基于龍格-庫塔算法對降落傘空投的研究

摘 要:以降落傘空投系統(tǒng)中的降落傘拉直和充氣過程以及物傘系統(tǒng)的穩(wěn)定降落過程為研究目標(biāo)，采用動力學(xué)分析法建立了物傘空投系統(tǒng)完整的運(yùn)動模型，提出了多吊帶系統(tǒng)分析和物傘系統(tǒng)夾角變化的新方法。根據(jù)已有的降落傘性能計算模型和物傘系統(tǒng)運(yùn)動模型，采用龍格-庫塔法對降落傘空投全過程進(jìn)行了仿真。通過參數(shù)調(diào)試來分析空投高度﹑降落傘的名義面積等因素對降落傘空投系統(tǒng)的影響，指出了實際系統(tǒng)的改進(jìn)方向，為降落傘空投系統(tǒng)的設(shè)計提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞:降落傘空投; 運(yùn)動模型; 龍格-庫塔法; 計算機(jī)仿真

中圖分類號:TN911.7; TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)14-0124-03

Research for Parachute Airdrop Based on Runge-Kutta Algorithm

WANG Jing-zhi， CHEN Hong-lin

(Department of Electronics and Information， Northwestern Polytechnic University， Xi’an 710129， China)

Abstract: Focused on the parachute deployment and inflation， and the trajectory of cargo parachute system in the parachute airdrop system， the trajectory model of cargo parachute system was built with the dynamics method. The analytic method of the multi-sling system and angle between the cargo and parachute system is proposed. The process of the parachute airdrop was simulated with Runge-Kutta algorithm on the basis of parachute performance model and carge parachute system trajectory model. With the analysis of the effect of everal factors concerned with the airdrop such as height of airdrop and parachute resistance coefficient on the parachute airdrop system. The improvement direction of the available actual systems is pointed out which provides a theoretic base for the design of cargo parachute airdrop system.

Keywords: parachute airdrop; trajectory model; Runge-Kutta algorithm; computerized simulation

2008年我國大型飛機(jī)項目正式立項，大型飛機(jī)項目是一個國家工業(yè)、科技水平和綜合實力的集中體現(xiàn)，對增強(qiáng)中國的綜合國力、科技實力和國際競爭力，使中國早日實現(xiàn)現(xiàn)代化具有極為重要的意義。由于載機(jī)的載重、貨艙尺寸和接口關(guān)系不同，與其相適應(yīng)的各型空投系統(tǒng)就有很大不同。因此，在載機(jī)研發(fā)的同時，需要發(fā)展空投系統(tǒng)和精確空投技術(shù)。空投是指利用降落傘將人員和物資投送到指定地點的一種技術(shù)，是部隊投送彈藥裝備等物資補(bǔ)給和兵力部署的重要手段。

空投系統(tǒng)的研制必須全面考察系統(tǒng)運(yùn)動特性以保障空投過程的安全。一般研究手段包括投放試驗、風(fēng)洞試驗和數(shù)字仿真等。國內(nèi)外對于各種降落傘空投系統(tǒng)[1] 開展了很多研究，建立了不同復(fù)雜程度的計算模型，但是沒有對降落傘的開傘以及附加質(zhì)量等問題進(jìn)行分析研究，這些是精確空投系統(tǒng)仿真必須考慮的關(guān)鍵問題。為此，本文將降落傘空投過程進(jìn)行了全面的系統(tǒng)過程建模和仿真分析。

降落傘性能計算方法包括基于試驗的分析和基于計算結(jié)構(gòu)力學(xué)、計算流體力學(xué)及流固耦合的數(shù)值模擬。但是由于算法和計算能力的限制，數(shù)值模擬方法在現(xiàn)階段僅限于研究部分特殊問題。因此本文的降落傘性能計算采用由試驗獲取的經(jīng)驗公式。

1 降落傘空投工作過程

本文分析的空投系統(tǒng)采用自動開啟降落傘[2-3]的空投方法。在裝有貨物的平臺離機(jī)瞬間，啟動自動開傘裝置，降落傘開始充氣。當(dāng)降落傘充氣到一定程度時，收口繩受力，使降落傘第一次充氣呈“燈泡”狀，以減小降落傘的開傘動載，延時數(shù)秒后，切割器將收口繩切斷。降落傘完全張開并穩(wěn)定下降直至著陸。

