多因素模型中的最佳投資比例

秦松濤

(吉首大學 信息管理與工程學院，湖南 張家界 427000)

Elton,Gruber和Padlberg三人在單因素模型的假設下，推導出求最佳投資比例的計算公式 （簡稱EGP方法）。Ross在1976年提出了資產收益率受多個因素影響的套利定價模型（APT），多因素模型比單因素模型許多方面更加優越而倍受人們的喜愛。本文導出多因素模型在允許賣空和不允許賣空的情況下最佳投資比例公式，從而推廣了EGP方法。

1 多因素模型下最佳投資比例公式

（1）多因素模型

設有I1，I2，…，Ik共k種不相關的經濟因素共同影響資產收益，建立風險資產收益率受這k種經濟因素共同影響的多因素模型

其中 Ri是第 i種資產在 t時期的收益率，I1，I2， …，Ik是這 k 種經濟因素在 t時期的實現值，βil(l=1，2，…，k)是第 i種資產收益率對第l種經濟因素的敏感系數，它是Ri受Il的一定變化所導致的平均變化程度，αi是風險資產i在報酬中獨立于這k種經濟因素的部分，εi是實際觀察到的報酬與回歸線性方程： 的偏差。

不難計算這種多因素模型中隨機變量Ri的數字特征

（2）允許賣空時的最佳投資比例

設投資組合P包含n種風險資產和一種無風險資產，無風險資產的收益率是rf，Wi表示投資組合P在第i種風險資產上的權重，則由均值方差理論應滿足

重寫(5)式可得

將(2)，(3)式代入(6)式得

（9）式 i=1，2，…，n 共表示 n 個方程，對第 j個方程兩邊同乘以βj1，然后對這樣作的n個方程相加，得下列方程組的第一個方程，同理可得其它方程

以上方程組(10)是關于 的 k元一次方程組，當其系數行列式D不為零時有唯一解，設為：

其中(R/V)i是夏普業績指數，它計量了第i種風險資產每單位風險的超額報酬，夏普建議將它用作一般證劵組合和特定共同基金的過去業績的一種指標。而Gi反映的是第i種風險資產在多因素模型(1)下關于各貝它系數、資產本身的標準差的函數，是風險的一種指標度量。

由(12)知風險資產權重的比W1:W2:…:Wn=x1:x2:…:xn=z1:z2:…:zn，是與目標收益率μ無關的常數的比，對于這n種風險資產和無風險資產的任何組合這個比例都是不變的，這個比例與理性投資者對風險的偏好無關，它是所有投資者共同追求的最有效的投資結果，這個比例就叫最佳投資比例。

（3）不允許賣空時的最佳投資比例

當不允許賣空時，投資組合各風險資產的權重Wi≥0，亦即 xi=2Wi÷λ≥0，求解方程（6）變成解下列庫恩-塔克條件：

(b)xiUi=0 (c)xi≥0 且 Ui≥0 (i=1，2，…，n)

其中Ui是為保證非負性而添加的松弛變量。由（b）可知如果xi＞0則必有Ui=0，即當不存在第i種資產賣空時，Ui從等式（a）中消失。 如果 Ui＞0，則由（b）保證 xi=0，因此賣空的資產所占比例可設為零，而不用負數。 將（2），（3）式代入（a）可得

合并后得

如果將風險資產分成兩組，第1組投資組合包含n1種xi＞0的風險資產，第2組包含n-n1種xi=0的風險資產，那么對于第一組Ui=0，(13)式寫成

與允許賣空推導一樣，也可得公式(12)

實際計算當允許賣空時，若第i種風險資產夏普業績指數(R/V)i小于它的風險指標Gi，按公式(12)投資于該種風險資產的比例為負數，因而應該按照這種比例賣空該種風險資產，用其所得連同本身資金買進其他夏普業績指數(R/V)i大于它的風險指標Gi的風險資產。

當不允許賣空時，凡夏普業績指數(R/V)i小于它的風險指標Gi的風險資產，則應當從投資組合中剔除；而(R/V)i大于它的風險指標Gi的風險資產，都選入投資組合中。

將(12)所提供的最優投資比例單位化，即使最優投資比例的權數之和為1，得投資于第i種風險資產的標準化最優投資比例為：

其中當允許賣空時m=n；當不允許買空時等于夏普業績指數(R/V)i大于或等于它的風險指標Gi的風險資產的個數。

2 多因素模型實證分析

從上海證券市場選取上海汽車、同仁堂、齊魯石化、虹橋機場和武鋼股份五支股票進行投資組合，收集這五支股票從2000年到2003年除去漲停板后的199個周收益率數據，不考慮股票的分紅與拆股。用目前銀行活期周利率0.01385%作為無風險收益率。

采用主成分分析的方法確定因素。從上海證券市場隨機地選取100支股票，并把這100支股票隨機地分成10組，每組10支股票。賦予每支股票相同的權重，以每組10支股票每期的算術平均值作為該組該期的收益率 (叫組內收益率)，對這樣得到的10組組內收益率數據進行主成分分析。計算組內收益率相關系數矩陣的特征值和特征向量。

前三個主成分的累計方差貢獻率達到了91.91%，基本上反映了原始數據提供的信息，因此取前三個主成分作為多因素模型中的因素。

以確定的各個因素為解釋變量，以風險資產上海汽車、同仁堂、齊魯石化、虹橋機場和武鋼股份的收益率為被解釋變量分別進行回歸，得線性回歸方程(1)中數據：

當不允許賣空時，虹橋機場的夏普業績指數(R/V)i小于Gi，因而投資組合中應當剔除這種風險資產，而保留其他四種風險資產。通過公式(12)計算出各風險資產的最佳投資比例：

當允許賣空時，對于夏普業績指數(R/V)i小于Gi的風險資產虹橋機場，股票的最佳投資比例是負數，因而應該賣空這種股票，用其所得連同其擁有資產買進上海汽車、同仁堂、齊魯石化、武鋼股份四種股票，其最佳投資比例為：

[1]吳緒權．投資組合 VaR 分解的一種新方法[J]．統計與決策，2006，（9）．

[2]郭曉輝．基于VaR的無賣空投資組合分析及實證研究[J]．北京工商大學學報，2007，(2)．

[3]史樹中,楊杰．不允許賣空證券組合選擇的有效子集[J]．應用數學學報，2003,26(2)．

[4]史樹中,楊杰．證券組合選擇的有效子集[J]．應用數學學報，2002,25(1)．

[5]哈摩．勒威，馬歇爾．薩納特．證券投資組合與選擇[M]．廣州：中山大學出版社，1993．

[6]馬永開,唐小我．不允許賣空的多因素證券組合投資決策模型[J]．系統工程理論與實踐，2000,(2)．

[7]李博．多因素資產定價模型的實證研究[J]．商業研究，2003，（21）．