一類線性不確定切換系統的非脆弱控制器設計

摘 要:針對一類線性不確定切換系統，利用公共Lyapunov函數的方法，給出了當所設計的控制器存在加性攝動時魯棒非脆弱控制器存在的條件。該控制器能夠保證閉環切換系統在任意切換律下漸近穩定。然后應用線性矩陣不等式將魯棒非脆弱控制器的設計問題轉化為一組線性矩陣不等式的可行解問題，從而可借助Matlab中的LMI工具箱直接求解。最后通過仿真算例驗證所提方法的有效性。關鍵詞:切換系統; 公共Lyapunov函數; 非脆弱控制; Matlab

中圖分類號:TN919-34文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)18-0197-03

Design of Non-fragile Controller for a Class of Uncertain Switched Linear System

LI Chun-Juan，HE Yong

(Department of Electrical Engineering and Automation， Luoyang Institute of Science and Technology， Luoyang 471023， China)

Abstract: Based on the common Lyapunov function， a condition for the existence of non-fragile hybrid state-feedback controller is given according to a class of uncertain switched linear system. This controller can guarantee the linear closed-loop switched system stable asymptotically for all arbitrary uncertainties. The design of non-fragile controller can be converted into a feasible problem of certain LMI system with the linear matrix inequalities (LMI) approach. The solution of non-fragile controller can be efficiently obtained with the MATLAB toolbox. Finally， a simulation example shows the effectiveness of the proposed approaches. Keywords: switched system; common Lyapunov function; non-fragile control; Matlab

0 引 言

近年來，切換系統以其廣泛的應用背景和重要的理論價值受到越來越多的關注[1-2]。切換系統是混雜動態系統中的一個重要類型，它由一組連續微分方程描述的子系統以及作用在其間的切換律所構成。這種控制系統在許多實際工程中經常遇到，如電力系統網絡的切換，某些機器人控制系統等。目前切換系統的分析和設計主要集中在系統的穩定性、優化設計、魯棒性三類問題的單獨研究和綜合研究上[3-6]。

在實際工程中，由于硬件、軟件等原因，控制器的實現存在著一定的控制器參數變化，這種不確定性將導致閉環系統性能下降，甚至破壞系統的穩定性。此時采用傳統的魯棒控制方法，將表現出高度的脆弱性。因此，對于非脆弱控制問題的研究將具有重要的實際意義[7]。由于切換系統的連續動態和離散動態同時存在，對于切換系統的非脆弱控制相對要復雜和困難。文獻[8]分別用多Lyapunov函數和平均駐留時間的方法給出了切換系統非脆弱狀態反饋控制器存在的充分條件，但所設計的控制器只有在特定的切換律下才能鎮定原系統。

本文研究了一類線性不確定切換系統的非脆弱控制問題。當控制器存在加性攝動時，利用公共Lyapunov函數的方法，給出了切換系統非脆弱控制器存在的條件，并通過Schur補性質和變量替代法將控制器的設計問題轉化為線性矩陣不等式的可行解問題。用本問所提方法設計的非脆弱控制器能保證閉環切換系統在任意切換律下都能穩定。最后用仿真結果驗證所提方法的有效性。

1 問題描述與預備知識

考慮如下一類線性不確定切換系統:

=(Ai+ΔAi)x+Biui(1)

式中:x∈Rn是狀態;ui是控制輸入;σ(t):[0，+∞)→M={0，+∞}是切換信號，它是一個依賴于時間t和狀態x的分段常值函數;Ai和Bi是具有適當維數的常數矩陣;ΔAi(#8226;)是不確定實值矩陣函數，且具有如下形式:

ΔAi(t)=DiF1i(t)Ei(2)

式中:Di和Ei是具有適當維數的已知常值矩陣;F1i(t)是未知矩陣函數，且滿足:

[F1i(t)]TF1i(t)≤I(3)

