肖小英

（江西理工大學 南昌校區，南昌 330013）

1 理想點評定法及權值的確定

理想點評定法（TOPSIS法），又稱“逼近于理想解的排序方法”[1]，是多目標有限方案決策分析的一種常用決策方法，具有計算簡便、結果合理、應用廣泛等特點。它借助于多目標決策問題的“正理想點”和“負理想點”，正理想點是一假設的最好方案，它的各屬性值都達到各候選方案中最好的值，負理想點是另一假設的最壞方案，它的各屬性值都達到各候選方案中最差的值。通過計算某一方案與最好方案和最壞方案間的加權歐式距離，得出該方案與最好方案的接近程度，以此作為評價該方案優劣的依據[1]，從而實現對方案進行排序的一種決策方法。

理想點評定法中各屬性指標權重的確定通常有二類方法，一是主觀法，主觀法是由決策分析者根據以往經驗和屬性的重要程度而賦權的方法，主要有：專家調查法[1]、最小二乘法[1]環比評分法[2]、層次分析法[3]等；客觀法是指單純利用屬性的客觀信息而確定權重的方法，主要有信息熵法[4]、線性規劃法[5]等。主觀法所確定的屬性權重體現了決策者的意向，但決策或評價結果具有較大的主觀隨意性，由此會帶來決策方案選擇上的偏差和失誤。客觀法所確定的屬性權重具有較強的數學理論依據，例如，為了減少權值確定當中的主觀性和隨意性，東南大學的徐澤水先生提出了基于優化模型的理想點評定法[6-7]。其主要思路如下：

（1）首先在規范化決策矩陣中，設定正理想點為Z+[1，1，…，1]，負理想點為 Z-=[0，0，…，0]，待確定的屬性指標權重為W=（w1,w2,…，wm）。

（2）由于決策方案ai越接近正理想點越優，可令方案ai與正理想點之間的加權偏差為

（其中 Y=|yij|nm，i=1，2，…，m 為規范化數據矩陣）。

（3）對于確定的權重向量 W=(w1,w2,…，wm)，ei+(w)越小方案ai越優，于是可建立多目標決策模型：

由于每個方案都是公平競爭，不存在任何偏好關系，則可將上述模型等權集結為如下的單目標模型：

解此單目標規劃模型，就可以得到權重向量W=(w1,w2,…，wm)。

在上述方法中，雖然權重的確定剔除了任何人為因素的影響，但是也帶來了其他的問題：一是上述單目標規劃最優解的存在性問題？二是假如其存在最優解，得到了最優權重向量W=(w1,w2,…，wm)，但這卻是為使得每一方案與正理想點的加權偏差最小的屬性指標權重，而不是屬性指標按重要性比較的真正權重，這樣的權重會隨著樣本數據的變化而變化。

例如，評價某一地區企業的創新能力問題。假如設定的屬性指標為：R&D經費投入占銷售收入的比重（X1）、科技人員占從業人員比重（X2）、技術裝備水平（X3）、新產品銷售收入占產品銷售收入的比重（X4）、新產品銷售利潤占利潤總額的比重（X5）、擁有發明專利數（X6）、技術性收入占銷售收入的比重（X7）。對于評價5個企業和7個企業的樣本決策矩陣數據（如表1和表2所示）。

將這兩個決策矩陣進行向量規范化后，代入模型（1），所得到的最優權重向量分別為：

因此，對于評價企業的創新能力這個主題，在這兩個問題中的屬性指標完全一樣，并且前5個企業的數據完全一致，但是屬性指標在這兩個問題中卻表現出了不同的重要性權重，這是不合情理的。

2 基于主成分的屬性指標權重確定

為了減少屬性指標權重確定中的主觀性隨意性，以及指標權重隨樣本數據變化而變化的缺點，真正體現權重表示指標的重要性之比，本文認為以下的基于主成分分析的權重確定方法具有更好的適用性。

主成分分析[9]是設法將原來眾多具有一定相關性的m個指標Xj，重新組合成一組新的相互無關的p(p≤m)個綜合指標Fk（稱為主成分）來代替原來的指標，并且用每一主成分的方差Var(Fk)來表示該主成分綜合原來指標信息的多少。如果方差Var(Fk)越大，說明第k主成分Fk包含原來指標的信息越多。這也就說明在所有的主成分中，Fk的作用越大。因此，我們可以用某一主成分的方差Var(Fk)在所有主成分方差中所占的比例來表示該主成分的權重。本文將基于主成分的屬性指標權重確定方法敘述如下：

（1）將樣本決策矩陣進行標準化處理

設樣本決策矩陣為：X=|xij|n×m，

為了消除不同指標間的量綱影響和正、逆指標的影響，將樣本數據按下式標準化，得標準化后的矩陣為Y=(yij)，yij=

（2）計算相關系數矩陣的特征值與特征向量

用標準化后的矩陣的m個向量作線性組合

則F1，F2，…，Fm就為m個主成分。我們希望在這些主成分中，越在前面的包含原有指標的信息越多，而包含信息的多少一般用方差來表示，所以主成分F1，F2，…，Fm需要滿足以下條件：

