例析高考數(shù)學(xué)情景題

摘 要：高考改革正在全國(guó)各地穩(wěn)步推進(jìn)，這從近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中也可以看到，每年都有一道涉及實(shí)際應(yīng)用或有實(shí)際生活背景的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。這些情景應(yīng)用題有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)健康發(fā)展，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具性﹑實(shí)用性，引發(fā)學(xué)習(xí)者更全面地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)。高考應(yīng)用題的背景大多來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，尤其是當(dāng)年的熱點(diǎn)事件，體現(xiàn)了學(xué)以致用的原則，為此本文將以實(shí)際情景為背景，從高考數(shù)學(xué)的概率、圓錐曲線、三角函數(shù)、函數(shù)基本性質(zhì)、數(shù)列方面等知識(shí)點(diǎn)舉例說(shuō)明。供大家參考。

關(guān)鍵詞：情景 應(yīng)用題 高考數(shù)學(xué)

一、概率方面

例12010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有（）。

A.36種B.12種C.18種 D.48種

解小張和小趙中至少有一個(gè)人被選派參與工作，當(dāng)僅有一人被選派參與工作時(shí)，不同的選派方案共有CAA=24種；當(dāng)兩人同時(shí)被選派參與工作，不同的選派方案共有AA=12種。所以選A。

二、圓錐曲線方面

例22010年上海世博會(huì)場(chǎng)位于南浦大橋和盧浦大橋之間，沿著上海城區(qū)黃浦江兩岸進(jìn)行布局。號(hào)稱“世界第一拱”的上海盧浦大橋近似為拋物線形狀，跨徑達(dá)550米，主橋長(zhǎng)750米，寬28.75米，設(shè)6車(chē)道，在大橋拱頂部最高點(diǎn)將建有一長(zhǎng)20米﹑寬13米﹑高2米的觀光平臺(tái)。游客可由橋頭堡處的電梯直達(dá)50米高的橋面，隨后步行一段人行道及延長(zhǎng)190米的300余級(jí)臺(tái)階拾級(jí)而上，至觀光平臺(tái)。試問(wèn)：游客在觀光平臺(tái)上飽覽浦江美景時(shí)，離江面高達(dá)多少米？

解以大橋所在的拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，水平直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。若設(shè)拋物線頂點(diǎn)到水面的距離為50+h，依題意得：拋物線上的點(diǎn)A(275，-(50+h))、B(200，-h)。設(shè)拋物線方程為y=ax2(a<0)，則

－(50+h)=2752a，－h(huán)=2002a。

解得：a=－1.4×10， h=56.1。

∵50+56.1+2=108.1(m)

答：游客在觀光臺(tái)上飽覽浦江美景時(shí)，離江面高達(dá)108.1米。

三、三角函數(shù)方面

例3情景：某城市將建成世界最大的極限運(yùn)動(dòng)主題公園，建成后的極限主題公園，不僅是全國(guó)第一個(gè)以極限為主題的公園，而且也是世界最大的極限運(yùn)動(dòng)主題公園——沖浪、滑板、小輪自行車(chē)、水上競(jìng)技運(yùn)動(dòng)……這里將成為中國(guó)極限運(yùn)動(dòng)發(fā)展的動(dòng)力源泉。

某新建海濱公園試營(yíng)業(yè)?，F(xiàn)記錄某日各t時(shí)(0≤t≤24，單位：小時(shí))的海浪高度y(m)的數(shù)據(jù)如下：

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)，y=f(t)的曲線可以近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b的圖像。

（1）依規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1 m時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放。根據(jù)以上的數(shù)據(jù)，判斷一天內(nèi)的上午8：00時(shí)至晚上20：00時(shí)之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？

（2）求函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T﹑振幅A及函數(shù)的表達(dá)式。

解 （1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得：共有6個(gè)小時(shí)可以進(jìn)行沖浪運(yùn)動(dòng)。