2 降落傘充滿時間計算[4]

假設(shè):在充氣過程中，空氣密度不變;在充氣過程中，傘衣阻力系數(shù)不變;在充氣過程中，傘衣有效透氣量不變。

(1) 降落傘收口充氣階段。

由實驗數(shù)據(jù)得，降落傘的充滿時間與拉直速度成反比。同時，降落傘越大，充滿時間越長。由此可以得出降落傘充滿時間的—般經(jīng)驗公式:

tm1=(kD0)/vnL (1)

式中:vL為拉直速度，即空投時飛機(jī)的速度;D0為傘衣名義直徑;k，n為由測量數(shù)據(jù)推算所得的系數(shù)，對于平面圓形傘k=8，n=0.9。

(2) 降落傘保持收口階段。

這個階段的時間tm2，通常在時序中預(yù)先設(shè)置好，本文中tm2=2 s。

(3) 降落傘第二次充氣階段。

這個階段的充氣時間為:

tm3=(kD0)/v(2)

式中:v為解除收口時系統(tǒng)的速度。

故降落傘充滿時間tm為:

tm=tm1+tm2+tm3(3)

3 降落傘附加質(zhì)量[4]

把降落傘的附加質(zhì)量分成兩部分進(jìn)行計算:傘衣內(nèi)含質(zhì)量Mn;傘衣表觀質(zhì)量Mb。

(1) 傘衣內(nèi)含質(zhì)量Mn即傘衣內(nèi)所包含的空氣質(zhì)量，計算公式為:

Mn=ρHV=2ρHD303π21.058-(T-1.31)21.62 (4)

ρH=ρ0(1-H/44 330)4.265(5)

式中:V為傘衣內(nèi)的容積，ρH為在H高度時空氣的密度，ρ0=1.225 kg/m3，T=t/tm，D0為傘衣名義直徑。

(2) 傘衣表觀質(zhì)量Mb，它只在做不穩(wěn)定運(yùn)動時才體現(xiàn)出來，計算公式為:

Mb=0.25πD30π3T32ρHT=ρHD304π2T52 (6)

故物傘系統(tǒng)的總質(zhì)量M為:

M=Mn+Mb+Ms+Mw(7)

式中:Ms為降落傘本身的質(zhì)量;Mw為貨物的質(zhì)量。

4 物傘系統(tǒng)計算模型[5-6]

在地面坐標(biāo)系OXY中建立物傘系統(tǒng)的運(yùn)動數(shù)學(xué)模型。原點O選取在貨物平臺離機(jī)瞬間的貨物平臺質(zhì)心在地面上的投影位置;OY軸沿重力方向指向下;OX軸垂直于OY軸指向物傘系統(tǒng)運(yùn)動方向。

假設(shè)條件:降落傘和貨物之間的連接吊帶考慮成剛性輕質(zhì)桿;降落傘是軸對稱的，傘衣完全充滿后具有固定的形狀;由于降落傘運(yùn)動的非定常性而引起的氣動力或力矩的增量部分用附加質(zhì)量來表示;只考慮傘衣產(chǎn)生的氣動力，并且認(rèn)為傘衣的氣動壓心與其幾何中心相重合。

本文分析的空投系統(tǒng)采用四吊帶的連接方式。如圖1所示，圖中貨物質(zhì)心為O;連接繩上端與降落傘系統(tǒng)連接點為A;下端點B與4根分吊帶Oi(i=1，2，3，4)相連;連接繩AB的延長線與貨物相交于C點，物傘系統(tǒng)夾角(降落傘傘軸線與貨物軸線之間夾角)為δ。

圖1 物傘系統(tǒng)示意圖

利用C點的位置來判斷各吊帶的受力形式以及物傘系統(tǒng)夾角δ的變化:

當(dāng)C點落在OOi(i=1，2，3，4)上時，吊帶BOi受力，其他吊帶松弛;

