寬帶信號陣列測向中的子空間方法

摘要:按具體實現途徑的不同，將寬帶信號陣列測向中的子空間方法劃分為非相干信號子空間方法、基于角度預估的寬帶相干信號子空間方法、無需角度預估的寬帶相干信號子空間方法、投影子空間正交性綜合測試方法以及基于頻率不變波束形成的寬帶相干信號子空間方法等五大類，以各類方法的發展脈絡為主線，結合已經提出的各種典型算法，對寬帶信號陣列測向中的子空間方法進行了系統、全面的介紹，并對各種方法的優缺點進行了深入分析，提供了詳實的參考文獻，最后以此為基礎，對該研究領域的下一步研究工作進行了展望。

關鍵詞:陣列信號處理;測向;子空間方法;寬帶信號;綜述

中圖分類號:TP311 文獻標識碼:A 文章編號:1009-3044(2010)11-2774-03

伴隨著現代雷達和通信系統對大信息量、低功率和高隱蔽性等方面的要求不斷提高，大帶寬信號在雷達和通信領域得到了廣泛應用，對這類信號的檢測與參數估計問題也逐漸引起了廣大研究人員的關注。無源天線陣列測向技術是對空間目標實施定位的一種有效手段，但以往的陣列測向方法大多是針對窄帶信號提出的，其實現過程利用了不同天線接收信號間的時間延遲可以直接轉化為特定相位延遲的性質，借助與電掃天線類似的工作原理通過空域搜索實現對信號波達方向的估計。對窄帶信號的處理方法也經歷了從常規波束形成方法到子空間類方法的發展過程。窄帶信號波達方向估計體系中的子空間方法模型簡單、性能優越，自80年代中期提出以來迅速得到了廣泛研究和應用。

在對寬帶信號的陣列測向需求凸顯出來之后，成熟的窄帶子空間方法在寬帶信號模型中的可用性自然成為研究人員首先關注的問題。但對信號模型的分析結果表明，寬帶陣列接收信號的時間延遲模型無法像窄帶信號那樣表示為簡單的相位延遲形式，因為在陣元間接收信號時間延遲一定的情況下，寬帶信號帶寬內不同頻率分量的相位延遲是不一致的，且信號帶寬越大，相位不一致性越強，所以常規的窄帶陣列接收數據模型已經不適用于寬帶信號，進而窄帶信號的子空間方法也就不再適用于寬帶信號。由于寬帶信號環境與窄帶信號子空間方法的主要分歧存在于信號模型的不一致性，因此最直接的解決思路是將寬帶信號從頻域上進行劃分，得到一組近似窄帶的信號分量，然后借助窄帶方法實現寬帶信號的波達方向估計，這就是最初的非相干和相干信號子空間方法。在其后的發展歷程中也出現了一些變形的寬帶信號陣列測向方法，如子空間正交性測試方法、寬帶波束域方法等，這些方法在形式上有別于早先提出的非相干和相干類子空間方法，但其本質仍然是窄帶信號子空間方法在頻域上的拓展。所有這些方法構成了寬帶信號陣列測向理論體系中的子空間類方法。

寬帶信號陣列測向理論體系中的子空間類方法模型簡單，不需要信號源的聯合功率譜密度等先驗信息，且不會收斂到局部極值點，因此得到了較多的研究。由于具體的信號環境千差萬別，因此很難得到一種普適性的方法來解決所有的陣列測向問題，針對各種不同的應用需求，研究人員先后提出了很多種測向方法。按照具體實現途徑的不同，特征空間類寬帶信號測向算法大致可以分為五大類，包括寬帶非相干信號子空間方法、基于角度預估的寬帶相干信號子空間方法、無需角度預估的寬帶相干信號子空間方法、投影子空間正交性綜合測試方法以及基于頻率不變波束形成的寬帶相干信號子空間方法。

本文著重對以上五類方法的具體研究情況分別進行介紹，并對下一步的研究工作進行展望。

1 寬帶非相干信號子空間方法

寬帶非相干信號子空間方法是窄帶陣列測向方法向寬帶信號的一個直接推廣，它通過把寬帶信號在頻域上劃分為若干個較窄的頻帶，然后對各個窄頻帶信號使用已有的窄帶測向方法進行處理，最后通過特定法則將各個窄頻帶上的參數估計結果進行綜合得到最終的波達方向估計。

寬帶非相干信號子空間方法以Wax在1984年提出的ISSM(Incoherent Signal-Subspace Method)方法[1]為代表，ISSM方法是最簡單的寬帶信號處理方法，該方法將陣列輸出通過濾波器組得到一族窄帶信號，然后再利用成熟的窄帶信號陣列測向方法對各個頻點進行參數估計，最后將所有頻段的結果進行平均得到寬帶信號波達方向的估計值。

