VLSI金屬互連線電遷移噪聲檢測敏感性的逾滲模擬

摘 要:在電遷移物理機制的基礎(chǔ)上結(jié)合逾滲理論，建立了一種金屬互連線電遷移的逾滲模型。基于該模型，采用蒙特卡羅方法模擬了超大規(guī)模集成電路(VLSI)金屬互連線電遷移過程中電阻和低頻噪聲參數(shù)的變化規(guī)律。結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的電阻測量方法相比，低頻噪聲表征方法對電遷移損傷更敏感，檢測的效率更高。該研究結(jié)果為低頻噪聲表征VLSI金屬互連線電遷移損傷的檢測方法提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞:電遷移; LF噪聲; 逾滲模擬; 敏感性

中圖分類號:TN47 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)14-0186-04

Characterize Electromigration of VLSI Metal Interconnects

LI Yu-bo1， MA Zhong-fa2， ZHANG Peng2

(1. Airforce Engineering University， Xi’an 710051， China; 2. Xidian University， Xi’an 710071， China)

Abstract: A percolation model for electromigration of metal interconnects was built on the basis of electromigration physical mechanism and percolation theory. Based on the model， the evolutions of resistance and low-frequency noise paramaters during electromigation of VLSI metal interconnects were simulated with Monte Carlo method. The results show that the low-frequency noise characterization method is more sensitive and more efficient in comparison with the traditional method of resistance measurement for electromigration damage. A theory basis is provided for the detecting method to characterize the electromigration damage of VLSI interconnects by low-frequency noise.

Keywords: electromigration; LF noise; percolation simulation; sensitivity

0 引 言

互連線電遷移是VLSI電路最重要的失效機理之一[1]，隨著VLSI技術(shù)的不斷發(fā)展，電路集成度不斷提高，特征尺寸不斷減小，流過互連線橫截面的電流密度急劇增大，使得電遷移失效問題更為突出。為了可靠性工程的應(yīng)用，新型的VLSI互連線電遷移損傷的表征技術(shù)就變得越來越重要了[1]。

以往研究主要是通過壽命試驗[2]或者是電阻測量[3]來表征電遷移。已經(jīng)通過實驗證實了互連線中空洞的形狀、大小與電阻變化的關(guān)系[3]，并發(fā)展出了多種測量金屬互連線電遷移早期電阻變化的技術(shù)[3]。其中最先進(jìn)的就是高分辨率電阻測量(HRRM)方法[4]。這種方法可以在較短時間內(nèi)獲取關(guān)于互連線電遷移的信息，并對互連線中期失效時間(MTF)做出預(yù)測。但由于HRRM方法測試條件苛刻，設(shè)備復(fù)雜，要求精度高，因此妨礙了它的廣泛應(yīng)用。而且這種方法具有破壞性，不能用于內(nèi)建可靠性的SPC工藝控制過程中。

研究發(fā)現(xiàn)，互連線初始電阻低頻噪聲幅度與其壽命存在反比關(guān)系[5-6]。隨著互連線電遷移損傷程度的不斷加深，1/fγ噪聲參數(shù)會出現(xiàn)較大變化，其中功率譜幅度急劇增大，頻率指數(shù)γ從1增大到2[5-6]。這些實驗現(xiàn)象都表明，1/fγ噪聲測量極有可能成為一種敏感的互連線電遷移的有效監(jiān)測手段。而且與傳統(tǒng)的HRRM相比，低頻噪聲表征方法具有速度快、非破壞、設(shè)備簡單等優(yōu)點，因此引起了人們的廣泛興趣。

比較HRRM方法和低頻噪聲表征方法，判斷哪種方法在表征電遷移損傷方面更敏感，首先要判斷2種檢測方法的敏感對象是否就是電遷移所引起的損傷，其次就是要比較2種表征方法的相對敏感性問題。

