均勻分布和密度與正態(tài)密度的逼近速度及應(yīng)用

李瑞閣，萬(wàn)冰蓉，許洪范

(1.南陽(yáng)理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,河南 南陽(yáng) 473006；2.南昌工程學(xué)院 理學(xué)系,南昌 330099)

1 IID均勻分布和密度函數(shù)一般公式及期望方差公式

（1）設(shè) X1，X2，…，Xniid～U（0，1）當(dāng) x∈[k，k+1]時(shí)，

對(duì)于其他x上式等于0。

2 IID均勻分布和密度與正態(tài)密度擬合圖,兩者差的絕對(duì)值圖，絕對(duì)值最大值表及趨勢(shì)圖

（1）在數(shù)學(xué)上，數(shù)形結(jié)合的思想，不僅能從直覺(jué)上給我們以啟示,常常能借助變化的趨勢(shì)，發(fā)現(xiàn)事物的客觀規(guī)律性。

用正態(tài)分布去擬合fn(x)主要有兩種方法：

②用曲線擬合最小二乘法，用數(shù)學(xué)軟件編程實(shí)現(xiàn):如n=5,N(2.5,0.4489)。

這里用第二種方法。用Matlab分別畫出當(dāng)n=2，3，4，5時(shí)的和分布密度圖及相應(yīng)的正態(tài)分布圖 （見(jiàn)圖1，圖2，圖 3，圖 4）。

③用Matlab分別畫出當(dāng)n=2，3，4，5時(shí)的相應(yīng)和分布密度與正態(tài)密度的差的絕對(duì)值在 [0，3]，[0，5]，[0，6]，[0，8]內(nèi)，依次取 100，100，150，200 個(gè)等分點(diǎn)的差值圖（見(jiàn)圖 5，圖 6，圖 7，圖 8），并計(jì)算出對(duì)區(qū)間盡可能細(xì)分情況下，和密度函數(shù)與相應(yīng)正態(tài)分布函數(shù)的差的絕對(duì)值的最大值。

其中，當(dāng) x∈[k,k+1]時(shí)，

當(dāng) n=2,3,…，31 時(shí)，an在[0,n+2]上的最大值（見(jiàn)表 1），并畫出前24個(gè)值對(duì)應(yīng)的差的絕對(duì)值最大值趨勢(shì)圖（見(jiàn)圖9）。

3 正態(tài)分布擬合結(jié)論

(1)由圖1，圖2，圖3，圖4可觀察到:隨著服從均勻分布的多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量個(gè)數(shù)n不斷增大，這些變量和的密度函數(shù)與對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布的擬合程度愈來(lái)愈好。

(2)由圖5，圖6，圖7，圖8觀察發(fā)現(xiàn),和密度函數(shù)與正態(tài)分布密度函數(shù)差的絕對(duì)值最大值，分別在和密度函數(shù)不為零的區(qū)間[0，2]，[0，3]，[0，4]，[0，5]上達(dá)到，且從右端點(diǎn)開(kāi)始，在擴(kuò)大的區(qū)間[0，3]，[0，5]，[0，6]，[0，8]上，隨著自變量的增大，差的絕對(duì)值越來(lái)越小，這個(gè)趨勢(shì)可隨區(qū)間的繼續(xù)增大而無(wú)限趨近于0；同理，由正態(tài)分布的對(duì)稱性，在左端點(diǎn)以外，和密度函數(shù)為零區(qū)間上，可以預(yù)見(jiàn)，隨著自變量的減小，差的絕對(duì)值越來(lái)越小,無(wú)限趨近于0。

(3)由圖9，表1很清楚的看到隨著變量個(gè)數(shù)的增加，分段函數(shù)在放大區(qū)間上，和密度函數(shù)與正態(tài)密度函數(shù)的差絕對(duì)值的最大值，隨著n增大，逐漸減小，越來(lái)越趨近于零，分布密度與正態(tài)分布密度隨著n的增大，逼近速度越來(lái)越快。

表1 差絕對(duì)值的最大值數(shù)據(jù)

