ESTAR模型單位根檢驗的性質研究

袁 銘

（天津財經大學 理工學院，天津 300222）

0 引言

平滑轉移自回歸模型(STAR)是 Granger和 Ter?svirta于1993年提出的。作為機制轉換類模型的一種，該模型的機制轉換是平滑的，并且可以通過選取不同的轉移變量和轉移函數形式較為準確地捕捉經濟過程中對稱與非對稱機制轉換以及確定性趨勢等現象，具有較高的靈活性。在此基礎上，針對實證研究中經濟時序普遍存在的非平穩現象，人們開始關注機制轉換模型的單位根檢驗問題，相關的研究成果包括：Kapentanios和Shin[1]針對TAR模型提出了Wald類型的單位根檢驗，并通過Monte Carlo方法驗證了它比DF統計量具有更高的檢驗功效，此后二人相繼提出了針對多機制TAR模型以及指數平滑轉移自回歸模型（ESTAR）的單位根檢驗方法，推導出非線性ADF檢驗統計量的極限分布，并將其應用于實際利率實證研究；Pascalau[2]提出了基于F統計量的LSTAR單位根檢驗方法，使其能夠解決機制轉換的非對稱問題；Rothe和Sibbertsen[3]則引入了非參數方法，提出了基于PP-Z統計量的ESTAR單位根檢驗。

本文將在上述研究的基礎上，以ESTAR模型為代表，進一步研究非線性單位根檢驗的小樣本特征，以及當誤差項非獨立同分布時兩類檢驗的可靠性，以期為拓展STAR類模型在非平穩時序建模中的應用提供一定的理論支持。

1 STAR族模型的單位根檢驗

ESTAR模型的基本形式為：

單位根檢驗的原假設與備擇假設為：H0:β=1；θ=0；H1:θ＞0

在原假設成立的條件下。（1）式將退化為非平穩AR(1)過程yt=yt-1+εt；在備擇假設成立下，ESTAR模型將轉化為 yt=(β+β*)[1-exp(-θy2t-d)]yt-1+εt。若 yt-d=0 或者 yt-d→∞，則（1）式也會退化為近似AR(1)過程。同時，如果真實數據過程是平穩的，但呈現明顯的非線性特征，則標準的線性ADF檢驗失效。

針對ESTAR模型的單位根檢驗問題，George Kapetenios和Phillips Sibbertsen分別提出了基于ADF-t統計量以及PP-z統計量的方法。這兩種方法的核心思想都是在（1）式中令 β=1，d=1，并將按照一階泰勒級數展開，從而構造檢驗輔助回歸為Δyt=δy2t-d+εt。其中，非線性ADF-t統計量（NLADF-t）為：

非線性PP-Z統計量（NLPP-Z）為：

則可以使用如下輔助回歸：

Kapentanios和 Shin[1]中指出，根據(7)式得到的 ADF(p)統計量與標準ADF檢驗擁有相同的漸進分布，并且在備擇假設成立的條件下ADF(p)統計量是一致統計量。對于原始數據過程含有漂移項或者含有線性趨勢的情況，可以參考Fuller的方法進行相應處理。（1）若原始數據包含漂移項 （記為Case 2），則可以針對原過程{xt}構造 yt=xt-μ，其中 μ 為{xt}的均值；（2）若原始過程同時含有線性趨勢（記為Case 3），則可以構造其中對于是回歸 xt=yt+μ+φt的 OLS估計量。表1給出了運用蒙特卡羅方法模擬100000次，在T=1000時三種情況下的臨界值。

2 NLADF-t統計量與NLPP-Z統計量檢驗功效的比較

在STAR族模型實際應用中，特別在宏觀經濟過程建模中，樣本容量較小（一般小于200），必然會對統計量的檢驗功效帶來影響。因此，本節將通過模擬實驗比較NLADF-t和NLPP-Z統計量的功效，進而比較二者在小樣本下的可靠性。實驗使用的數據生成過程為：