對于給定的不確定切換系統(1)，當控制器參數存在攝動時，本文考慮如下形式的狀態反饋控制器:

ui=(Ki+ΔKi)x(4)

式中:Ki為控制器增益;ΔKi為控制器增益攝動。假設控制器增益攝動滿足如下形式[6]:

ΔKi=HiF2i(t)Gi(5)

式中:[F2i(t)]TF2i(t)≤I， i∈M。

對于切換系統(1)，本文要解決的問題是:設計非脆弱狀態反饋控制器，使得系統(1)對于所有可能的不確定性漸近穩定。此時，包含控制器參數不確定性的閉環系統狀態方程為:

=(Aci+ΔAci)x(6)

式中:Aci=Ai+BiKi，ΔAci=DiFi(t)Ei+

BiHiF2i(t)Gi。

2 主要結果

引理1 給定適當維數矩陣Y，D和E，其中Y是對稱矩陣，則Y+DFE+ETFTDT<0對所有滿足FTF≤I的矩陣F成立，當且僅當存在常數ε>0，使得Y+εDDT+ε-1ETE<0。

定理1 對不確定線性閉環切換系統(6)，如果存在正定矩陣P，使得以下矩陣不等式組:

(Aci+ΔAci)TP+P(Aci+ΔAci)<0(7)

i∈M成立，則閉環切換系統(6)在任意切換律σ下漸近穩定。證明:取Lyapunov函數V(x)=xTPx，則在任意切換律σ下:

(x)=TPx+xTP=

xT(Aci+ΔAci)TPx+xTP(Aci+ΔAci)x=

xT[(Aci+ΔAci)TP+P(Aci+ΔAci)]x

由式(7)知閉環系統(6)穩定。

下面通過變量替換和Schur補性質[7]，得出與定理1等價的LMIs形式:

定理2 存在正定矩陣P和Ki，使得對所有允許的不確定矩陣F1i(t)，F2i(t)，i∈M，矩陣不等式(7)成立，當且僅當存在ε1i>0，ε2i>0，矩陣Wi和正定矩陣X，使得:

Φi(GiX)T(EiX)T

GiX-ε2iI0

EiX0-ε1iI<0

其中:Φi=AiX+(AiX)T+BiWi+(BiWi)T+ε2iBiHiHTiBTi+ε1iDiDTi。

證明:將(7)式展開有:

ATiP+PAi+PDiFi(t)Ei+[PDiFi(t)Ei]T+

PBiKi+(PBiKi)T+PBiHiF2i(t)Gi+

(PBiHiF2i(t)Gi)T<0

給上面不等式兩端同時左、右乘P-1，同時令P-1=X，KiX=Wi，則上式可簡化為:

AiX+(AiX)T+DiFi(t)EiX+[DiFi(t)EiX]T+

BiWi+(BiWi)T+BiHiF2i(t)GiX+

(BiHiF2i(t)GiX)T<0

由引理1，有:

AiX+(AiX)T+DiFi(t)EiX+[DiFi(t)EiX]T+

BiWi+(BiWi)T+ε2iBiHiHTiBTi+

ε-12i(GiX)T(GiX)<0

令Γi=AiX+(AiX)T+DiFi(t)EiX+(DiFi(t)EiX)T+BiWi+(BiWi)T+ε2iBiHiHTiBTi，則由Schur補性質，上式可簡化為 Γi(GiX)T

GiX-ε2iI<0

令Ωi=AiX+(AiX)T+BiWi+(BiWi)T+ε2iBiHiHTiBTi，則上式可化為:

Γi(GiX)T

GiX-ε2iI=Ωi(GiX)T

GiX-ε2iI+

DiFi(t)EiX0

00+(DiFi(t)EiX)T0

00<0

即:

Ωi(GiX)T

GiX-ε2iI+DiFi(t)EiX0

00+

DiFi(t)EiX0

00T<0

又:

DiFi(t)EiX0

00=Di

0Fi(t)[EiX 0]

