Malmquist生產率指數方法中兩種測度標準之間的比較研究

王 錚

（鄭州大學 升達經貿管理學院，鄭州 451191）

0 引言

最近，越來越多的國內學者使用全要素生產率來研究我國的總體或區域經濟增長問題。全要素生產率方法也引起了許多學者的重視。從對它的度量方法上看，從最初的Laspeyres指數發展到Tornqvist指數方法，然后直到上世紀90年代提出了所謂Malmquist生產率指數方法。Malmquist生產率指數方法是在Malmquist數量指數的基礎上構造而成，建立在距離函數之上，用于測度全要素生產率變化的一種新方法。1994年，Fare提出了基于DEA方法的非參數Malmquist生產率指數算法并得以廣泛的應用[1～5]。

我國學者也對這一領域進行了跟蹤研究，做了大量的實證研究[6，7]。雖然現有的文獻已經取得了較好的成果，但我們發現這些成果主要集中在應用方面，很少有經濟學者關注該方法的理論基礎問題，特別是關注其測度全要素生產率時的測度標準問題。實際上，由于全要素生產率是由產出投入比來定義的，因此Malmquist生產率指數方法在測度它時的理論框架按測度標準的不同分為兩大體系。一個是基于產出的非參數生產前沿面體系；另一個是基于投入的非參數生產前沿面體系。很明顯兩大體系的測度標準是不同的，前者以產出的最大化為標準，而后者以投入的最小化為標準。通常學者們在采用Malmquist生產率指數方法進行應用研究時，并不考慮這兩種體系之間的區別，或者并沒有在文獻中給出選擇某一體系的原因。從而使得研究不夠深入。那么，從理論上來說，這兩種方法體系是否具有等價性？這就是一個值得我們研究的重要理論問題。進一步，對該理論問題的回答有助于解決實際應用中應選擇哪一種體系的學術問題。本文擬首先以基于產出的非參數生產前沿面的Malmquist生產率指數方法為例，簡單介紹Malmquist生產率指數方法的測度與分解方法體系，然后從距離函數這一關鍵環節入手，深入分析兩套體系的本質，在此基礎上給出相關的結論和建議。

1 理論框架

基于產出的非參數生產前沿面的Malmquist生產率指數方法，通常假定投入不變，從產出最大化的思想出發，將基于生產前沿面的非參數方法與生產率指數理論結合起來，建立全要素生產率的非參數測度模型，具體內容如下：

用N維向量x=(x1，…，xN)表示N種投入，M維向量u=(u1，…，uM)表示M種產出，則所有可能的投入和產出組成的生產技術集可表示為 GR(x，u)={(x，u):x∈，u∈}。 對于所有投入向量，用 P(x)表示可行產出集，P(x)={u:(x,u)∈GR(x，u)}。在每一個特定時期t=1，2，…，T，生產技術集由所有可能的投入產出向量組成的，即(xt，ut)={(xt，ut):xt可以生產 ut}。對于時間 t， 有 xt∈和 ut∈，其中定義投入集N=maxt{Nt}，產出集M=maxt{Mt}。在每一個時期所觀測的決策單元為k=1，2，…，K，假定 K=maxt{Kt}。 上述假定可以保證如果 Mt≠Mt+1、Nt≠Nt+1， 通過加入 0 元素使 Mt=Mt+1、Nt=Nt+1。 為導出Malmquist生產率指數，首先考慮單投入單產出的基本情形。同時假定已有t和t+1兩個時期的投入產出數據，則全要素生產率δTFP可以定義為：

在規模收益不變的條件下，每個時期的產出與投入距離函數可寫成：

上述公式是利用t期的技術描述的。同理，如果采用t+1期技術來表達TFP，則有：

為了與其他生產率指數（費舍爾指數Fisher index number，湯奎斯特指數Tornquist index number）相對應并保持形式上的一致性，一般取上述兩種指數的幾何平均值，在規模收益不變的條件下，基于產出的Malmquist生產率指數的定義式為：

根據距離函數的特性，上述公式同樣適用于多投入多產出情形[2]。

由于謝潑德定義的距離函數是所對應的法雷爾技術效率函數的倒數，所以可以將生產率指數的距離函數描述轉化為效率函數描述。據此轉化的效率函數描述的定義式為：

對于每一決策單元k，兩時期交叉的技術效率由于不必保證 xt+1∈Lt(ut+1|C，S)和 xt∈Lt+1(ut|C，S)，其線性規劃解可以大于1。其中，式（1）在規模收益不變和要素可自由處置的條件下，可以分解為如下形式，即：