其中，β={0.2,0.5,0.8,0.9}，θ={0.05,0.1,1}，考察的樣本容量分別為25、50、100。實驗使用的名義水平均為5%，使用統計量的實際分位數作為臨界值，模擬次數為10000。在檢驗設定方面，使用SIC信息準則來確定計算ADF統計量的滯后階數，使用Newey和West[4]中的方法確定PP檢驗中的帶寬以估計長期方差，最終得到的實驗結果如表2所示，我們可以得出如下三個結論：

(1)總的來說，當θ較小時（此種情形在實證研究中較為常見），NLADF-t和NLPP-Z都比線性檢驗統計量優越，并且PP檢驗的功效要略高于ADF檢驗，顯示出非參數方法在處理非線性時間序列問題時具有一定優越性。在小樣本情況下，三種檢驗統計量的功效都很低，例如在T=25，β=0.9時，所有統計量的檢驗功效均小于0.15。雖然，Philips和Perron以及Schwett指出在線性單位根檢驗中也存在此現象，但非線性時尤甚。此外，表2中數據還顯示非線性時間序列的單位根檢驗對樣本容量的變化較為敏感。

表1 不同情形下，ESTAR模型單位根檢驗臨界值表

表2 小樣本容量下NLADF、ADF、NLPP-Z統計量檢驗功效的比較

(2)θ對檢驗功效的影響。在各種樣本容量下，三種統計量的檢驗功效都隨著θ值的增加而提高。但當θ值較大時，ESTAR模型將退化為AR(p)模型，因此NLADF-t或者NLPPZ的功效反而不如線性ADF統計量。

(3)樣本容量對檢驗功效的影響。線性ADF-t統計量對樣本容量的變化反應最為敏感，顯示出兩種非線性統計量在穩健性方面具有一定優勢。同時，θ值對檢驗功效的影響也隨著樣本容量發生變化，圖1給出了這一現象的直觀說明；當θ值和樣本容量都較大時，線性ADF-t統計量具有最高的檢驗功效，說明非線性過程逐漸呈現近似線性的特征。

3 誤差項存在序列相關時非線性單位根檢驗的可靠性

下面研究在小樣本情形下，當誤差項為MA(1)過程時，NLADF-t統計量和NLPP-Z統計量的實際檢驗水平和檢驗功效，實驗使用的數據生成過程與公式（8）相同，誤差項的數據生成過程如公式（9）。

其中，ψ的參數集為{-0.8,-0.5,-0.2,0,0.2,0.5,0.8}，研究檢驗功效時，令 β=0.9，θ={0.01，0.05，0.1}，樣本容量設定為100。NLADF檢驗滯后階數的確定和NLPP檢驗帶寬的確定與第2節相同。表3給出了三種統計量在不同θ值和ψ值下的檢驗功效，圖2給出了實際水平隨ψ值的變化規律。從表3和圖2可以得出如下兩個結論：

(1)檢驗水平方面，當|ψ|較大時，三種方法都表現出明顯的扭曲（具體表現為水平過甚），隨著|ψ|降低，水平扭曲程度也隨之降低，并逐漸接近名義檢驗水平。本文還發現這種扭曲是非對稱的，即ψ＜0時水平扭曲要甚于ψ＞0時的情況。在方法間比較方面，當|ψ|較小時，三者可靠性相近；當|ψ|較大時，NLPP統計量可靠性最差，ADF和NLADF統計量性質相近，前者在強序列相關時（|ψ|＞0.6）可靠性略優于后者。

(2)檢驗功效方面，三者表現出與檢驗水平間的權衡關系，即檢驗水平較高，檢驗功效也相應較高，θ對檢驗功效的影響與第2節得出的規律相似。需要注意的是，ψ對功效的影響隨著θ值變大而降低。

表3 NLADF、NLPP和ADF統計量的檢驗功效與ψ的關系

為了研究滯后階數對NLADF統計量功效的影響，本文再設計一組實驗。實驗的相關設定為：T=100，β=0.9，θ=0.05，滯后階數l={1,2,3…,7}，得到的實驗結果如圖3所示，我們可以得出如下規律：當ψ≤0時，隨著l的增加，NLADF的檢驗功效單調下降，并且|ψ|越大，檢驗功效衰減的速度就越快；當ψ＞0時，檢驗功效呈現交替升降的情況，并且呈現收斂于某一穩定水平的趨勢。