ISSM方法中所使用的頻域分離處理思想導致該方法的性能很不穩定，特別是對信噪比的適應能力較差，因為低信噪比條件下某些頻段上的DOA估計效果可能不理想，無選擇的多頻點融合處理過程會對最終的估計結果造成很大影響，而且ISSM方法不能處理相干源。

2 基于角度預估的寬帶相干信號子空間方法

為了克服ISSM方法信噪比適應能力差且無法分離相干源的缺點，Wang等在1985年提出了相干信號子空間方法CSSM(Coherent Signal-Subspace Method)[2]。該方法通過選取信號帶寬內某一特定頻點作為參考頻率，通過構造聚焦矩陣將信號帶寬內經離散化處理后的各頻點的能量會聚到參考頻率處，得到最終的協方差矩陣，對該協方差矩陣借助常規的窄帶陣列測向方法就能得到對寬帶信號到達角的估計。CSSM方法在求信號帶寬內各頻點聚焦后協方差矩陣的平均過程中，消除了相干信號帶來的缺秩問題，使得CSSM方法適用于相干信號，Wang等人還對CSSM算法性能進行了分析[3]。

CSSM方法的關鍵在于聚焦矩陣的選擇，[3]中的算法分析過程已經表明，最佳聚焦矩陣的構造需要關于波達方向的準確信息，如果只是簡單地用角度預估的結果構造聚焦矩陣，勢必會在聚焦過程中引入誤差，使最終的角度估計結果惡化，因此，基于文獻[3]的后續研究工作大部分集中在聚焦矩陣的構造和聚焦方法的選擇上。

1988年，Hung 的研究表明CSSM方法不是一致估計，隨著帶寬的增加，估計偏差增大，而且Hung從聚焦前后信噪比的變化入手，提出了聚焦增益的概念，得出結論:聚焦增益小于等于1，聚焦矩陣為酉聚焦矩陣時聚焦增益為1，此時聚焦前后無信噪比損失。在此基礎上，Hung提出了RSS方法(Rotational Signal-Subspace)[4]。

CSSM、RSS方法在構造聚焦矩陣時都是基于各個頻點陣列流形和參考頻率點陣列流形之間的關系進行推導的，Doron在1992年基于各頻率點信號子空間與參考頻率點信號子空間之間關系導出了信號子空間變換方法(SST:Signal-Subspace Transformation)，同時指出:如果聚焦矩陣T滿足THT與頻率無關，則聚焦前后無信噪比損失，證明了RSS方法為SST方法的一個特例[5]。

為了進一步減小聚焦的擬合誤差，Valaee在1995年提出了TCT(Two-sided Correlation Transformation)方法[6]，該方法在構造聚焦矩陣時，通過對信號帶寬內各頻點陣列流形的雙邊變換與參考頻點處的陣列流形的Frobenius范數最小來構造聚焦矩陣，與CSSM、RSS、SST方法相比，TCT方法的聚焦矩陣擬合誤差最小，避免了前幾種方法隨帶寬增加性能變差的缺陷。

基于SST方法中的結論，Valaee等在1999年基于最小二乘和總體最小二乘準則(TLS)構造聚焦矩陣，得到了LS-CSSM方法和TLS-CSSM方法[7]，LS-CSSM和TLS-CSSM得到了完全相同的解，TLS方法的實質是利用矩陣間的旋轉關系來構造聚焦矩陣，另外，Valaee等還提出了修正的TLS-CSSM算法(MTLS-CSSM)，該方法利用矩陣正交基之間的旋轉來構造聚焦矩陣。

李福昌等在2005年基于陣列流形矩陣的極分解提出了基于近似陣列流形變換的寬帶信號DOA估計方法[8]，該方法通過極分解的性質來構造聚焦矩陣，極分解可以通過奇異值分解來實現，但該方法需要聚焦角度個數等于陣元個數，這會極大地增加運算量。

從CSSM方法到RSS、SST、TCT等方法的發展過程可以看出，這類方法的著眼點在于通過構造優化的聚焦矩陣減小聚焦過程所帶來的信噪比損失，最終達到改善波達方向估計性能的目的。但它們都有一個共同的缺點，即聚焦過程都是基于對波達方向的預估值實現的，而這些預估值又不可避免地存在偏差，該預估誤差對DOA估計結果影響較大，且降低了運算效率，因此一些研究人員探討了不用角度預估值而直接實現頻域聚焦的方法，即無需角度預估的寬帶相干信號子空間方法。

