價格合同博弈的最優(yōu)解探析

應(yīng)明幼，鮑務(wù)英，陳競先，劉文魄

（1.東華大學 旭日工商管理學院，上海 200051；2.浙江工業(yè)大學 之江學院，杭州 310024）

0 引言

供應(yīng)鏈中上下游企業(yè)之間最基本的關(guān)系要靠合同紐帶維系，上下游企業(yè)之間雙贏的博弈首先體現(xiàn)在合同的訂立上：供應(yīng)商和零售商分別以價格和批量為對策進行博弈，其中價格合同的形式最簡單。但是當今關(guān)于供應(yīng)鏈管理（SCM）的研究文獻中真正從機理或定量模型著手研究合同模型的好文章并不多見。究其原因，一方面固然是因為研究問題特殊，另一方面則是由于人們對這個看來似乎很簡單、似乎已為人研究得非常透徹的問題還有認識不清的地方，嚴重扭曲了研究成果。一個明顯的例子就是對所謂的“雙重邊際效應(yīng)(double marginalization)”的片面理解所導(dǎo)致的研究結(jié)果偏離實際。研究合同模型的經(jīng)典文獻如Cachon(1999)[1]和Lariviere(1999)[2]等都存在這樣的問題。另一個主要原因是適用于合同模型研究的合作博弈問題卻在博弈理論中缺乏討論。因此，本文將在修正的雙重邊際效應(yīng)前提下探討價格合同模型的博弈最優(yōu)解。

1 現(xiàn)有的研究價格合同的模型及成果

現(xiàn)有的討論由報童模型著手，無短缺成本時，集制造與銷售一體的系統(tǒng)的期望利潤為

其中y、r、cM及 F(x)分別表示產(chǎn)品的產(chǎn)量、零售價、單位制造成本及需求分布，v為每件未賣出去的產(chǎn)品的殘余價值。容易求得此問題的解——最優(yōu)生產(chǎn)批量和相應(yīng)利潤分別為：

如該系統(tǒng)變成由獨立的制造商與零售商組成的分工系統(tǒng)，r、cM及F(x)保持不變，零售商以批發(fā)價w從制造商那里購買y件產(chǎn)品，cM＜w＜r，則零售商的訂貨量和利潤分別為：

根據(jù)Cachon等人的研究，顯然有y(w)＜yI。即供應(yīng)鏈系統(tǒng)的服務(wù)水平低于一體化系統(tǒng)。這個現(xiàn)象在供應(yīng)鏈管理中被他們詮釋為“雙重邊際效應(yīng)(double marginalization)”。很多論文都采用了相似的研究方法[[3][7]～[10]。

Chen（2005）[5]指出 Cachon等人的研究隱含了“零售成本為零”的假設(shè)，因此在討論中應(yīng)引入零售商的銷售成本cSR。此時，零售商和供應(yīng)商的利潤為：

從而，當供應(yīng)商給定批發(fā)價時，零售商的最優(yōu)定購量為：

為了得到對雙方都更有利的合同，文獻[6]引進了理性博弈者假設(shè)：博弈雙方在不降低自己利潤前提下愿意改變各自的對策來提高系統(tǒng)的服務(wù)水平。于是(4)或(5)式的等號左邊固定為某一常數(shù)時它們就分別表示零售商或制造商的對應(yīng)于利潤為該常數(shù)的等值線時的對策w和y之間的關(guān)系。他們證明了：零售商的利潤等值線是嚴格凹函數(shù)而制造商的利潤等值線是嚴格凸函數(shù)；在y-w平面上零售商的利潤等值線越往下移動取值越大、制造商的利潤等值線越往上移動取值越大。顯然有：任意一條零售商的利潤等值線與任意一條制造商的利潤等值線的切點只要存在，它就是該博弈問題的一個平衡點，一般稱為Pareto平衡點。并進一步證明，零售商和供應(yīng)商的利潤函數(shù)等值線的切點在一條垂直于橫軸的線段上，而該線段則是博弈問題的Pareto均衡解集。

