年度不同時刻變量的值，利用這些統計數據構建模型研究人均收入、人均儲蓄與人均消費的關系。構建面板數據模型，存在個自變量，研究面板數據研究自變量與因變量的關系，面板數據收集時，n個自變量與因變量同時變化，這時就變成自變量Y的算術平均值，并不能保證與每一個Y十分接近，那么借助R2與對模型進行擬合的檢驗就可能出現Anscombe所論證的問題。

3 擬合優度檢驗統計量

檢驗模型的擬合優度可以構建新的統計量，擬合優度檢驗的統計量可以設定為：

模型的擬合優度檢驗是檢驗設定模型的擬合程度，檢驗擬合優度的統計量應該實際反映模型的擬合水平。檢驗模型的擬合程度，殘差是良好的統計量，使用殘差必須消除殘差的量綱影響，統計量αi消除量綱影響，殘差表示估計值與真實值之間的差別，殘差除以真實值表示殘差占真實值的比率。

模型因變量與自變量關系穩定，確定模型變量之間的函數關系，yi服從正態分布。模型因變量服從正態分布，不可采用擬合優度X2統計量檢驗模型擬合優度。估計模型函數關系確定后，構造模型的擬合優度檢驗X2統計量

模型假設 εi服從獨立正態分布，εi～N（0，σ2），計算 X2統計量，必須知道殘差的方差 σ 的值，在 εi～N（0，σ2）的前提假設條件下，采用無偏統計量σ^2代替，代入X2統計量，得到X2(n-k-1)=n-k-1，因此X2統計量無法作為模型的擬合優度檢驗統計量。模型總體檢驗使用F統計量，F統計量構造中含有R2，R2檢驗擬合優度存在不足，那么使用F統計量檢驗模型的擬合優度也是存在問題的，因此使用統計量β檢驗模型擬合優度是可行。

如果模型每一個ai都是小于0.95，那么可以認定模型擬合程度高，在上例中，數據組G3的統計量R2受異常點的影響，R2值不理想，但模型的擬合程度還是很高的。統計量β由所有因變量的殘差與真實值比值絕對值的平均數，表示模型總體的擬合情況。數據組 G1(x1,y1)，G2(x2,y2)，G3(x3,y3)，G4(x2,y4)的檢驗結果見表3，表4。

表4 各模型擬合檢驗統計量表

從檢驗結果來看，模型y=β0+β1x+ε對四組數據模擬，G3(x1,y3)的檢驗值最小，統計量β=0.07，若假設β＜0.1就可以接受模型，那么就可以利用模型對數據G3(x1,y3)進行經濟分析，數據組 G1(x1,y1)，G2(x2,y2)，G4(x2,y4)的模型需要進行修正，僅當 G1、G2、G3 的模型統計量 βi＜0.1，才可借助模型進行經濟分析。

4 結論

檢驗模型擬合優度，統計量R2構造存在問題，不能很好地反映模型的實際擬合程度，而統計量β從模型本身出發，可以準確的辨別模型的擬合情況。實際研究中，根據研究對象的不同，設定不同精度，得到擬合數據的最佳模型，分析經濟問題。

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