括號外面是兩個時期資源配置效率的比值，與技術水平的變化無關，只表示兩個時期生產資源配置效率水平的變化率。括號中兩個比率的平方根可以看作是在t+1和t時期之間用兩個比率的幾何平均數表示的技術水平變化率。根據上述分解可以給出下面兩個定義。

定義1 在規模收益恒定且要素自由處置（C，S）的條件下，基于產出的資源配置效率變化率為：

定義2 在規模收益恒定且要素自由處置（C，S）的條件下，基于產出（即產出可擴張）的技術水平變化率（或技術進步率）為

由于上述公式中使用的技術效率函數都有對應的非參數可測算模型，因此可以采用基于生產前沿面的非參數方法進行測度。至此建立了基于產出非參數前沿面的Malmquist生產率指數方法體系。

2 比較分析

基于投入的Malmquist生產率指數模型，有：

其中，四個技術效率函數的非參數模型為：

進而可以分解成基于投入的資源配置效率變化率ηt+1

i(ut+1，xt+1，ut，xt|C，S)和技術水平變化率 λti+1(ut+1，xt+1，ut，xt|C，S)的乘積，即：

在規模收益恒定且要素自由處置（C，S）條件下，定義基于投入的資源配置效率變化率和技術水平變化率（或技術進步率）為：

可以看出，基于產出非參數前沿面的體系和基于投入非參數前沿面的體系之間的差異體現在，針對同一問題采取兩種不同的測度標準：一種是在給定投入的前提下，使產出最大化；另一種是給定產出的前提下，使投入最小化。兩者之間聯系的關鍵就在于由謝潑德（R.W.Shephard,1953～1970）提出的，基于生產前沿面思想的，以生產技術集合論描述為基礎的產出與投入距離函數。這兩個函數之間的關系是基于產出非參數前沿面的Malmquist生產率指數和基于投入非參數前沿面的Malmquist生產率指數之間異同的本質原因。因此，下面考慮產出距離函數與投入距離函數之間的關系。

首先考慮在投入確定條件下，描述產出可擴張性的產出距離函數。采用前面定義的生產技術集GR(x，u)={(x，u):x∈，u∈}和可行產出集 P(x)={u:(x，u)∈GR(x，u)}，由其經濟含義，可將生產技術集與可行產出集之間的關系表示為：

GR(x，u)={(x，u):x∈，u∈P(x)}

產出距離函數在多產出情形下最小值可能無法得到，比較嚴格的定義需要使用“下確界（infimum）”來代替最小值，即產出距離函數應該表示為：

可以看出，產出距離函數表示的是產出向生產前沿面的最大限度擴張或逼近。類似于以產出集作為函數的產出距離函數，投入距離函數以投入集作為函數，描述在產出確定條件下投入的可壓縮性。如果投入集為L(u)={x:(x,u)∈GR(x,u)}，投入距離函數可以表示為Di(u,x)={λ＞0:(x/λ)∈L(u)，u∈}。投入距離函數是在多投入條件下投入最大可能壓縮的上確界。由于當且僅當x∈L(u)時u∈P(x)，我們也可以用產出集來表示投入距離函數，即：

由于 Do(x，u)≤1?Di(u，x)≥1，且在技術表現為規模收益不變和要素自由處置（C，S）的條件下，投入確定條件下的產出可擴展性與產出確定條件下的投入可壓縮性是等價的，此時對于所有 x∈u∈的投入產出集(x，u)，時期 t的產出距離函數和投入距離函數有如下關系：

因此，基于產出非參數前沿面的體系和基于投入非參數前沿面的體系之間有如下的關系：

即規模收益不變和要素可自由處置的條件下，基于產出非參數前沿面的Malmquist生產率指數和基于投入非參數前沿面的Malmquist生產率指數之間具有等價性。兩者計算得到的結果是一致的。

3 結論與建議

既然研究結果表明，在規模收益不變和要素可自由處置的條件下，基于產出非參數前沿面的Malmquist生產率指數和基于投入非參數前沿面的Malmquist生產率指數方法是等價的。那么，從理論上來說，實證分析中使用哪一種方法體系都可以。但需要注意的是，在某些具體問題的研究中，由于數據本身的原因，使得某一種體系的計算結果出現不收斂的情況，從而導致無法對相關問題進行實證分析。在這種情形下，我們建議可以采用等價的另一種方法體系來對問題進行研究，從而得到有效的實證結果。

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