讓學生不斷經歷知識重構的過程

在教學“找規律”時，很多教師往往把教學的著力點放在規律結論的記憶和應用上，卻忽視了規律本身發現、完善和內化的過程，這樣容易導致學生只會機械套用規律解決問題，而當情境發生變化時無法自我診斷問題癥結并靈活應對。在教學這一內容時，名師賁友林既引導學生探索、反思和總結，又通過設置新的問題情境讓學生否定自我，形成新的更高層次的認識，結果，在數學知識一次次的重構中學生們充分地理解和內化了簡單圖形覆蓋中的規律，體驗到了探索規律的過程，有效拓展了認知結構。

【片段一】初識規律，在重構中優化提煉

師(出示10張連號的天文臺參觀券):如果要拿兩張連號的券，你想拿哪兩張?

生1:我想拿第1張和第2張。

生2:我想拿最后一張和倒數第2張。

生3:我想拿正數第3張和第4張。

師:這些同學都用什么來編順序分清參觀券的呢?

生:用數來編順序。

師(將10張連號的天文臺參觀券編為1～10，去掉參觀券圖):剛才的拿法還可以怎么說?

生1:拿1和2。

生2:還有就是3和4、9和10。

師:除了這3種方法，還有其他的嗎?

生:有。

師:一共有多少種不同的拿法呢?試著圈一圈或者連一連。

(學生嘗試)

師:怎么想的?

生:可以拿1號和2號、2號和3號……9號和10號，一共有9種。

師(出示數字框):為了看得更清楚，我們還可以用移數字框的方法來表示。誰來試一試。

(學生一步一步地移動數字框)

師:有更簡便的嗎?

(一個學生上來演示:從1和2直接移至9和10)

師:你怎么知道有9種呢?

生:我們可以直接看最后一組框起來的數9和10，前面的數是9，所以就有9種。

師:我們把每組的第一個數叫做首數。這里誰不能做首數?還可以怎么想?

生:這里10不能做首數，所以一共有10-1=9(種)。

師:現在如果有50張連號的天文臺參觀券(沒有圖)，還是拿兩張連號的券，又有多少種不同的拿法呢?

生1:我們可以一個一個地畫出來。

生2:這樣太慢了。我們可以從1和2直接移到49和50，所以就有49種拿法。

【賞析】數學抽象的本質，是在更高層次上不斷對已有的活動或運演進行重構，從而使前者成為一個更大結構的一部分。賁老師通過一步一步地設置思維障礙，迫使學生感受到原有方法的局限性，從而不斷更新原有的經驗方法:首先，在圖中一個一個地圈出或者連出9種拿法;接著借助移動數字框，讓學生思考有沒有更簡便的方法，巧妙地從逐步平移過渡到一次平移，從而發現只要用看每組數的首數的方法就行;最后又從看圖尋找方法提升到頭腦想象、推理結果。學生在經驗和結論不斷被否定、不斷要重構的情況下，也一步一步地體驗著數學知識的建模過程。他們得到的這個結論是鮮活的、結構性的、可復制的，最終實現了數學知識的主體內化。

【片段二】再用規律，在重構中凸顯本質

師(出示):下面是小紅設計的一條花邊，每次給相鄰的兩個方格蓋上透明紙。如圖1。怎么理解?

生:給相鄰的兩個方格蓋透明紙，和拿兩張連號的參觀券是一樣的道理。

師:一共有多少種不同的拿法呢?想一想。

(學生用手指指著屏幕開始數)

師:我看到有些同學在指指點點，他們在干什么呢?

生:給花邊編號。

師(標出1～13):現在能看出來嗎?

生:有12種。

師:做完題目，回過頭來想一想。一開始同學們不能得出答案，后來怎么就輕易地得出答案了呢?

生1:一開始沒有標數，后來標數了。

生2:標出數后我們就可以抓住最后兩個數了。

師:標數，也就是給花邊編號后，我們就可以應用已經學過的規律解決問題了。

師:在“十一”7天長假期間，賁老師想帶女兒參加“泰山三日游”活動。哪3天去呢?賁老師有多少種選擇?

生:可以有5種選擇的方法。

師:怎么想的?

生:我可以在頭腦中想到1～7，6號和7號不能做首數，一共有5種方法。

師:直接在頭腦里編號。

師:“購物街”節目中有一個猜物品價格的游戲。現在這里有一些數字:1、6、3、3、4、9、2、0、5，價格由其中連續的4個數字組成。你會猜嗎?

生1:可能是1、6、3、3。

生2:也可能是4、9、2、0。

師:一共有幾種可能呢?

(學生嘗試)

師:第一種可能是1、6、3、3，那么最后是9、2、0、5，首數是9，所以有9種可能。行嗎?

生:不行。

師:為什么呢?

生:它與前面不同。

師:誰能聽懂他的意思?

生:這里的幾個數字不是連號的，是打亂了的數字，所以不能根據最后一組的首數來確定有多少種。

師:對。我們看前面用首數來確定種數的方法，這些數字都有什么要求呢?

生1:都是按順序的自然數。

生2:都要從1開始。

師:那這個問題可以怎么解決呢?

生1:我覺得應該是6種。題目里一共有9個數字，去掉不能做首數的3個，一共有9-3=6(種)。

生2:我們也可以給它重新編一個號。

師(顯示編號1～9):現在我們就可以根據最后一組的首數來確定，有6種方法。

【賞析】課始，賁老師為學生創設了相對封閉的探究環境和相對簡單的學習材料，以便于學生在初步探索規律的學習過程中不受過多因素的干擾，直接指向規律的發現。但當學生已經比較熟悉規律時，教師就要及時變換情境，凸顯問題的本質，引導學生思考和掌握。賁老師提供的新情境從給出編號發展到沒有編號，讓學生發現區別，然后添加編號解決問題;再發展到購物街游戲中數字與編號容易混淆的情境，讓學生感受到了編號的意義，自主地產生了編號的需求。學生在知識重構中學會了對生活情境進行適度的數學化處理，使已有的認知結構得到了進一步的完善和發展。

【片段三】拓展規律，在重構中遷移探索

師:我們繼續看這些數字:1、6、3、3、4、9、2、0、5，對它們這樣進行排列(如圖2)，還是連續4個數字組成一個價格。

師:還是6種可能嗎?

生:不是。

師:用我們前面的探索方法來試一試。

(學生嘗試，有的畫圖，有的列舉)

生1:我發現有9種可能。因為把它們圍成一圈后，2、0、5也可以做首數了，9個數字就是9種。

生2:我還想補充一下，我們順時針看有9種，逆時針看也有9種，所以應該是18種。

師:為什么會不一樣呢?

生1:前面我們研究的是不封閉的圖形，現在我們研究的是封閉的圖形。封閉圖形的每一個數都能做首數，而不封閉圖形的最后一個或者幾個是不能做首數的。

生2:規律總在變化，我們要看清具體的情況。

【賞析】數學知識的學習是一個不斷重構的過程。賁老師在課尾并未草草收場，而是繼續引導學生對已有觀念進行必要更新。新的問題不再是數據條件或者問題情境的簡單變化，而是把研究的對象從不封閉的直線狀情況拓展到封閉的圓形狀情況，再次與學生已有的知識結構發生沖突。在賁老師的引導下，學生已經能夠自覺地嘗試規律、尋找規律并驗證規律。學生在知識的一次次重構中不僅掌握了規律本身，而且學會了如何探索規律，促進了學習能力的逐步提升。(作者單位:江蘇翔宇教育集團寶應縣實驗小學)■

□責任編輯 鄧園生

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