故上式可化為:

Ωi(GiX)T

GiX-ε2iI+Di

0Fi(t)[EiX 0]+

Di

0Fi(t)[EiX 0]T<0

由引理1知，上式可寫為:Ωi(GiX)T

GiX-ε2iI+ε1iDi

0(Di

0)T+ε-11i[EiX 0]T[Ei X 0]<0

即:

Ωi+ε1iDiDTi(GiX)T

GiX-ε2iI+ε-11i[EiX 0]

[EiX 0]T<0

令Φi=Ωi+ε1iDiDTi，由Schur補性質即得出:

Φi(GiX)T(EiX)T

GiX-ε2iI0

EiX0-ε1iI<0

故原命題得證。

3 仿真算例

考慮如下線性不確定切換系統:

=(Ai+ΔAi)x+Biui，i=1，2

其中，

A1=-0.7-0.6

00.2，A2=-0.3-0.6

00.33，

B1=10

01，B2=0.80

00.5，

D1=D2=0.50

00.5，E1=E2=00.3

0.50，

F11(t)=F12(t)=sin t

假設控制器增益具有加性攝動，即ΔKi=HiF2i(t)Gi，其中G1=G2=0.20

00.2，F21(t)=F22(t)=sin t，H1=H2=0.1，取初始點x(0)=(-1 2)T。由于本方法所設計的非脆弱控制器是在任意切換規則下保證閉環切換系統穩定，故切換律σ(t)不妨周期性地選擇由子系統(1)運行1 s，子系統(2)運行1 s，切換信號如圖1所示，切換系統的狀態響應曲線如圖2所示。

圖1 切換信號圖

從圖2可以看出，由2個子系統構成的切換系統，采用本文方法設計的非脆弱控制器，能夠使系統在任意切換律下能快速收斂并進入穩定狀態，從而驗證了本文所提方法的有效性。

4 結 語

本文考慮了一類線性不確定切換系統的非脆弱控制器的設計問題。針對實際工程中控制器本身的不確定性，利用公共Lyapunov函數的方法給出了非脆弱狀態反饋控制器的設計，使得閉環切換系統對所有可能的不確定性在任意切換律下都是漸近穩定的。該方法通過運用Matlab工具箱中的LMI求解器能直接得到切換系統的非脆弱控制器。

圖2 切換系統的狀態響應圖

參考文獻

[1]LIBERZON D.Switching in systems and control[M].Boston: Birkhauser，2003.

[2]SUN Z D. Stabilization and optimization of switched linear systems.[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2006，51(4):666-674.

[3]趙勝芝，趙軍，張慶靈.一類不確定非線性切換系統的魯棒穩定性[J].東北大學學報:自然科學版，2006，27(6):595-597.

[4]顧則全，劉賀平，李曉理，等.一類線性不確定切換系統的魯棒鎮定[J].北京科技大學學報，2007，29(12):1273-1275.

[5]YANG H， MAO Z H， JIANG B. Model-based fault tole-rant control for hybrid dynamic systems with sensor faults[J].ACTA Automatic Sinica， 2006， 32(5): 680-685.

[6]董學平，王執銓. 一類不確定切換系統的魯棒可靠控制[J].應用科學學報，2008，26(2):204-208.

[7]KEEL L H， BHATTACHARYYAA S P. Robust， fragile， or optimal[J]. IEEE Trans. on Automatic Control， 1997， 42(8); 1098-1110.

[8]汪銳，馮佳昕，趙軍.一類線性不確定切換系統的非脆弱控制器設計方法[J].控制與決策， 2006，21(7):735-738.

[9]YANG G H， WANG J L， LIN C. H∞ control for linear systems with additive controller gain variations[J]. International Journal of Control， 2000，73(16):1500-1506.

[10]俞立.魯棒控制:線性矩陣不等式處理方法[M].北京:清華大學出版社， 2002.