構造法解題方法的探討

一、構造方程

根據題設條件，利用方程的根的定義、根的判別式、韋達定理等相關知識構造出方程或方程組，然后利用方程或方程組的有關知識，使問題得以解決.

例1:已知=1，(a、b、c∈R)，則有( )

A. b2 >4acB. b2≥4ac

C. b2 <4acD. b2≤4ac

解析 法一:依題設有a#8226;5-

b#8226;+c=0.

∴ 是實系數一元二次方程ax2-bx+c=0的一個實根.

∴△=(-b)2-4ac≥0，∴b2≥4ac，故選 B.

法二:去分母，移項，兩邊平方得:5(-b)2=25a2+10ac+c2≥2#8226;5a#8226;c+10ac=20ac.

∴b2≥4ac，故選 B.

評注 解法一通過簡單轉化，敏銳地抓住了數與式的特點，運用方程的思想使問題得到解決;解法二是將b2轉化為a、c的函數，再運用重要不等式解決，思路清晰，水到渠成.

二、構造函數

在解某些數學問題時，構造一個適當的函數，把問題轉化為研究這個輔助函數性質的方法叫做構造函數法.構造函數法是運用函數概念和性質構造輔助函數來解題.構造函數的過程要求我們敏銳地觀察，正確地判斷、合理地選擇恰當的函數，并且準確地運用函數性質.

例2:若不等式x2+ax+1≥0對于一切x∈(0，]成立，則a的最小值是( )

A. 0B. -2 C. -D. -3

解析 法一:分離變量，有a≥-(x+)，x∈(0，]恒成立.右端的最大值為-，故選C.

法二:看成關于a的不等式，由f(0)≥0，且f()≥0可求得a的范圍.

法三:設f(x)=x2+ax+1，結合二次函數圖像，分對稱軸在區間的內外三種情況進行討論.

法四:令f(x)=x2+1，g(x)=-ax，則結合圖形(像)知原問題等價于f()≥g()，即a≥-.

三、構造向量

兩個向量的數量積有一個性質:#8226;=#8226;cos(其中為向量a與b的夾角)，#8226;=#8226;#8226;cos，又-1≤cos≤1，則易得到以下推論:

(1)#8226;≤#8226;.

(2)#8226;≤#8226;.

(3)當a與b同向時，#8226;=

#8226;;當a與b反向時，#8226;=

-#8226;.

(4)當a與b共線時，#8226;=#8226;.

例3:證明x+≤9，并指出等號成立的條件.

解析 不等式左邊可看成與x和與兩兩乘積的和，從而聯想到數量積的坐標表示，將左邊看成向量=(，)與=(x，)的數量積，又#8226;≤#8226;，所以x+≤#8226;=9，當且僅當=(>0)時等號成立，故由+=>0得:x=，=1，即x=時，等號成立.

四、構造復數

在解決某些數學問題時，把問題轉化為復數的各種表達形式，然后利用復數有關的性質，從而使問題簡化的解題思想方法，稱為構造復數法.

例4:求證:+++≥2.

解析 從不等式左邊的結構特點可聯想到復數的模，將左邊看成復數z1=x+yi，z2=x+(1-y)i，z3=1-x+yi，z4=1-x+(1-y)i模的和，又因為z1+z2+z3+z4=2+2i，于是由z1+z2+z3+z4≥z1+z2+z3+z4，可得+++≥=2.

構造法解題重在“構造”. 在解題時，若能啟發學生從多角度，多渠道進行廣泛的聯想，就會得到許多構思巧妙，新穎獨特，簡捷有效的解題方法，而且還能加強學生對知識的理解，促使學生熟悉代數、幾何等基本知識技能，并多方面加以綜合利用.運用構造法解題能培養學生思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力，也可從中欣賞數學之美，感受解題樂趣.

責任編輯羅峰