4 誤差項存在異方差時非線性單位根檢驗的可靠性

Van Dijk和Terasvirta[5]指出微觀金融市場時序建模將會成為STAR模型未來研究的熱點問題。這類序列中普遍存在異方差現象。因此本節以概括能力很強的GARCH(1,1)模型為代表，研究誤差項存在異方差時STAR模型單位根檢驗的可靠性。實驗使用的數據生成過程與公式（8）相同，誤差項的數據生成過程如公式（10）。

本文將樣本容量設定為100，研究檢驗功效時，固定β=0.9，θ=0.05。實驗主要考察GARCH過程單整程度就波動參數α以及非線性參數θ的影響，因此將參數集合設定為：α0+α1={0.97,0.9,0.85}，α0={0，0.1,0.2,…,0.8}，固定 γ=0.05。 在研究非線性參數θ的影響時，固定α0=0.3，θ={0.05,0.1,0.2,…，0.9}。由于篇幅所限，本文只研究NLADF統計量的可靠性，得到的結果如圖4和圖5所示，我們可以得到如下結論：

(1)在單整程度相同時，NLADF統計量的檢驗水平隨波動參數α0增加而增加，而功效卻表現出不同的特征，即隨著α0先上升而后向下彎曲，并且曲線頂點位置取決于GARCH過程的單整程度。

(2)GARCH過程的單整程度與統計量的功效正相關，這一特征在α0較小時表現得尤為明顯。當α0→1時，不同單整程度的功效曲線呈現收斂趨勢。在檢驗水平方面，當α0＜0.1時，不同單整程度下的水平基本無差異。當α0＞0.1，水平扭曲程度隨單整程度增加而增加。

(3)隨著非線性參數θ的增加，NLADF-t統計量的功效呈現先增加而后趨于平穩的特征，并且檢驗功效的變化程度與GARCH過程的單整程度密切相關，這一點在θ＜0.4時表現得尤為明顯。圖5還顯示θ對實際檢驗水平影響微弱，當α0+α1=0.97和α0+α1=0.85時，檢驗水平分別圍繞0.12和0.09波動。

5 結論與展望

本文研究了基于ESTAR模型的非線性單位根檢驗NLADF和NLPP統計量的小樣本特征，并以MA(1)和GARCH(1,1)為代表研究誤差項分別存在序列相關和異方差時，序列相關程度ψ和單整程度對單位根檢驗的水平和功效的影響。未來的研究工作將圍繞以下三方面展開：（1）為了拓展STAR模型在微觀金融市場建模領域的應用，進一步拓展誤差項存在異方差時檢驗可靠性研究的范疇，例如描述收益率序列非對稱性的EGARCH和長記憶性的FIGARCH；（2）參考本文的結構研究LSTAR模型單位根檢驗的性質，并與ESTAR模型時得出的主要結論對比，分析二者差異；（3）構造基于模擬的單位根檢驗框架，例如Block Bootstrap和Sieve Bootstrap，以期能夠修正漸近檢驗的水平扭曲。

[1]Kapentanios G,Y Shin.Testing for a Unit Root Against Nonlinear STAR Models[Z].Unpublished Manuscript,UniversityofEdinburgh，2000.

[2]Pascalau.Testing for a Unit Root in the Asymmetric Nonlinear Smooth Transition Framework[C].Working Paper，2007.

[3]Rothe，Sibbertsen.Phillips-Perron-type Unit Root Tests in the Nonlinear ESTAR Framework[J].ASTA Advances in Statistical Analysis,2006，（3）.

[4]Newey W,WestK.A Simple,Positive Semi-Definite,Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix[J].Econometrica,1987,55(3).

[5]Van Dijk，Terasvirta T.Smooth Transition Autoregressive Models—A Survey of Recent Developments[R].Econometric Institute Research Report EI2000-23/A，2000.