(4)利用Matlab考察和密度函數(shù)與正態(tài)分布密度函數(shù)差絕對(duì)值的最大值an隨n的變化趨勢(shì)。利用逐步回歸法，并根據(jù)常識(shí)確定an與及n-1的關(guān)系為

復(fù)相關(guān)系數(shù)R為0.997，且以此方程預(yù)測(cè)an的值與實(shí)際值差趨近于0，因此認(rèn)為該方程適合統(tǒng)計(jì)學(xué)理論Edgeworth展開(kāi)理論。不僅有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，且有實(shí)際意義。當(dāng)n→∞，an→0。

綜上，當(dāng)服從均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量個(gè)數(shù)很多時(shí)，均勻分布和分布無(wú)限逼近正態(tài)分布，它們和的分布可近似看成正態(tài)分布，這個(gè)結(jié)論符合中心極限定理。

4 和分布密度逼近正態(tài)分布密度函數(shù)的結(jié)論,用于正態(tài)隨機(jī)數(shù)生成

由于上述的特性以及下面理論上的原因，均勻分布U(0,1)在隨機(jī)模擬中起著特殊的作用。通過(guò)產(chǎn)生大量相互獨(dú)立的U(0,1)的隨機(jī)數(shù)，經(jīng)過(guò)一些相應(yīng)的變換可得到其他形式(正態(tài)分布、指數(shù)分布、Gamma分布等)的隨機(jī)數(shù)。

命題1:若隨機(jī)變量Y有嚴(yán)格單調(diào)上升連續(xù)的分布函數(shù)F(y)，X=F(Y)，則 X 為隨機(jī)變量。

證明:∵Y為隨機(jī)變量，

∴?一維β集，及σ代數(shù)F,使得 Y-1(-∞,w)∈F

∴對(duì)于一維 β 集(-∞,η)有

X-1((-∞,η))=(F(Y))-1(-∞,η)=Y-1(F-1(-∞,η))∈F (F-1(-∞,η)∈β)

∴X為隨機(jī)變量。

命題2 若隨機(jī)變量Y有嚴(yán)格單調(diào)上升連續(xù)的分布函數(shù) F(y)，X=F(Y)則 X～U（0，1）， 反 之 ,若 Z～U（0，1）,F為任一嚴(yán)格單調(diào)上升連續(xù)的分布函數(shù)，F(xiàn)-1為它的反函數(shù)，則 W=F-1（Z）的分布函數(shù)為 F（w）。

表2 均勻分布隨機(jī)數(shù)

證明:對(duì)任一 0≤x≤1有

P(X≤x)=P(F(Y)≤x)=P(Y≤F-1(x))=F(F-1(x))=x

∴X～U(0,1)

反之，若Z～(0，1)，F(xiàn)為任一嚴(yán)格單調(diào)上升連續(xù)的分布函數(shù)，F(xiàn)-1為它的反函數(shù)，則W=F-1(Z)的分布函數(shù)為F(w)。

P(W≤w)=P(F-1(Z)≤w)=P(Z≤F(w))=F(w)

∴W的分布函數(shù)為F(w)。

利用上述關(guān)系，可以產(chǎn)生各種常見(jiàn)分布F(x)的隨機(jī)數(shù)。所謂某個(gè)分布F(x)的隨機(jī)數(shù)，是指從分布F(x)的總體中隨機(jī)地抽取一個(gè)大樣本的數(shù)值，借助適當(dāng)運(yùn)算得到。

用機(jī)器來(lái)模擬抽樣比實(shí)際抽樣不僅成本低，而且可以有效地防止一些不必要的干擾，從而廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域中。

5 產(chǎn)生正態(tài)隨機(jī)數(shù)的方法

在(0，1)中產(chǎn)生n個(gè)均勻分布的隨機(jī)數(shù)X1,X2,…，Xn即設(shè)X1,X2,…，Xn獨(dú)立同分布，由于

由中心極限定理知

故Y為所求的N（0，1）的隨機(jī)數(shù)。

例：今用Matlab軟件,取得的均勻分布隨機(jī)數(shù)（見(jiàn)表2）。進(jìn)而計(jì)算正態(tài)隨機(jī)數(shù)為

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