當(dāng)C點落在三角形OOiOj以及邊OiOj(i，j=1，2，3，4)上時，吊帶BOi，BOi受力，其他吊帶松弛;

當(dāng)C點和O點重合時，所有吊帶均受力，δ=0。

物傘系統(tǒng)在空投過程中受2個力的作用:重力G，降落傘的阻力F。

G=Mg(8)

在傘衣充氣和拉直階段降落傘的阻力F為:

F=CD12ρHv2π4 D0ttm 2(9)

式中:CD為阻力系數(shù);v為物傘系統(tǒng)速度。當(dāng)t=tm時傘衣完全充滿，物傘系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定降落階段。

在穩(wěn)定降落階段降落傘的阻力F為:

F=CD12ρHv2A0(10)

式中:A0為降落傘名義面積:A0=π4D20。

物傘系統(tǒng)的運(yùn)動方程為:

f(X，t)=dXdt=v0cos θ0-∫t0Fcos θMdt

f(Y，t)=dYdt=v0sin θ0+∫t0Mg-Fsin θMdt

f(δ，t)=dδdt=δ0-∫t0MgLAOcos θIZdt(11)

θ=arctan[ f(Y，t)/f(X，t)] (12)

式中:相對質(zhì)心轉(zhuǎn)矩IZ;LAO為A點到O點的直線距離。

式(11)為物傘系統(tǒng)的基本運(yùn)動方程。可以看出這是一些非線性的運(yùn)動微分方程。在通常情況下，這組微分方程只能通過數(shù)值計算求解，所得的結(jié)果為一系列離散的數(shù)據(jù)。

5 系統(tǒng)仿真結(jié)果及分析

根據(jù)前面建立的降落傘性能計算模型和物傘系統(tǒng)運(yùn)動模型，應(yīng)用Matlab仿真技術(shù)[7]，采用龍格-庫塔算法對物傘系統(tǒng)在傘衣充氣和拉直階段與穩(wěn)定降落階段全過程進(jìn)行仿真[8]。

5.1 龍格-庫塔算法介紹[9]

假定微分方程:

dydx=f(x，y)(13)

及初始條件:

y(x0)=y0 (14)

其迭代格公式為:

yn+1=yn+(1/6)(K1+2K2+2K3+K4)

K1=hf(xn，yn)

K2=hf(xn+h/2，yn+K1/2)

K3=hf(xn+h/2，yn+K2/2)

K4=hf(xn+h，yn+K3) (15)

龍格-庫塔法的主要優(yōu)點是計算精度高，式(15)的截斷誤差為O(h5)，仿真時步長選取:h=0.01。

5.2 仿真流程與結(jié)果

設(shè)參數(shù)及初始條件:Mw=2 000 kg;v0=200 m/s;θ0=90°;LA0=10 m;CD=0.873，初始充氣時間t1=0;穩(wěn)定降落段初始時間t2=0。系統(tǒng)仿真流程如圖2所示，仿真結(jié)果如圖3~圖5所示。

圖2 系統(tǒng)仿真流程圖

圖3 空投高度和降落傘名義面積對空投距離的影響

圖4 空投高度和降落傘名義面積對空投時間的影響

圖5 物傘系統(tǒng)夾角隨空投時間變化

6 結(jié) 語

由仿真結(jié)果得:空投距離隨的空投高度增加而增加，相對應(yīng)高度的增加量來看，高度的增加對投放距離的影響明顯，空投高度對空投時間影響不大，因此空投高度的增加可以實現(xiàn)遠(yuǎn)距離空投。在選擇降落傘時，應(yīng)在條件許可的情況下，應(yīng)選擇名義面積較小的降落傘，這樣不僅能夠增加空投距離，還能減少貨物在空中降落所需的時間，較大程度的保證運(yùn)輸機(jī)和貨物的安全。物傘系統(tǒng)夾角隨空投時間近似呈阻尼變化，最后系統(tǒng)穩(wěn)定降落。龍格-庫塔算法計算精度較高，能滿足通常的計算要求;每次計算yn+1，只用到前一步的計算結(jié)果yn。因此，在已知y0的條件下，就可以自動地進(jìn)行計算，并且計算過程中改變步長不受限制。

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