3 無需角度預估的寬帶相干信號子空間方法

基于角度預估的寬帶信號子空間方法都直接利用了關于信號入射方向的信息，考慮到如果人為地把信號入射方向設定成某個有偏的角度，則整個聚焦過程就會進行誤差積累，導致性能惡化。如果將信號入射方向的信息從陣列響應函數中分離出來，或者在信號可能的到達方向上綜合考慮聚焦誤差，則應該可以改善角度估計的性能。近年來，這一類方法的研究也卓有成效，涌現出了一系列研究成果。

Shaw在1987年提出了基于雙線性變換(Bilinear Transformation)多項式分解的寬帶信號DOA估計方法。該方法通過巧妙地構造矩陣B，使得BA(fj)可以分解為兩個矩陣的乘積，其中一個矩陣與角度無關，通過該矩陣來構造聚焦矩陣，避免了對角度預估的需求，由于在推導中使用了近似:tg(πfjτjk)≈πfjτjk，因此，該方法僅僅適用于陣元間距遠小于寬帶信號最短波長的情況。

1991年Hong在某一角度范圍內對聚焦誤差按角度進行積分，以所得的總聚焦誤差最小為準則，求得聚焦矩陣，避免了對角度預估的需求[9]，由于積分難以求得解析解，Hong 對其進行改進，將積分按sinθ進行，盡管如此，在非對稱區間的積分仍然難以獲得解析解，只能通過數值方法進行近似，另外，這種方法需要預先知道大致的DOA方向，以便于確定積分區間。

Allam等在1992年根據寬帶信號空間頻率和時間頻率的線性關系，先對陣列采樣數據進行二維離散傅立葉變換，按照每一列中的空間頻率和每一行中的時間頻率之間的線性關系進行變換，將數據對齊到某一時間頻點上，然后將對齊后的數據的每一列進行逆離散傅立葉變換，再求其協方差矩陣，對該協方差矩陣進行特征值分解得到信號子空間和噪聲子空間，最后應用窄帶方法得到最終的到達角估計[10]。由于同時利用了陣列的時域和空域采樣作用，該方法在陣元數和快拍數較少時的效果不理想。

Bienvenu等人在1989年提出了基于相關內插方法(CI:coherent interpolation)的寬帶高分辨陣列處理方法，該方法通過對陣列采樣進行插值獲得各個虛擬陣列的輸出，各個虛擬陣列對應于信號帶寬內不同的頻點，通過調整各個虛擬陣列的陣元間距使得各個虛擬陣列具有相同的陣列流形，將各個虛擬陣列的協方差矩陣進行平均得到最終的協方差矩陣，對其進行特征值分解求得信號子空間和噪聲子空間，再利用窄帶陣列高分辨處理方法獲得到達角估計。CI方法的估計誤差隨相對于陣列法線的DOA角度增加而增大，因此隨后又有人提出了一種空域相移的方法來改進[11]。

在相關內插方法的基礎上，Krolik等人在1990年提出了基于空間重采樣的寬帶信號陣列高分辨處理方法[12]，該方法與CI方法的思路相同，只是以基于低通濾波器的空間重采樣方法來實現虛擬陣元輸出的構造。

2003年，Abhayapala根據Jacobi-Anger展開將陣列信號的方向向量展開成兩部分的乘積，一部分只依賴于信號的頻率和陣元的位置，另一部分只依賴于信號的到達方向，實現了信號波達方向信息從陣列響應函數的分離，因此不會受到角度預估誤差的影響。在構造聚焦矩陣時只采用與信號到達方向無關的部分構造聚焦矩陣，由于方向向量的Jacobi-Anger多項式展開是無窮多項的，在實際的應用中要用有限項來近似。

李福昌等人在2005年提出了基于無噪協方差矩陣變換的寬帶信號陣列處理算法[8]，該方法根據信號帶寬內各離散頻點的無噪協方差矩陣以及聚焦頻率處的無噪協方差矩陣來直接構造聚焦矩陣，而不是從陣列流形來構造聚焦矩陣，從而避免了對角度預估值的需求。這種方法用包含信號波達方向信息的信號子空間替代陣列響應函數，避免了對入射角度值的直接利用，因此不會因角度預估而引入額外的誤差。但這種方法在構造各個頻點的聚焦矩陣時均使用參考頻率處協方差矩陣的特征向量，在信噪比較低時，參考頻率處協方差矩陣的估計誤差會擴散到各個頻點的聚焦矩陣中，造成到達角估計結果較差。

無需角度預估的寬帶信號子空間方法是為了消除角度預估值所引入的誤差而發展起來的，力圖為寬帶聚焦過程尋求其他的解決途徑，取得了一定成效，但這類方法一般對陣列結構附加了一些特殊的約束，或者在一定程度上增加了算法的復雜性，因此需要通過進一步的研究來對相關算法進行改進。

