應用坐標轉換法編程計算鐵路曲線弦線矢距

譙生有

(中鐵一局集團第五工程有限公司, 陜西寶雞 721006)

在鐵路軌道精調測量中,通常利用實測10 m或30 m弦線的矢距值與理論矢距值比較進行軌道軌向的調整。對于圓曲線而言,理論矢距值的計算公式比較簡單,但在緩和曲線段以及直線跨越緩和曲線、緩跨越圓曲線等特殊情況下的弦線理論矢距值計算比較復雜,如果應用坐標轉換進行計算,可以簡化計算程序,取得良好的應用效果。

1 計算原理

圖1 弦線矢距計算示意

2 計算公式的推導

2.1 在xoy坐標系內計算點坐標計算

一條鐵路曲線一般由第一直線段、第一緩和曲線段、圓曲線段、第二緩和曲線段、第二直線段共5段組合而成,因此曲線坐標計算相應分5種情況分別計算。

假設：計算線路的第一直線起點里程為KQ,ZH點里程為KZH,HY點里程為KHY,YH點里程為KYH,HZ點里程為KHZ,第二直線終點里程為KZ,圓曲線半徑為R,曲線偏角為α,緩和曲線長為l0,弦線長為D,計算點P的里程為KP。

弦線矢距的大小與曲線轉角的偏向無關,所有計算公式均按照右偏曲線進行計算,且計算范圍無斷鏈,如有斷鏈應對線路里程進行換算。

坐標計算時,以弦長代替弧長推算計算點里程,對于半徑為500 m的圓曲線,利用弦長代替弧長推算計算點坐標,最終計算30 m弦的矢距誤差小于0.1 mm,半徑越大誤差越小。因此,利用弦長代替弧長進行計算產生的矢距計算誤差可以忽略不計。

(1)第一直線段坐標計算

x=KP-KZH

(1)

y=0

(2)

計算時,KQ≤KP≤KZH。

(2)第一緩和曲線坐標計算

(3)

(4)

l=KP-KZH

(5)

其中l為計算點至ZH點的弧長。

計算時,KZH≤KP≤KHY。

(3)圓曲線坐標計算

x=R×sin((180×l-90l0)÷π÷R)+m

(6)

y=R×(1-cos((180×l-90l0)÷π÷R))+p

(7)

(8)

(9)

其中m為附加切距,p為曲線移動量；

計算時,KHY≤KP≤KYH。

(4)第二緩和曲線坐標計算

l=KHZ-KP

(10)

x=-x′cosα+y′sinα+(T+Tcosα)

(11)

y=-y′cosα-x′sinα+Tsinα

(12)

l=KHZ-KP

(13)

(14)

(15)

其中l為計算點至HZ點的弧長,x′、y′為計算點在以HZ點為原點,HZ至交點為x′軸的臨時坐標系坐標。

計算時,KYH≤KP≤KHZ。

(5)第二直線段坐標計算

x=T+(T+KP-KHZ)×cosα

(16)

y=(T+KP-KHZ)×sinα

(17)

T=m+(R+p)tan(α÷2)

(18)

其中T為切線長。

計算時,KHZ≤KP≤KZ。

2.2 矢距計算

h=(y2-y1)cosβ-(x2-x1)sinβ

(19)

其中tanβ=(y3-y1)÷(x3-x1),直接應用反正切函數計算時應根據方位角所在的象限進行判斷,一般利用計算器極坐標反算函數“Pol(x3-x1,y3-y1)”可直接計算出極角和極距,極角就是β。

3 卡西歐fx-5800P矢距計算程序

變量列表如表1所示。

表1 變量列表

程序清單：

程序名“QXSJJS”

6→ Dim Z：“K-Q”？B：“K-ZH”？G：“K-Z”？E：“PIANJIAO”？A：“BANJING”？R：“L0”？C

C÷2-C∧(3)÷(240R2)→M:C2÷(24R)-C∧(4)÷(2688R∧(3)→P

πRA÷180+C→L:(R+P)×tan(A÷2)+M→T

Lbl 1：“XIANCHANG”？D：“K-XQD”？Q∶1→N

Lbl3∶If N>3：Then Goto F ：Else Goto 4 ：IfEnd

Lbl4∶If KE：Then Goto 5 ：Else Goto 6 ：IfEnd

Lbl6∶If K

Lbl7∶K-G→Z[2N-1]： 0→Z[2N]：N+1→N ：Goto2

Lbl 8∶If K

Lbl 9∶K-G→S：S-S∧(5)÷(40R2C2)+S∧(9)÷(3456R∧(4)C∧(4))→Z[2N-1]:

S∧(3)÷(6RC)-S∧(7)÷(336R∧(3)C∧(3))→Z[2N]:N+1→N ：Goto2

Lbl A： If K

Lbl B： K-G→S：R×sin((180S-90C)÷π÷R)+M→Z[2N-1]:

R×(1-cos((180S-90C)÷π÷R))+P→Z[2N]: N+1→N ：Goto2

Lbl C： If K

Lbl D： G+L-K→S：S-S∧(5)÷(40R2C2)+S∧(9)÷(3456R∧(4)C∧(4))→X:

-(S∧(3)÷(6RC)-S∧(7)÷(336R∧(3)C∧(3)))→Y:

-Xcos(A)+Ysin(A)+(T+Tcos(A))→Z[2N-1]:

-Ycos(A)-Xsin(A)+Tsin(A)→Z[2N]: N+1→N ：Goto2

Lbl E：T+(T+K-(G+L))×cos(A)→Z[2N-1]:

(T+K-(G+L))×sin(A)→Z[2N]: N+1→N ：Goto2

Lbl F：Pol(Z[5]-Z[1],Z[6]-Z[2]):

“SHIJU=”：Fix 4：Abs((Z[4]-Z[2])cos(J)-(Z[3]-Z[1])sin(J))→H◢Norm 1:Goto 1

4 結束語

坐標轉換法計算曲線矢距具有原理簡單,便于編制計算器程序的特點,并且能解決弦線一端位于直線另一端位于緩和曲線、弦線位于緩和曲線或弦線一端位于緩和曲線另一端位于圓曲線等特殊情況下弦線矢距的計算問題。

[1] 李青岳，陳永奇.工程測量學[M].北京：測繪出版社,1995

[2] 譙生有. 積分法編制FX-4800P計算器線型通用計算程序[J].鐵道勘察,2005(3)：22-24