然而，Chen（2006）[6]尚未討論 Pareto均衡的可達性以及如果Pareto均衡不可達，是否可以找到其他的最優(yōu)解。

2 價格合同的最優(yōu)解

從以上的理性博弈者假設(shè)出發(fā)，我們可以認為合同博弈的過程是一個“報價——還價——討價——再還價——……直至定約”的過程，與尋常的市場上的討價還價現(xiàn)象沒有區(qū)別。但是，實質(zhì)上我們要討論的是在這個過程中如何報價最有理、如何還價最有理。顯然我們可以把上述的博弈過程分為兩個階段來進行：第一階段是零售商根據(jù)(6)式通過使自己的利潤最大，找出相應(yīng)于每個w如(10)式所示的最優(yōu)訂購量y(w)；第二階段是制造商根據(jù)(7)式在第一階段優(yōu)化結(jié)果的約束下，通過使自己的利潤最大找出最適宜的價格w*，由此得到的(y(w*),w*)即是價格合同博弈問題的最優(yōu)解。于是新的問題轉(zhuǎn)化為y(w*)是否等于ype？如果y(w*)＜ype，是否有可能作進一步的博弈使得ype成為可達的最優(yōu)解？

Chen（2006）[6]認為只要有“適當?shù)牟┺囊?guī)則”，每一輪談判的結(jié)果不僅使訂貨量增大(即服務(wù)水平提高)，而且雙方的利潤都比前一輪談判有所增加。最后在某個Pareto平衡點達成協(xié)議。遺憾的是這樣的博弈規(guī)則不是價格合同的規(guī)則。

事實上，價格合同談判結(jié)果的軌跡曲線CP是由零售商決定的，零售商在準備自己的訂貨對策時，零售商并不需要事先揣摩制造商可能給出的批發(fā)價，而是對每一個低于零售價與銷售成本的差值而高于處理價v的批發(fā)價w事先準備好對策y(w)。因此我們先來討論一些關(guān)于零售商的CP曲線的特殊意義，接著考察CP曲線上坐標為ype的點(即P點)的位置在過C點的制造商利潤等值線的上方還是下方。如果P點在上方則價格合同的Pareto平衡點最優(yōu)解是可達的；否則價格合同的最優(yōu)解就不可能實現(xiàn)系統(tǒng)的最優(yōu)（圖1）。

由以上論述，我們可知軌跡曲線CP的函數(shù)表達式為：

很明顯，CP并非嚴格凸曲線，它具有三個性質(zhì)：（1）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；（2）y足夠大時，它是嚴格凹曲線；（3）在區(qū)間|y0,ype|上，CP曲線函數(shù)一定存在有限個極大值和極小值。為方便討論，我們暫時將CP看作圖2所示的凹曲線。

對CP上的任意一點(不妨就取C點為例)都可畫出一條制造商的利潤等值線和一條零售商的利潤等值線(如圖2所示)，容易證明在C點上零售商的利潤等值線的導(dǎo)數(shù)dw/dy=0，即在幾何意義上C點是零售商的利潤等值線的最高點，而在博弈意義上當零售商的利潤固定在ΠR(w0,y0)=(r-w0-)y0-(r-v)(x)dx時C點的批發(fā)價坐標w0是的零售商可以忍受的最高批發(fā)價。

設(shè)初始談判結(jié)束時在C點達成協(xié)議，于是過C點有供應(yīng)商和零售商的兩條利潤等值線，分別為：

令供應(yīng)商利潤等值線、零售商利潤等值線和CP曲線在y=ype時的 w 坐標值分別為 w1p、w2p和 wgp。 由(8)、(9)、(10)三式容易得到：

然后我們利用不等式的性質(zhì)和積分中值定理可以得到：

從而 wgp＜w1p＜w2p。

關(guān)系wgp＜w1p表明價格合同的最優(yōu)解不可能在Pareto平衡點上實現(xiàn)，而關(guān)系w1p＜w2p又表明在有分工優(yōu)勢的供應(yīng)鏈系統(tǒng)中Pareto平衡點可以是制造商與零售商合同博弈問題的可行解。這兩點告訴我們價格合同博弈機制不是合同博弈問題的最好機制。