4 投影子空間正交性綜合測試方法

Yoon等在2003年提出了投影子空間正交性測試方法(TOPS:Test of Orthogonality of Projected Subspaces)[13]，該方法通過所有信號共同帶寬內的某一頻點數據得到該頻點的信號子空間F0和噪聲子空間W0，再構造一個與頻率ωi和角度θ有關的矩陣φ(ωi， θ)，利用φ(ωi， θ)可以將F0變換到(或投影到)任意頻率和任意角度，最后通過判斷各頻點變換得到的信號子空間與噪聲子空間的投影構成的新矩陣的缺秩程度來得到DOA估計。由于參考頻點的信號子空間在低信噪比等情況下誤差較大，這種誤差將擴散到各個頻點的正交關系中，造成該方法容易出現偽峰，且算法計算量較大。

5 基于頻率不變波束形成的寬帶相干信號子空間方法

相對于陣列高分辨處理算法理論及仿真的發展，陣列高分辨算法在實際工程中難以得到廣泛應用，其原因主要有以下幾點[14]:

1)陣列高分辨子空間方法的運算量一般較大;

2)陣列高分辨算法對諸如陣元位置、通道幅相不一致、陣元互耦等系統誤差較為敏感;

3)現有實際系統如聲納、相控陣等系統，信號處理的前級采用預成多波束的形式，而不是直接接收陣元數據;

4)陣列高分辨算法要求輸入有較高的信噪比。

波束域高分辨方法能夠較好地解決以上問題，該方法利用基陣多個波束的輸出，對這些波束覆蓋的空間區域內的目標進行高分辨到達角估計。考慮到常規波束形成法對陣元誤差(包括系統誤差、隨機誤差等)有較大的包容性，G. Bienvenu等人首次提出在應用高分辨算法估計目標方位前，先用波束形成對陣元輸出數據進行預處理，以提高高分辨算法在存在陣元誤差時的穩健性。此后，許多研究人員在這一領域作了大量卓有成效的研究工作。最初的研究主要集中在MUSIC算法上，此后，隨著更多高分辨算法的出現，一些學者嘗試著把它們與波束域方法相結合，取得了較大成效。由于在感興趣的空間范圍內所需形成的波束個數一般遠小于實際陣元的個數，因此，對波束輸出應用高分辨算法就相當于用一個小的基陣進行到達角估計，所需的運算量大大減小。大多數研究者認為，由于利用了基陣的空間增益，波束域高分辨算法對基陣輸入端的信噪比要求得以降低。盡管波束空間與陣元空間相比有不少優點，如降低計算量、在特定條件下可以提高算法的魯棒性等。但這些優點是通過減小自由度來獲得的，使其估計精度及處理的信號源數等方面不如常規方法。

上述波束域方法是針對窄帶信號假設提出來的。對于寬帶信號，Lee在1994年提出了一種用頻率不變波束形成(FIB)技術實現寬帶目標到達角估計的方法[15]，該方法通過設計FIB使得各個FIB的輸出與頻率無關，對各個FIB的輸出協方差矩陣進行平均，再應用窄帶波束域方法來估計DOA，得到了較好的角度估計結果，且算法計算量大大降低。隨后FIB設計方法得到了大量研究，Buckley以及Xu等在1998年給出了實現框圖。但對波束域寬帶信號波達方向估計方法的研究還不完善，要想把這種計算量小、魯棒性強的陣列測向方法應用于工程實踐還有大量工作要做。

6 結束語

從以上對已有的寬帶信號陣列測向子空間方法的介紹中可以看出，現有方法所面臨的主要問題存在于對角度先驗信息的需求以及計算量大因而很難實時實現兩個方面。雖然介紹的方法中部分不需要進行角度預估，但其適用的陣列結構和信號環境受限，無法滿足實際工程實踐的需求，為了回避對信號波達方向先驗信息的需求，可以考慮空時二維處理方法，而由此帶來的大計算量問題需要通過波束域方法解決。

與其他的理論體系一樣，完善的寬帶信號陣列測向子空間方法理論體系也需要同時包括方法研究、性能分析和誤差校正等幾個方面。由于現有方法的實現過程都經過了頻帶分解、角度預估和聚焦等近似化的處理，所以其間所引入的誤差很難定量分析，但只有在這方面有所突破才能進一步研究寬帶陣列的誤差校正問題，因此寬帶信號的陣列處理體系還需要廣大研究人員從以上方面進行不懈的努力才能逐步走向完善。

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