對電遷移過程中電阻的變化，一般認(rèn)為有2個原因[3]，其一是由于金屬條自加熱效應(yīng)所引起的電阻增大，這個過程主要發(fā)生在實驗的開始階段，等系統(tǒng)達(dá)到熱平衡以后，這種變化趨于穩(wěn)定;其二是由于電遷移過程所產(chǎn)生的空洞引起的電阻增大，這一部分的變化能真實反映電遷移損傷的情況。對于低頻噪聲，大家一般都認(rèn)為，金屬薄膜中的1/fγ噪聲起源于金屬互連線中雜質(zhì)或缺陷的隨機運動[7]，這些隨機運動會改變它們的散射截面，從而引起被散射載流子運動的漲落。隨著電遷移損傷程度的增大，金屬中的缺陷濃度也會不斷增大，低頻噪聲參數(shù)也會因此而產(chǎn)生變化。

本文在深入了解電遷移和噪聲產(chǎn)生物理機制的基礎(chǔ)上，結(jié)合逾滲理論[8]，建立了電遷移過程的偏置逾滲模型和噪聲產(chǎn)生的隨機擴散逾滲模型。并在二維隨機電阻網(wǎng)絡(luò)上模擬了Al基互連線的電遷移過程，計算了電遷移過程中互連線電阻和電遷移噪聲參數(shù)的變化趨勢。通過對實驗結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)低頻噪聲參數(shù)變化對電遷移損傷更敏感。它有望作為一種更敏感的新型電遷移損傷檢測方法。

1 電遷移的逾滲模型

電遷移是互連線中金屬離子在電子風(fēng)力的作用下，產(chǎn)生的質(zhì)量輸運過程[9]。當(dāng)電流流過互連線時，其中的金屬離子會受到電場力和電子碰撞力的同時作用。在這種作用下，金屬離子可能離開平衡位置，產(chǎn)生空位。隨著空位濃度的增大，會出現(xiàn)空位成團效應(yīng)，產(chǎn)生較大體積的空洞。這樣互連線會出現(xiàn)電阻急劇增大或者斷路現(xiàn)象。

逾滲理論是處理幾何相變問題強有力的工具，根據(jù)逾滲理論，將金屬薄膜中對電遷移起主導(dǎo)作用的一塊面積等效成N×N的二維隨機電阻網(wǎng)格。如圖1所示，把互連線的導(dǎo)電問題等效成一個幾何連接性問題，整個網(wǎng)格的總電阻數(shù)為Nt=2N2，每個單元電阻的初始阻值為r0。在電遷移過程中，產(chǎn)生一個空位即等效為電阻網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)生一個阻值為R的缺陷電阻。其中，Rr0。

圖1 Al膜等效成的隨機電阻網(wǎng)絡(luò)

在環(huán)境溫度T0，給網(wǎng)絡(luò)加上恒流偏置I(xiàn)，這時網(wǎng)絡(luò)將發(fā)生電遷移。在電遷移過程中，每個單元電阻的阻值隨其所處格點位置的溫度變化而變化:

rn(Tn)=r0[1+α(Tn-T0)] (1)

式中:rn(Tn)為第n個格點位置溫度為Tn時的電阻值。由于金屬薄膜的自加熱效應(yīng)，第n個格點位置的溫度受3個因素影響，即環(huán)境溫度T0、電阻的自加熱以及與相鄰電阻之間的熱交換，因此:

Tn=T0+A[rni2n+BN∑Nm=1(rm，ni2m，n-rni2n)](2)

式中:A，B為常數(shù);N為與第n個格點單元電阻的最近鄰電阻數(shù);in為流過rn的電流。根據(jù)電遷移機理，這時第n個電阻處產(chǎn)生一個非導(dǎo)電缺陷的概率為:

WD=exp[ (-ED+Hin)/kBTn](3)

式中:ED為不存在電流作用時，缺陷產(chǎn)生的特征激活能;H為一個與材料、微觀結(jié)構(gòu)、空洞特征尺寸有關(guān)的常數(shù);in為流過第n個電阻的電流;kB為波爾茲曼常數(shù)。缺陷一旦產(chǎn)生，將會由于機械應(yīng)力作用以及原子的熱運動而復(fù)合，使該空位重新被填充，位置恢復(fù)到原來的狀態(tài)。缺陷復(fù)合的概率為:

WR=exp[ ER/(kBTn)](4)

式中:ER為缺陷復(fù)合的特征激活能，由于這個復(fù)合過程主要是由于機械應(yīng)力和原子熱運動驅(qū)動，所以特征激活能是一個與微觀結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。