①Fi與 Fj（i≠j,i,j=1,2,…，m）不相關；

②F1是X1，X2，…，Xm的一切線性組合中方差中最大的，F2是與F1不相關的X1，X2，…，Xm的一切線性組合中方差中最大的，……，Fm是與 F1，F2，…，Fm-1都不相關的 X1，X2，…，Xm的一切線性組合中方差中最大的。

可以證明，滿足上述條件的主成分F1，F2，…，Fm線性組合中的系數向量(a1i,a2i,…，ami)，i=1,2，…，m 恰好是 Y 的協方差矩陣Σ的特征值對應的特征向量。當協方差矩陣Σ未知時，可用其估計值S（樣本協方差矩陣）來代替。

S=(sij) 其中

而相關系數矩陣：R=(rij) 其中

由于 Y1，Y2，…，Ym已標準化，所以有

計算時為簡單起見，不妨取R=YTY，因為這時的R與YTY只相差一個系數，顯然YTY與的特征根相差n倍，但它們的特征向量不變，并不影響求主成分。

由特征方程|λE-R|=0可求得相關系數矩陣R的m個特征值為 λ1,λ2,…，λm，將其按大小順序排列 λ1≥λ2≥…≥λm≥0，然后再由(λiE-R)X=0求出對應于每一特征值λi的特征向量(a1i,a2i,…，ami)，i=1,2,…，m。

設相關系數矩陣 R 的 m 個特征值為 λ1，λ2，…，λm，稱第一主成分的貢獻率為λ1它是第一主成分的方差在全部方差中的比值，這個比值越大，表明第一主成分綜合原指標X1，X2，…，Xm信息的能力越強。前兩個主成分的累計貢獻率為，前k個主成分的累計貢獻率為如果前p個主成分的累計貢獻率達到85%以上，表明取前p(p≤m)個主成分基本包含了全部測評指標所具有的信息，這樣既減少了變量的個數，又便于對實際問題進行分析和研究。

（3）提取p個主成分的權重系數

將累計貢獻率達到85%以上的p個主成分F1，F2，…，Fp作為理想點評定法中的屬性指標，并將矩陣 Z=F1，F2，…，Fp」n×p作為理想點評定法中的規范化矩陣，F1，F2，…，Fp的權重為即為各主成分的方差貢獻率。

3 實例驗證

仍以表1和表2中的數據為例，用基于主成分的權重確定方法計算結果如下：

（1）對于表1中5個企業的數據，獲得4個主成分及權重如下表3。

（2）對于表2中7個企業的數據，獲得6個主成分及權重如下表4。

表1 5個企業的創新能力指標樣本值

表2 7個企業的創新能力指標樣本值

表3 5個企業的主成分及權重

表4 7個企業的主成分及權重

表5 5個企業的綜合排序情況

表6 7個企業的綜合排序情況

4 結論

本文將決策問題中的m個屬性指標X1，X2，…，Xm通過選擇適當的線性組合，將其綜合成互不相關的p個新的主成分指標來反映原指標的信息，并通過計算主成分的方差貢獻率，得到了主成分指標的權重，從而獲得了理想點評定法中的屬性指標的權重。這種方法完全基于樣本數據信息，在指標權重選擇上克服了主觀因素的影響，避免了人為因素帶來的偏差，有助于保證客觀地反映樣本間的現實關系。并且對于綜合樣本信息多的指標賦予了較大的權重，對于綜合樣本信息少的指標賦予了較小的權重，這也符合了指標權重表示指標重要性的基本含義。

雖然從表3和表4看到的是，5個企業和7企業獲得的主成分個數不一樣，得到的權重也不一樣。這是因為不同主成分所包含的原樣本信息不一樣，包含信息多的，權重取值相對大一些，包含信息少的，權重取值相對小一些。而利用這些主成分和權重計算的企業排序卻具有相對的穩定性，如下表5和表6所示。

[1]岳超源.決策理論與方法[M].北京：科學出版社，2004.

[2]陸明生.多目標決策中的權系數[J].系統工程理論與實踐，1986，6(4).

[3]T.L.Saaty.The Analytic Hierarchy Process[M].New York:Mc Graw-Hill,1980.

[4]郭顯光，多指標綜合評價中權數的確定，數量經濟技術經濟研究，1989,6(11).

[5]Pekelman D,San S K.Mathematical Programming Models for the Determination of Attributes Weights[J].Management Science,1974，20.

[6]徐澤水.不確定多屬性決策方法及應用，北京：清華大學出版社，2004.

[7]錢鋼,徐澤水.三種基于理想點的不確定多屬性決策最優化模型[J].系統工程與電子技術，2003，25（5）.