由于制造商的利潤等值線是嚴格凸的函數(shù)且越往上移動所代表的利潤越高，若CP曲線是嚴格凹的，則必有一條制造商的利潤等值線與CP相切，它們的切點就是價格合同的最優(yōu)解。如果CP曲線不是嚴格凹的，那么它在閉區(qū)間[y0,ype]上也是是局部的凹函數(shù)且必然存在有限個極大值，因此可以找到有限條與CP曲線相切的制造商的利潤等值線，它們之中最靠近C點的切點就是價格合同問題的局部最優(yōu)解，也是均衡點。圖3可以清晰地表示價格合同問題均衡點的幾何意義。在談判過程中供應(yīng)商逐步降價，當談判沿軌CP進行到離C點最近的切點O時，繼續(xù)降價將有損供應(yīng)商既得的利潤，此時雙方應(yīng)在O點訂立合同。因此，價格合同的全局最優(yōu)解即使達不到，它的一個局部最優(yōu)解也將成為唯一的均衡點(w*，y*)。令此均衡點為，它必然滿足方程組(11)

此時，零售商和制造商的利潤分別由公式(12)中的兩個表達式給出：

3 討論

首先討論的第一個問題是制造商的定價與需求信息共享的關(guān)系。從以上的分析我們可以知道價格合同的均衡點在實際的談判操作中是唯一的，制造商隨意定價并不符合自身利益。最優(yōu)批發(fā)價不僅依賴于零售價、回收價和制造商成本這些已知參數(shù)，而且還與需求分布、最優(yōu)訂貨量密切相關(guān)。后面這兩個因素中，一個是零售商的對策，另一個是零售商掌握的信息。因此，要實現(xiàn)最優(yōu)價格合同即制造商實現(xiàn)最優(yōu)定價只有三條途徑：第一條途徑是制造商開始時開價略高一些，然后一邊不厭其繁地逐次一點點、一點點降價，一邊不停地計算自己的利潤并琢磨是否利潤是否到達頂峰。由于價格合同的博弈機制決定了制造商采用這種方法談判在批發(fā)價降至均衡點前制造商的利潤是遞增的，過了均衡點后制造商的利潤才遞減；又由于每次降價的幅度很小，因此可以保證在很接近均衡點的地方訂立價格合同。但是這個均衡點有可能是局部最優(yōu)解。第二條途徑的降價幅度比第一種方法要大些，然后根據(jù)談判結(jié)果得到的一系列訂貨量數(shù)據(jù)來推斷需求分布，從而可以找到全局最優(yōu)解。但是這種方法技術(shù)要求很高但推斷精度不一定高，不易為一般人掌握。第三條途徑要求零售商提供需求分布。由于價格合同的全局最優(yōu)解具有雙贏的平衡點的性質(zhì)，共享信息對合同雙方都是有利的。

其次要討論的問題是本文在價格合同問題上得到的研究成果的推廣意義。在研究批量折扣合同時，我們發(fā)現(xiàn)供應(yīng)商在等利潤前提下給出的批量折扣政策將會激勵零售商把定購量提升到y(tǒng)pe，此時Pareto均衡是可達的。因此，我們相信在不同的博弈規(guī)則下，合作博弈的機制和最優(yōu)解的形式是完全不同的，不同形式的合同博弈問題是值得分別研究的。本文旨在研究合同博弈問題中最簡單的價格合同，其它形式的合同博弈問題都要比它復(fù)雜，但是在研究回購合同和數(shù)量柔性合同等的博弈問題時，本文所提出的用利潤等值線結(jié)合兩階段規(guī)劃模型的分析方法是行之有效的。

4 結(jié)束語

本文詳細討論了價格合同博弈的最優(yōu)解，發(fā)現(xiàn)價格合同的均衡點唯一存在但是有可能是局部最優(yōu)解且不是系統(tǒng)Pareto平衡點；繼而討論了兩個與價格合同最優(yōu)解有關(guān)的問題。雖然本文只研究了最簡單的合同形式，但是文中提出的用利潤等值線結(jié)合兩階段規(guī)劃模型的研究方法適用于其他的供應(yīng)鏈合同形式。

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