通過以上的迭代過程，就可以得到每次循環(huán)后網(wǎng)絡(luò)的電阻分布。應(yīng)用傳輸矩陣方法，可以計算得到網(wǎng)絡(luò)的總電阻RZ。通過多次循環(huán)，就可以計算得出RZ隨著電遷移過程的變化曲線。

2 噪聲模型

金屬薄膜中的1/fγ噪聲起源于金屬互連線中雜質(zhì)或缺陷的隨機運動。在電遷移過程中，金屬離子在電子風(fēng)作用下會離開平衡位置產(chǎn)生空位。這些空位形成的散射中心會隨機運動，隨機改變散射截面，引起被散射載流子運動的漲落，從而產(chǎn)生1/fγ噪聲。

通過電遷移損傷過程的模擬，就可以得到不同損傷時刻，互連線中缺陷的濃度和分布。這樣通過以下的噪聲模型，就可以模擬得到電遷移噪聲。

在電遷移過程中，隨著缺陷的產(chǎn)生，電阻網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)2種電阻。一種是常規(guī)電阻，另一種是缺陷。金屬薄膜中的1/fγ噪聲起源于金屬互連線中雜質(zhì)或缺陷的隨機運動，這些隨機運動會改變它們的散射截面，從而引起被散射載流子運動的漲落。在隨機電阻網(wǎng)絡(luò)中，將空位的隨機運動等效為以下過程。對于隨機電阻網(wǎng)絡(luò)中的每一個缺陷，每隔一個時間段τ0，都按照概率與相鄰電阻交換位置。缺陷一旦移動到某一位置，將在該處的停留τ=τ0eEkB的時間[6]，其中E為該處缺陷離開該位置的激活能，τ0是一個時間常數(shù)，與晶格振動頻率的倒數(shù)有關(guān)。

對于一個缺陷濃度和分布一定的網(wǎng)絡(luò)，按照以下算法計算電阻噪聲:首先計算計算網(wǎng)絡(luò)的總電導(dǎo)G0。然后每隔一個時間段τ0，讓缺陷進(jìn)行一次隨機運動。接著計算缺陷隨機運動以后的網(wǎng)絡(luò)的總電導(dǎo)Gn。這時網(wǎng)絡(luò)電導(dǎo)凈漲落ΔGn=Gn-G0。重復(fù)該過程100 000次，就可以得到互連線電導(dǎo)漲落ΔG的時間序列。對該時間序列進(jìn)行傅里葉變換，就得到了噪聲功率譜，再通過曲線擬合可得到頻率指數(shù)。這樣就可以求得電遷移過程重任一時刻的噪聲功率譜極其參數(shù)。

3 模擬結(jié)果與分析

根據(jù)以上模型，應(yīng)用蒙特卡羅方法對電遷移過程進(jìn)行模擬。每執(zhí)行100個循環(huán)的損傷過程加以模擬，計算一次網(wǎng)絡(luò)總電導(dǎo)，同時用該時刻得到的電遷移損傷網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行1次電阻噪聲模擬。這樣就可以得到電遷移損傷不同時刻的網(wǎng)絡(luò)總電導(dǎo)以及噪聲時間序列。并由此計算出噪聲的功率譜幅度和頻率因子。

根據(jù)Al互連線的相關(guān)特性，模擬過程中各常數(shù)取值如下[6]:N=100，r0=1 Ω，R=100 000 Ω，α=10-3 K-1，T0=300 K，A=5×105 K/W，B=3/4，N=6，I(xiàn)=1.8 A，H=0.003 5 eV/A，ED/kB=2 000 K，ER/kB=2 500 K。為了消除數(shù)值計算誤差和不確定性，在模擬過程中，計算的每一個量都重復(fù)進(jìn)行30次，并取平均值作為最終結(jié)果。