（2）依題意得：

A=(1.5－0.5)=，T=12 。

∵=12，∴ ω=。

又 ∵ b=1，

∴y=cost+1 ， t∈0，24。

四、函數(shù)的基本性質(zhì)方面

例4情景：當(dāng)今最大的住宿連鎖組織——國(guó)際青年旅舍，它的特點(diǎn)是“安全、經(jīng)濟(jì)、衛(wèi)生、隱私”，室內(nèi)設(shè)備簡(jiǎn)樸，備有高架床、硬床墊和被褥、帶鎖的個(gè)人貯藏柜、小桌椅、公共電話、公共浴室和洗手間，有的還有自助餐廳、公共活動(dòng)室等。

一個(gè)旅館有150個(gè)標(biāo)準(zhǔn)房間，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)，得到以下數(shù)據(jù)：

欲使每天的營(yíng)業(yè)額最高，該如何定價(jià)？

解 根據(jù)已知數(shù)據(jù)，可假設(shè)該客房的最高價(jià)格為100元，并假設(shè)在各價(jià)位之間，房?jī)r(jià)與入住率之間呈線性關(guān)系。

設(shè)x為在房?jī)r(jià)100元基礎(chǔ)上降低的房?jī)r(jià)，所以當(dāng)房?jī)r(jià)為(100－x)元時(shí)，住房率為(55+x)％，則旅館一天的客房總收入為：

y=150(100－x)×(55+x)％

=-（x2－x－8250）

=-(x－)+。

∵(55+x)％≤1，

∴0≤x≤67.5。

∴當(dāng)x=8.75時(shí)，y有最大值。此時(shí)房?jī)r(jià)定位應(yīng)是100-=91.25（元），相應(yīng)的住房率為60.8％，最大住房總收入為8326.56元。

答:欲使每天的營(yíng)業(yè)額最高應(yīng)定價(jià)為90元，這樣可達(dá)最大住房總收入8 325元。

五、數(shù)列方面

例5 情景：流行性感冒（influenza，簡(jiǎn)稱流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一種傳染性強(qiáng)、傳播速度快的疾病。其主要通過(guò)空氣中的飛沫、人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸傳播。典型的臨床癥狀是：急起高熱、全身疼痛、顯著乏力和輕度呼吸道癥狀。一般秋冬季節(jié)是其高發(fā)期，所引起的并發(fā)癥和死亡現(xiàn)象非常嚴(yán)重。

某市2002年11月份曾發(fā)生大面積流感。據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于該市醫(yī)療部門(mén)采取措施，使該種病毒的傳播得到控制。從某一天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人。到11月30日止，該市在這30日內(nèi)感染該病毒的患者總共有8 670人。問(wèn)11月份哪一天該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)。

解設(shè)從11月1日起的第n(n∈N，1≤n≤30)日感染此病毒的新患者人數(shù)最多，則從11月1日起至第n日止，每日新的患者人數(shù)此構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為20，公差為50，則前n日的患者的總?cè)藬?shù)，即該數(shù)列前n項(xiàng)之和為：

S=20n+×50

=25n2－5n。

從第n+1日開(kāi)始至11月30日止，每日的新患者人數(shù)依次構(gòu)成另一個(gè)等差數(shù)列，這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為20+(n－1)×50－30=50n－60，公差為30-n，則30-n日的患者總?cè)藬?shù)為：

T=(30－n)(50n－60)+×(－30)

=－65n+2445n－14850。

由S+T=8670，

得25n－5n+(－65n+2445n－14850)=8670。

解得n=12，或n=49。

又1≤n≤30，

∴n=12。

答：11月12日的新患者人數(shù)最多，為20+50（12-1）=570人。

參考文獻(xiàn)：

［1］虞濤，高中情景數(shù)學(xué)［M］.上海：上?？茖W(xué)普及出版社，2005年.

［2］中華人民共和國(guó)教育部定制.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2003年 . ◆(作者單位：廣東省東莞市橋頭中學(xué)）

□責(zé)任編輯：周瑜芽