圖2所示為模擬得到的電遷移過程中電阻相對變化曲線。

圖2 電遷移過程中電阻變化率曲線

從圖2中可以看出，隨著電遷移應(yīng)力時間的增加(模擬中以循環(huán)次數(shù)來表示)，金屬互連線的電阻不斷增大。從微觀機理上講[3]，這是因為隨著電遷移的不斷進(jìn)行，金屬互連線中不斷產(chǎn)生空位，空位的出現(xiàn)會在金屬晶格中增加相應(yīng)的勢壘，對導(dǎo)電電子產(chǎn)生散射作用。空位濃度越大，散射作用越強。隨著應(yīng)力時間的增加，金屬互連線中的空位濃度也不斷增大，從而導(dǎo)致互連線電阻不斷增大。從宏觀上來講，隨著電遷移的不斷進(jìn)行，在金屬條中空洞的濃度不斷增大，減少了金屬條的有效導(dǎo)電橫截面積，使電阻不斷增大。從逾滲理論的角度來說電遷移過程中在電阻網(wǎng)絡(luò)局部出現(xiàn)絕緣性的缺陷電阻，隨著電遷移的不斷進(jìn)行，電阻網(wǎng)絡(luò)中缺陷電阻濃度不斷增大，致使導(dǎo)電電阻產(chǎn)生逾滲的幾率不斷下降，使缺陷電阻產(chǎn)生的不導(dǎo)電逾滲幾率不斷增加，最終導(dǎo)致系統(tǒng)的電導(dǎo)性能下降，電阻增大。

由于低頻1/fγ噪聲對電遷移損傷很敏感，因此選取3 Hz下的點頻噪聲功率譜作為研究對象。圖3所示為模擬得到的點頻噪聲功率譜幅度的變化曲線。從圖3中可以看出，隨著電遷移應(yīng)力時間增加，點頻噪聲功率譜也不斷增大。而且其變化范圍很大，在10-9～10-4之間。金屬薄膜中的1/fγ噪聲起源于金屬互連線中缺陷的隨機運動[4]，隨著電遷移的發(fā)展，金屬條中的缺陷濃度不斷增大，缺陷總的隨機運動也不斷增強，從而被散射載流子運動的漲落也不斷增強，此時的點頻噪聲功率譜幅度不斷增大。

圖3 噪聲點頻功率譜幅度隨電遷移變化曲線

圖4所示為電阻和點頻噪聲功率譜幅度相對變化的比較。其中矩形點曲線為點頻噪聲功率譜密度變化曲線，橢圓形點曲線為電阻相對變化曲線。從圖中可以看出，隨著電遷移的進(jìn)行，點頻噪聲功率譜密度和電阻變化率都都不斷增大。但是其在變化幅度上相差很大，電阻變化率的變化在一個數(shù)量級以內(nèi)，相對變化量約為4%;而點頻噪聲功率普密度的變化超過3個數(shù)量級，從10-9數(shù)量級增大到10-5數(shù)量級。而噪聲點頻功率譜的變化量為電阻相對變化量的105倍以上。這說明在電遷移過程中，對于電遷移引起的缺陷，點頻噪聲功率譜密度的變化要遠(yuǎn)遠(yuǎn)敏感于電阻的變化。加之電阻變化測試條件苛刻，設(shè)備復(fù)雜，要求精度高，而低頻噪聲測量方法具有速度快、非破壞性和設(shè)備簡單等優(yōu)點，因此是一種極具潛力的金屬互連線電遷移損傷檢測方法。

圖4 點遷移過程中電阻與點頻噪聲功率譜幅度相對變化的比較

4 結(jié) 語

本文在深入了解電遷移和噪聲產(chǎn)生物理機制的基礎(chǔ)上，結(jié)合逾滲理論，建立了電遷移過程的偏置逾滲模型和噪聲產(chǎn)生的隨機擴散逾滲模型。并在二維隨機電阻網(wǎng)絡(luò)上模擬了Al基互連線的電遷移過程，計算了電遷移過程中互連線電阻和電遷移噪聲參數(shù)的變化趨勢。發(fā)現(xiàn)隨著電遷移應(yīng)力時間的增加，互連線電阻和點頻噪聲功率譜密度都不斷增大，前者的相對變化在一個數(shù)量級以內(nèi)，變化量約為4%，而后者的相對變化超量過3個數(shù)量級，從10-9數(shù)量級增大到10-5數(shù)量級，是前者相對變化量的105倍以上。加之電阻變化測試條件苛刻，設(shè)備復(fù)雜，要求精度高，而低頻噪聲測量方法具有速度快、非破壞性和設(shè)備簡單等優(yōu)點，因此是一種極具潛力的金屬互連線電遷移損傷檢測方法。

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